數(shù)學的思維特征與研究方法ppt課件

1、 數(shù)學的思維特征 與研究方法1課題課題：數(shù)列求和：數(shù)列求和（高三第一輪復習課）1.教學過程：課堂教學分兩個階段：第一階段是第一階段是“知識聚焦知識聚焦”（學案用語）（學案用語）. 授課教師引導學生回憶等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式； 回顧一些常見的數(shù)列的前n項和，主要是類似自然數(shù)1+2+3+n等構成的特殊的等差數(shù)列的求和； 并復習了幾種數(shù)列求和的常用方法：（1）分組求和法；（2）裂項相消法；（3）錯位相減法；（4）倒序相加法.2第二階段:“點面講考向”分為三個探究：探究一是分組求和法；探究二是裂項相消法求和；探究三是錯位相減法求和. 每個探究各配有一個或兩個例題.在每一個探究完成之后，教師都

2、要給出一個小結.32.教學邏輯的分析： 本節(jié)課授課教師對高三復習的定位是怎樣的呢？ 作為高三教師是否明確數(shù)學復習課的目的是什么？ 具體到本節(jié)課就是教師是否關注學生對數(shù)列求和問題的理解和研究呢？4 我們看到的教學是教師更關注學生對數(shù)列求和公式的記憶是否準確和對數(shù)列求和四種方法是否能夠準確地應用. 顯然，這位教師的復習定位是有問題的.他把數(shù)學的學習包括數(shù)學的復習理解為學生記憶公式、結論和方法，并能夠應用方法解決問題，忽視的是學生數(shù)學思維水平的發(fā)展和思維能力的培養(yǎng).5 實際上，等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的復習的落腳點應該是放在這兩個公式推導的數(shù)學思維過程中. 也就是為什么在等差數(shù)列的前n項的求和采用

3、的是倒序相加法而在等比數(shù)列的前n項的求和時運用的卻是錯位相減法？6 對于這兩個問題的回答最終都要歸結為對等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質的認識上. 如果是從這個角度引導學生去思考，就會給本節(jié)課的教學目標的實現(xiàn)打下很好的思維基礎.7 人人教教B版是通過生產(chǎn)實踐中的一個例子版是通過生產(chǎn)實踐中的一個例子“計算按等計算按等差數(shù)列碼放的一堆鋼管的個數(shù)差數(shù)列碼放的一堆鋼管的個數(shù)”為問題情境，設想在為問題情境，設想在這堆呈梯形的鋼管倒放的情況下和原來的那堆拼在一這堆呈梯形的鋼管倒放的情況下和原來的那堆拼在一起得平行四邊形，從而計算出鋼管的總數(shù)起得平行四邊形，從而計算出鋼管的總數(shù).8 人教A版教材的做法是通過200多

4、年前被譽為“數(shù)學王子”的高斯其家喻戶曉的故事“計算1+2+3+100”做為引子，通過一個探究活動“高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和嗎？”提出了所謂的“倒序相加”的方法.9 可以看出，兩套教材都不約而同的采取了用生活或生產(chǎn)中的具體的實際例子為背景作為“倒序相加”方法提出的合理依據(jù)，符合新課程所提出的“高中數(shù)學課程應提供基本內容的實際背景，反映數(shù)學的應用價值”的理念.在課堂教學中很多教師也是采取這樣的引入進行等差數(shù)列的前n項和公式的推導的.10 但是，無論是從數(shù)學知識之間的邏輯看，還是從教學內容的內在關系看，上述做法又顯得牽強、不夠自然.如果每一個數(shù)學公式的推導的背

