湖州師范學(xué)院微分幾何教學(xué)大綱.

1、微分幾何教學(xué)大綱一、課程說明1課程學(xué)時(shí)、學(xué)分及分配課程總學(xué)時(shí)： 40 周學(xué)時(shí)： 4 學(xué)分： 2 開課學(xué)期： 7 2課程類別微分幾何是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)選修課程， 是通過分析中的一些運(yùn)算去研究幾何有關(guān)問題，是線性代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，微分方程等學(xué)科知識(shí)的綜合運(yùn)用。3課程教學(xué)目的與要求本課程的目的是使學(xué)生能從較淺顯的內(nèi)容去學(xué)習(xí)近代的幾何處理方法， 通過分析中的一些運(yùn)算去研究幾何有關(guān)問題； 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和圖形想象的能力、 從具體到抽象的能力。通過教學(xué)應(yīng)使學(xué)生：（1）對(duì)空間的曲線和曲面，特別是特殊的曲線與曲面有明晰的空間位置、形狀、曲率、撓率的概念， 向量分析方法能運(yùn)用自如， 從而達(dá)到數(shù)與形

2、的統(tǒng)一， 統(tǒng)一的數(shù)量與空間的唯物辨證觀念。（2）能具備空間想象能力，嫻熟的分析計(jì)算能力和推理、演繹的邏輯思維能力。4參考教材與參考書目參考教材：微分幾何與微分流形紀(jì)永強(qiáng)編著高等教育出版社2000 年 9 月第一版參考書目：微分幾何首都師范大學(xué)梅向明黃敬之編高等教育出版社2003 年第三版微分幾何講義陳省身陳維桓北京大學(xué)出版社1983微分幾何蘇步表胡和生等高等教育出版社1983整體微分幾何初步沈一兵杭州大學(xué)出版社1998微分幾何講義吳大任人民教育出版社19825課程教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)課程教學(xué)重點(diǎn)在于學(xué)習(xí)研究微分幾何的一種基本方法：用向量分析法來(lái)討論曲線和曲面的局部性質(zhì)。難點(diǎn)是由于知識(shí)的綜合運(yùn)用程度較

3、高，要求學(xué)生有較好的分析能力和幾何想象力。6課程教學(xué)方法與手段（ 1）備課：備課是教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，任課教師必須保證充分的時(shí)間，在備課上下力氣，應(yīng)注意到了解先前的教學(xué)情形及學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從實(shí)際出發(fā)進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)。認(rèn)真鉆研大綱、教材和參考資料，明確每個(gè)章節(jié)的基本要求、重點(diǎn)、難點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和手段，合理科學(xué)地安排教學(xué)內(nèi)容，寫出比較詳細(xì)的教案。實(shí)行集中備課和臨時(shí)備課的結(jié)合， 即于每章開始前集中備好全章的教案。 在教學(xué)進(jìn)行中，每次結(jié)合此次授課情況，學(xué)生反饋意見，再次修案，以適應(yīng)教學(xué)進(jìn)程。（ 2）課堂教學(xué)：課堂教學(xué)是教學(xué)過程的重要環(huán)節(jié)，直接影響課程教學(xué)質(zhì)量與效果。課堂教學(xué)應(yīng)做好：觀點(diǎn)正確，概念

4、清楚，論證嚴(yán)密，邏輯性強(qiáng)；注意教學(xué)方法的改革和現(xiàn)代教學(xué)手段的應(yīng)用； 注意啟發(fā)學(xué)生思維、 培養(yǎng)學(xué)生能力， 調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性；語(yǔ)言清晰流暢，板書清楚得當(dāng)；教學(xué)中能結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生實(shí)際，貫徹教書育人原則。課堂討論課、習(xí)題課應(yīng)做到：討論課要充分準(zhǔn)備，精心組織，鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)言，注意弘揚(yáng)具有創(chuàng)新精神的見解， 引導(dǎo)學(xué)生正確理解課堂內(nèi)容， 及時(shí)小結(jié)； 習(xí)題課應(yīng)有明確的教學(xué)要求；著重解決學(xué)生的運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。（ 3）作業(yè)：保證一定的作業(yè)量，同時(shí)避免學(xué)生負(fù)擔(dān)過重，一般在3 題左右為宜。教師批改作業(yè)要及時(shí)、認(rèn)真。（ 4）課外輔導(dǎo)：輔導(dǎo)、答疑是與學(xué)生自學(xué)緊密結(jié)合的輔助環(huán)節(jié)。教師應(yīng)盡可能耐心，有效地解

