大學(xué)高等數(shù)學(xué)

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 在實(shí)際問題中常常遇到多元函數(shù)的最值問題.在一元函數(shù)的微分學(xué)中,我們?cè)?jīng)用導(dǎo)數(shù)求解極值和最值問題;現(xiàn)在討論如何利用偏導(dǎo)數(shù)來求多元函數(shù)的極值與最值,討論時(shí)以二元函數(shù)為例,其結(jié)論可類似地推廣到三元及三元以上的函數(shù).一一. 多元函數(shù)的極值及最大值多元函數(shù)的極值及最大值,最小值最小值高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系多元函數(shù)極值的定義多元函數(shù)極值的定義定義 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于該鄰域內(nèi)不同于(

2、x0,y0)的任何點(diǎn)(x,y),都有f(x,y)f(x0,y0)，則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處有極大值(極小值)極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(0,0)處函數(shù)值為R;而在(0,0)鄰域內(nèi) ，(0,0)的點(diǎn)的函數(shù)值都小于22yxz222yxRz 222yxRz在點(diǎn)(0,0)處有極小值.因?yàn)樵谌魏尾辉邳c(diǎn)(0,0)處有極大值,因?yàn)樵谂cz軸的交點(diǎn).例1同于(0,0)的點(diǎn)處的函數(shù)值都大于函數(shù)在(0,0)處的值.從幾何圖形上看這是顯然的.因?yàn)辄c(diǎn)(0,0)是圓錐22yxz在（0，0）處的頂點(diǎn)。.例2

3、 函數(shù)R.事實(shí)上(0,0,R)是上半球面高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例3 函數(shù)z=-2xy 在點(diǎn)(0,0)處不取得極值.因?yàn)樵?0,0)點(diǎn)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn).2.極值存在的必要條件和充分條件極值存在的必要條件和充分條件 與一元函數(shù)類似,我們用偏導(dǎo)數(shù)來判定二元函數(shù)的極值.定理1(極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0 ,y0)處可微分且在點(diǎn)(x0 ,y0)處有極值,則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零.證明: 只就極大值的情形加以證明. 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系因?yàn)楹?/p>

4、數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0 ,y0)處有極大值,所以對(duì)于(x0 ,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)不同于(x0 ,y0 )的任一點(diǎn)(x,y),有 f(x,y)f (x0 ,y0)特別在該鄰域內(nèi)取點(diǎn)(x ,y0 )(xx0),則上面不等式變?yōu)?f(x,y0)f (x0 ,y0 ) .這表明一元函數(shù)f (x,y0)在x=x0處取極大值. 因此有fx(x0 ,y0)0，從幾何上看,這時(shí)如果曲面z=f(x,y)在點(diǎn)=0 同理 fy (x0 ,y0)=0成為平行坐標(biāo)平面xoy的平面),(000zyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx0zz0),(, 0),(yxfyxfyx.使處有切函數(shù)z=

5、f(x,y)在點(diǎn)平面,則切平面的方程高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 上面定理提供了尋找極值點(diǎn)的途徑,對(duì)于可微函數(shù),如果有極值點(diǎn)則極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn);但是上面的條件并不是充分的.即函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).如例3中的函數(shù)z=-2xy,(0,0)是其駐點(diǎn),可是函數(shù)在這點(diǎn)并不取得極值.另外,定理只是說明可微函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn),即對(duì)于可微函數(shù),找極值點(diǎn)只須在其所有駐點(diǎn)中去找.例1說明函數(shù)不可微點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn),因此尋找可能的極值點(diǎn),只須在駐點(diǎn)和不可微點(diǎn)中去尋找.同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)

6、理系下面定理回答了駐點(diǎn)在什么條件下成為極值點(diǎn). 定理2(極值存在的充分條件) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0 ,y0)的某一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且有連續(xù)的一階,二階偏導(dǎo)數(shù),fx(x0 ,y0)=0, fy(x0 ,y0)=0,記A=fxx (x0 ,y0)=0,B= fxy(x0 ,y0)=0,C= fyy(x0 ,y0)=0.則:(1)當(dāng)=B2-AC0 時(shí)有極值,且當(dāng)A0時(shí) 有極小值;(2)當(dāng)=B2-AC0時(shí),(x0,y0)不是極值點(diǎn).(3)當(dāng)=B2-AC=0時(shí),函數(shù)在(x0,y0)可能有極值,也可能沒有極值,需要討論. 定理證明從略.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技

7、學(xué)院數(shù)理系第一步 解方程組fx(x,y)=0, fy(x,y)=0.求出所有的實(shí)數(shù)解,即得一切駐點(diǎn); 第二步 對(duì)于每個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)A,B和C; 第三步 由=B2-AC的符號(hào)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),若是極大值還是極小值; 第四步 求極值點(diǎn)處的函數(shù)即得所求極值. 3.極值的求法極值的求法 利用定理1和定理2,可得到具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的步驟:高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系0) 2(363, 028322xxxxyxxxz22324yxyxxz., 0122不是極值點(diǎn)ACBz=0例4 求函數(shù)的極值有極大值08, 0