5、后都有這樣的一個生動的實例作為依據(jù)，那倒真是有趣的數(shù)學了.11 數(shù)學教學的思維含量的多少是數(shù)學課堂是否有質量的標志，數(shù)學教師的任務就是要能夠把自己對所教授知識的深入研究和深刻的理解融入到自己的課堂教學的實踐中，“人云亦云”式地、缺乏教師個人研究、思考的教學，終究是沒有個人特色的教學； 缺乏數(shù)學邏輯的數(shù)學教學哪怕是“生動的”、哪怕是所謂的能夠激發(fā)學生學習“興趣”的教學設計，也終究是違背數(shù)學教學理念和數(shù)學教學價值的.12 在“等差數(shù)列的前n項和”的教學中，符合邏輯的教學應該是研究等差數(shù)列性質的繼續(xù).特別是在上一節(jié)進行完“等差數(shù)列”的教學之后，應該是把學生的研究等差數(shù)列的思維引向深入： 通過對等差數(shù)

6、列的性質的分析，學生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列與“和”有關的一個非常重要的性質，即這個數(shù)列的某兩項的序號和如果等于另外的某兩項的序號和，則其對應的這兩項的項數(shù)和就就與另外的兩項的項數(shù)和相等.13 如果用更形象一點的話來敘述，就是在等差數(shù)列中，與首項和第n項距離相等的任意兩項的和都與首項和第n項的和相等. 如何運用等差數(shù)列的這條性質求其前n項和呢？能否回避對序號n的奇偶性的討論就可以計算出等差數(shù)列的前n項的和呢？教師可以通過類似這樣的問題引發(fā)學生的思考，盡量能夠比較自然、讓學生能夠接受的方式提出“倒序相加”的方法.14 上述的教學設計的價值在于，“等差數(shù)列的前n項和”的教學目的不僅僅是推導出一個求和公式

7、，更重要的是要讓學生通過本節(jié)課的學習加深對等差數(shù)列的認識，能夠學會如何運用等差數(shù)列的性質解決問題，使學生對等差數(shù)列的研究方法有更深一層的理解.15課題課題：數(shù)列求和：數(shù)列求和（高三第一輪復習課） 對于數(shù)列求和的四種方法的教學也要把教學的重點放在對問題的理解上和解決數(shù)列求和的方法的探尋上. 不要像實際教學過程那樣，先復習方法，再在所謂“探究”的幌子下進行方法的操練.這樣的“探究”學生沒有思維的空間，他（她）不需要想什么，只需要把“探究”名義下的“方法”運用到相應的例題解決中即可.16 實際上，符合教學邏輯的做法是直接給出數(shù)列求和的問題，讓學生在對問題的理解和分析中去探索相應的數(shù)列求和的方法. 而

8、這種方法的確定學生需要明確：首先要判斷這個數(shù)列的屬性，如果是特殊的數(shù)列如等差數(shù)列或等比數(shù)列，那就直接用求和公式；如果不是特殊數(shù)列，那就研究這個數(shù)列的通項公式，并根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，選擇合適的方法.17 本節(jié)課授課教師對每一種數(shù)列求和的方法都做了小結，力圖幫助學生提煉出一些東西來.但是從教學的實際過程看，這樣的提煉有點就事論事，提煉的高度不夠.原因在于授課教師還是滿足于對于具體方法的落實上，而沒有看到方法背后的思維的價值.課題課題：數(shù)列求和：數(shù)列求和（高三第一輪復習課）18 如果這位教師在和學生進行充分的思維活動的基礎上，讓學生能夠感悟到數(shù)列求和的四種方法其實就是一種方法. 即在判斷出某數(shù)列

9、不是特殊數(shù)列之后，只要研究它的通項公式，從通項公式也就是從項與n的關系中找到解決問題的方法.19 本節(jié)課的思維邏輯的基礎是對“數(shù)列的前n項和”這一概念的深刻理解. 數(shù)列的前n項和不是一個簡單的求和計算. 我們要明確的是數(shù)列的前n項和Sn也是一個數(shù)列，也就是數(shù)列的前n項和Sn關于n的函數(shù).20 如此，Sn也有可能是特殊的數(shù)列如等差數(shù)列或等比數(shù)列；而求數(shù)列的前n項和Sn本質上是確定Sn和序號n的關系，也就是明確函數(shù)的自變量n與應變量Sn的關系.課題課題：數(shù)列求和：數(shù)列求和（高三第一輪復習課）2122 我們的數(shù)學教學是一定要能夠給學生帶來觀念的轉變的，這種轉變的基礎在于教師對數(shù)學概念的深刻理解.我們