5、決學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的疑慮，困難，應(yīng)盡可能創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生提出問題并予以解決。期中、 期末考試前， 應(yīng)安排時(shí)間進(jìn)行答疑，對(duì)個(gè)別學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差的學(xué)生應(yīng)主動(dòng)關(guān)心，予以單獨(dú)輔導(dǎo)。（ 5）課程教學(xué)紀(jì)律：教師上課應(yīng)做到不遲到，不早退，不拖堂，不誤課，不中途離開教室，不隨意更動(dòng)教學(xué)進(jìn)度。教師不得隨意停課，調(diào)課，增減課時(shí)或提前結(jié)束課程。因故必須調(diào)課的需經(jīng)院領(lǐng)導(dǎo)同意。7課程考核方法與要求1）課堂內(nèi)考察（聽講，參與和思考）與課堂外考察（課外作業(yè)），或期中考試占30%；2）期末考核占70%；8其他有關(guān)說明各章節(jié)必須安排適當(dāng)?shù)牧?xí)題課與復(fù)習(xí)課。二、教學(xué)內(nèi)容綱要第一章曲線論（ 12）1主要內(nèi)容（1）向量代數(shù)復(fù)習(xí)（補(bǔ)充） ，平面曲

6、線的參數(shù)方程（2 學(xué)時(shí)）（2）空間曲線的參數(shù)方程及曲線的性質(zhì)（4 學(xué)時(shí)）（3）空間曲線在一點(diǎn)的活動(dòng)標(biāo)架（2 學(xué)時(shí)）（4）空間曲線的基本公式與基本定理（4 學(xué)時(shí)）2基本要求（ 1）正確理解向量的概念，熟練掌握向量代數(shù)的運(yùn)算。（ 2）正確理解向量函數(shù)、向量函數(shù)的極限、向量函數(shù)的連續(xù)性、向量函數(shù)的微商、向量函數(shù)的泰勒公式、向量函數(shù)的積分的概念，熟練掌握向量函數(shù)的運(yùn)算。（ 3）正確理解曲線、光滑曲線、曲線的正常點(diǎn)、曲線的切線和法面、曲線的弧長(zhǎng)、自然參數(shù)的概念，會(huì)求曲線在一點(diǎn)的切線和法面、曲線的弧長(zhǎng)、自然參數(shù)的運(yùn)算。（ 4）正確理解空間曲線、 空間曲線的密切平面、空間曲線的基本三棱形、空間曲線的曲率、撓

7、率的概念。 熟練掌握空間曲線的密切平面、 空間曲線的基本三棱形、 空間曲線的曲率和撓率的運(yùn)算及幾何特征、 熟記伏雷內(nèi)公式并能靈活運(yùn)用。 了解空間曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)和空間曲線論的基本定理。 正確理解曲線的曲率半徑、 曲率中心及曲率圓的概念。 了解空間曲線在正交變換下所得到曲線的一些幾何性質(zhì)。2教學(xué)指導(dǎo)（ 1）微分幾何是一門綜合運(yùn)用的課程，用到較多的知識(shí)，要求學(xué)生有較扎實(shí)的基礎(chǔ)。（ 2）這一章的重點(diǎn)是掌握空間曲線的基本三棱形、空間曲線的曲率、撓率的概念。（ 3）在教學(xué)中適當(dāng)?shù)嘏c平面內(nèi)容作對(duì)比。第二章曲面論（ 28）1主要內(nèi)容（ 1）曲面的的參數(shù)方程及切平面和法線（4 學(xué)時(shí)）（ 2）曲面的第一基本

8、形式及有關(guān)性質(zhì)（8 學(xué)時(shí)）（ 3）曲面的第二基本形式及有關(guān)性質(zhì)（8 學(xué)時(shí)）（ 4）可展曲面及單參數(shù)平面族的包絡(luò)面（4 學(xué)時(shí)）（ 5）曲面的基本公式及基本定理（2 學(xué)時(shí)）（ 6）習(xí)預(yù)課（ 2 學(xué)時(shí)）2基本要求（1）正確理解簡(jiǎn)單曲面及其參數(shù)表示、光滑曲面 、曲面的切平面和法線、 曲面上曲線族和曲線網(wǎng)的概念，熟練掌握曲面在一點(diǎn)的切平面和法線的方程。（ 2）正確理解曲面的第一基本形式、 曲面上曲線的弧長(zhǎng)、 曲面上兩方向的交角、正交曲線族和正交軌線、 曲面域的面積、 等距變換、 保角變換的概念。 熟練掌握曲面的第一基本形式、曲面上曲線的弧長(zhǎng)、曲面上兩方向的交角、正交曲線族和正交軌線、曲面域的面積的運(yùn)算。能判定等距變換和保角變換。（ 3）正確理解曲面在正交變換下的新曲面的性質(zhì)，掌握正交變換下的不變量， 運(yùn)動(dòng)不變量。（ 4）掌握曲面在雙參數(shù)變換下的不變量。（ 5）正確理解直紋面和可展曲面的概念，熟練掌握直紋面和可展曲面的判定。（ 6）會(huì)求單參數(shù)平面族的包絡(luò)面的參數(shù)方法和一般方程，并會(huì)判斷這些包絡(luò)面是什么曲