8、122AACB2, 2, 8) 0 , 0(CBA2. 2. 86.)2 , 2).(0 , 0(22222yzyxzxxz為駐點(diǎn)2, 00222211yxyxyxyxyz高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系二二 最大值和最小值最大值和最小值 由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知,函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則函數(shù)在D上一定有最大值和最小值.和一元函數(shù)一樣,多元函數(shù)的最大值和最小值可能在D內(nèi)取得,也可能在D的邊界上取得.因此,求可微函數(shù)的最值的一般方法是:求出函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)所有的駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值,把它們加以比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最

9、小值.有時(shí)根據(jù)問題的實(shí)際意義或性質(zhì),知道函數(shù)的最大值(最小值)一定在區(qū)域D內(nèi)取得, 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系那么沒有必要求函數(shù)在D的邊界上的最大值(最小值),只須求出D內(nèi)的駐點(diǎn)處的函數(shù)值,并加以比較,最大的就是最大值;若只有一個(gè)駐點(diǎn),那么駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在D上的最大值(最小值).例5 作一個(gè)三角形,使得它的三個(gè)角的正弦乘積最大.解: 設(shè)三角形三個(gè)角度分別為 x, y, -(x+y),先不妨設(shè).0 ,0 ,0yxyx)sin(sinsin),(yxyxyxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系由于在邊界上,函數(shù)

10、值為0.在閉區(qū)域內(nèi)函數(shù)值0.所以最大值一定 在區(qū)域內(nèi)得到.解方程組0)cos(sinsin)sin(sincosyxyxyxyxxf得到x=y=/3.所以等邊三角形為最大.最大值為)sin(sinsin),(yxyxyxf3830)cos(sinsin)sin(sincosyxyxyxxyyf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例6 要用鋼板做一個(gè)體積為2立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱,問當(dāng)長(zhǎng),寬高各取怎樣的尺寸時(shí),用料最節(jié)省.解: 設(shè)水箱的長(zhǎng)為x米,寬為y米,則其高應(yīng)該為2/xy米.此水箱所用的材料面積為)0, 0)(22(2)22(2yxyxxyxyxxyyxyA

11、33222. 22xyhyxxy22, 0)2(2, 0)2(22222yxxyyxAxyAyx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 三三 條條 件件 極極 值值 (1) 其中x,y,z須滿足約束條件 xyz=2(米3) (2) 依題意,例6成為求(1)式滿足條件(2)的最小值.這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值在一些極值或最值問題中,函數(shù)的各自變量之間還會(huì)受到另外一些條件的限制,例如例6,若設(shè)長(zhǎng)方體水箱的長(zhǎng),寬,高分別為x,y,z(米),則表面積為 A=2(xy+yz+xz)問題. 解條件極值問題的一個(gè)辦法是化為無條件極值,即普通極值問題. 高等數(shù)學(xué)電子

12、教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例如由(2)得到z=2/xy,代入(1),象例6那樣去解普通極值問題.但是對(duì)于一般的條件(x,y,z)=0,解出其中的某個(gè)變量,有時(shí)是復(fù)雜的,困難的,甚至是不可能的.例如,不能顯化的隱函數(shù)就是這樣.下面我們介紹Lagrange乘數(shù)法是求解條件極值的常用方法.例如要求函數(shù) u=f(x,y,z,t) (3) 在約束條件 (x,y,z,t)=0和(x,y,z,t)=0 (4) 下的極值. 我們由(3)和(4)先構(gòu)成Lagrange函數(shù)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系)5).(,(),(),(),(2121

13、tzyxtzyxtzyxftzyxL其中1,2稱為L(zhǎng)agrange常數(shù),求L對(duì)其各變?cè)钠珜?dǎo)數(shù),并令其為0并和條件(4)聯(lián)列,組成方程組,即是否極值點(diǎn)由實(shí)際問題的本身的性質(zhì)來判斷.由此可見,應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法,把求(3)在條件(4)的約束下的條件極值問題,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)(5)的無條件極值的駐點(diǎn)問題,這樣就解決了隱函數(shù)顯化的困難.000, 0,tzyx就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo),)6.(0.0.0.0.0.021LLLLLLtzyx方程組（6）的解高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例6 要用鋼板做一個(gè)體積為2立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱,問當(dāng)長(zhǎng),寬高各取怎樣的尺寸

14、時(shí),用料最節(jié)省.解: 設(shè)水箱的長(zhǎng)為x米,寬為y米,則其高為z米.此水箱所用的材料面積為A=2(xy+yz+xz) (1) 和xyz=2(米3) (2) 我們構(gòu)造Lagrange函數(shù),).2()(2),(xyzzxyzxyzyxL. 022yxxyLz, 022xzzxLy022yzzyLx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系).2()(2),(xyzzxyzxyzyxL。表面積為3463202zyxxyzL利用對(duì)稱性，得到. 022yxxyLz, 022xzzxLy, 022yzzyLx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例7. 在已知的橢球面內(nèi)一切內(nèi)接的長(zhǎng)方體(各邊分別平行坐1222222czbyax. 1),(.8222222czbyaxzyxxyzV必須滿足而長(zhǎng)方體體