10、要堅持用最基本概念來給學生們理解教學的內容，要教會學生會用最基本的數(shù)學概念來理解學習的知識.只有這樣，我們的課堂教學才能夠實現(xiàn)其真正的教育價值.231.要挖掘知識背后的思維的素材2.要教給學生思考數(shù)學問題的方法3.要提煉研究問題的一般方法4.要滲透學科的觀點、思想241.要挖掘知識背后的思維的素材25 我們要教給學生什么？學生學習數(shù)學的目的又是什么？為什么有的教師所上的數(shù)學課是那么的苦澀、無味？看到學生對學習數(shù)學的畏懼，甚至有的人把數(shù)學學習作為自己人生最失敗的經(jīng)歷，作為數(shù)學教師的我們又作何感想呢？目前課堂教學中存在的問題是什么？目前課堂教學中存在的問題是什么？26 數(shù)學教學的目的是什么呢？數(shù)學

11、教學的目的是什么呢？ 數(shù)學教學的意義又在哪里呢？數(shù)學教學的意義又在哪里呢？ 在集合的學習中，你能體會到在這部分內容中的數(shù)學思維層面的東西嗎？272829 在在集合集合的教學中如何體現(xiàn)數(shù)學的思維呢？的教學中如何體現(xiàn)數(shù)學的思維呢？ 無論是集合的含義，還是集合的關系、還是集合的運算，都是通過研究元素與集合的關系來進行的，這也就告訴我們，集合這種語言的特點，要從元素與集合的關系來掌握并運用這種語言. 集合之間的關系體現(xiàn)在元素與集合的關系的：如子集關系、如相等集合的關系、如真子集的關系，無一不是體現(xiàn)在元素與集合的關系上.30 如在如在“集合集合”的教學中，集合之間的的教學中，集合之間的關系，集合間的運算

12、通過簡單的實例、平關系，集合間的運算通過簡單的實例、平鋪直敘式的進行教學也能夠鋪直敘式的進行教學也能夠“完成完成”所謂所謂的教學任務的教學任務.31 但經(jīng)歷這樣的但經(jīng)歷這樣的數(shù)學教學的學生就數(shù)學教學的學生就沒有機會體會研究沒有機會體會研究集合問題的思維方集合問題的思維方式，即通過元素與式，即通過元素與集合的關系來刻畫集合的關系來刻畫集合之間的關系以集合之間的關系以及集合之間的運算及集合之間的運算.32 學生可能會很熟練地進行交學生可能會很熟練地進行交、并并、補的運算，但無從知道這種補的運算，但無從知道這種運算背后的數(shù)學觀點是什么，數(shù)運算背后的數(shù)學觀點是什么，數(shù)學原理是什么學原理是什么. 333

13、43536373839402.要教給學生思考數(shù)學問題的方法41 發(fā)展學生的數(shù)學思維能力是數(shù)學教育的基本目標之一. 高中數(shù)學教學的重點就是要讓學生學會用數(shù)學的思維思考數(shù)學問題和及解決問題！42能夠讀懂用數(shù)學的符號語言所表達出的函數(shù)性質能夠讀懂用數(shù)學的符號語言所表達出的函數(shù)性質434445464748()()2axaxa4950511 27+=2 2312（）2=T3262T2()=2631 +=2 623（）7T=()412352 平面解析幾何的思維特征是什么呢？53 m+k=054555657 立體幾何的思維特征是什么呢？5859通過平面來確定直線的位置60 數(shù)列的思維特征是什么呢？61函數(shù)函

14、數(shù)觀點下的數(shù)列問題觀點下的數(shù)列問題 用函數(shù)的觀點來認識數(shù)列用函數(shù)的觀點來認識數(shù)列用函數(shù)的思維理解數(shù)列用函數(shù)的思維理解數(shù)列問題問題用研究函數(shù)的方法來解決數(shù)列問題用研究函數(shù)的方法來解決數(shù)列問題.6297( )98xf xx9898979897( )19898xf xxx 633.要提煉研究問題的一般方法642015年全國新課標卷（年全國新課標卷（1）6566676869707172737475767778132a7980818283( )(0)f xf84這是一種計算的思維！能不能運用函數(shù)的性質來理解和解決問題呢？85( )(8)f xf8687利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質利用函數(shù)的解析式研究函

15、數(shù)的性質88函數(shù) xxxxeeyee89 要會研究函數(shù)的解析式，能夠從函數(shù)的解析式中了解函數(shù).909192939495結合函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質. 函數(shù)圖象能夠直觀形象的表示出函數(shù)的變化情況，可以幫助我們理解抽象函數(shù)關系的意義，同時函數(shù)圖象又是運用數(shù)形結合思想方法的基礎，利用函數(shù)圖象可以更好的研究函數(shù)的性質；96979899100 當我們面對一個函數(shù)的圖象的時候，也是要學會利用圖象去研究這個函數(shù)的有關的性質，而不是計算求值.101102 平面解析幾何的研究方法是什么呢？103 解析幾何解析幾何的的研究方法研究方法幾何特征：幾何對象的性質及相互的位置關系104 代數(shù)化的思維代數(shù)化的思維 -滲透

16、滲透“曲線與方程曲線與方程”的思想的思想:2(4)AMyk x1:2(4)BMyxk minOP105 代數(shù)化的思維代數(shù)化的思維 -滲透滲透“曲線與方程曲線與方程”的思想的思想( , )P x y(2 ,0)Ax(0,2 )By(4,2)M0MB MA minOP106 代數(shù)化的思維代數(shù)化的思維 -滲透滲透“曲線與方程曲線與方程”的思想的思想( , )P x y(2 ,0)Ax(0,2 )By(4,2)M107( , )P x y(4,2)M2222(4)(2)xyxy108(2,1)2k 12(2)yx minOP109110111從方程從方程中分析中分析幾何對幾何對象的幾象的幾何特征何特征

17、112 解析幾何的思維解析幾何的思維 -從代數(shù)形式中分析幾何特征從代數(shù)形式中分析幾何特征113 解析幾何的思維解析幾何的思維 -從代數(shù)形式中分析幾何特征從代數(shù)形式中分析幾何特征114 解析幾何的思維解析幾何的思維 -從代數(shù)形式中分析幾何特征從代數(shù)形式中分析幾何特征(0,1)0,5mm0115m1ykx2215xym115 116 117抓住線段抓住線段AB必與橢圓相交的幾何特征必與橢圓相交的幾何特征直線AB的方程： 14yxb 22143xy2213816(3)0 xbxb0 132b 1182213816(3)0 xbxb12813xxbM點的坐標： 413xb112413yxbb 1192

18、211143xy2222143xy12121212()()()()43xxxxyyyy AB中點M一定在C內120( , )M x y12123144yyxxxy 3yx4yxm(, 3 )Mmm 12121212()()()()43xxxxyyyy 121(, 3 )Mmm229143mm221313m 122123數(shù)列的研究方法是什么呢？1241132nn132 1 ( )2312nn125126（2 2）如果不是等差、等比數(shù)列，要么）如果不是等差、等比數(shù)列，要么轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，要么尋轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，要么尋找其它方法找其它方法. . （1 1）判斷所要求研究的數(shù)列是否）判斷所要求研究的數(shù)列是否為特殊數(shù)列：等差數(shù)列或等比數(shù)為特殊數(shù)列：等差數(shù)列或等比數(shù)列，如是，用公式和性質解決列，如是，用公式和性質解決. .解決數(shù)列問題的基本思路是：解決數(shù)列問題的基本思路是