第一章--基本概念

1、第一章基本概念§ 1 微分方程及其解的定義一. 內容簡介本節(jié)結合常微分方程的實例，講解與常微分方程有關的一些基本概念和術語二. 關鍵詞常微分方程，微分方程的通解，初始條件，特解三目的與要求1 正確理解微分方程、常微分方程及其階、線性微分方程與非線性微分方程、解、通解、初始條件、 初始值問題和特解等基本概念 2 了解常微分方程與生產實際和科學技術的緊密聯系，了解常微分方程討論的基本問題四教學過程§ 1 微分方程及其解的定義一.何謂微分方程這是首先要解決的一個問題，為此我們先從代數方程說起在代數中我們研究過求解高次代數方程xna/a。0.有：，乘方,代數方程一一含有一個變元的關

2、系式，即由已知數a0,a1, ,an 1,an與未知數x組成的等式，運算，它的解是數由代數基本定理知道，它的解只有有限個在數學分析中也研究過由隱式F(x,y) 0確定的隱函數 y (x)的問題函數方程一一至少含有兩個變元的關系式，即由自變量x和函數y組成的等式運算有，函數運算，它的解是函數由隱函數存在唯一性定理知,解為有限定義1所謂微分方程,就是一個或幾個包含自變量、未知函數以及未知函數的某些微商的方程式例如，dx2t ,(1.1)dtdy0 ,(1.2)dy1yx3(x 0),(1.3)dxxdy12y，(1.4)dxIIy1yyx ,(1.5)x ax0,(1.6)u xyuu ,(1.7

3、)xy以上這些都是微分方程只含一個自變量的微分方程稱為常微分方程，自變量多于一個的微分方程稱為偏微分方程例如，上叫做方例(1,1) (1,6)都是常微分方程，(1.7)是偏微分方程方程中所含未知函數的最高階導數的階數，程的階例如，(1.1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,7)是一階方程,(1,5)和(1.6)是二階方程一般n階常微分方程具有形式F(x,y,y', ,y(n)0(1.8)或者是顯式(n)'(n 1)、y f (x, y, y , y )(1.9)由代數方程引出微分方程，問題是出現了什么新東西？二.微分方程的有關概念1 微分方程的線性與非

4、線性i) 線性微分方程如果(1.8)式的左端關于未知函數和它的各階導數都是一次的有理整式，則稱(1.8)為n階線性常微分方程ii) 非線性微分方程不是線性微分方程的，稱為非線性微分方程n階線性常微分方程的一般形式是ao(x)y(n) a1(x)y(n1)an(x)y g(x) ,(1.10)其中a0 (x), a1 (x), an (x), g(x)都是已知的實值連續(xù)函數.在上例中，(1.1) , (1.2) , (1.3) , (1.6) , (1.7)是線性的，(1.4) , (1.5)是非線性的.2微分方程的解微分方程的解是一個函數，函數就有定義域，設為區(qū)間I 定義2設函數y (x)在區(qū)

5、間I上連續(xù)，且有直到 n階導數 若用(x), '(x),(n)(x)分別代替方程(1.8)中的y,y', y(n)后，使(1.8)在I內為關于x的恒等式，即F x, (x), '(x), (n)(x)0 ,則稱函數y (x)為方程(1.8)在區(qū)間I上的一個解.以后我們討論的函數都是實的單值函數，解y (x)的直到n階的導數不僅存在而且連續(xù) 為了方便，當函數(x)在區(qū)間I內具有直到n階連續(xù)微商時，常簡記為 (x) Cn(I)，或者(x) Cn. C 表示(x)在區(qū)間|內連續(xù).例1求微分方程 業(yè) f(x)的解，其中f (x) C.dx解 在數學分析中就是求函數f(x)的原函

6、數y(x)，故只需要在上式兩端關于自變量x積分，便得到y(tǒng)(x) f (x)dx C這里C是任意常數，顯然不論 C取任何值，上式都是方程的解從這里可以看出：一個常微分方程可以有無窮多個解給C一個確定的值，就得到方程的一個解3.通解和特解因為方程dyf(x)的任一確定的解，必有(1.11)的形式(但其中的 C取特定的值)，故(1.11)稱為dx此方程的通解，當 C取確定數值時所得到的解稱為此方程的一個特解一般地，我們有：定義3設n階微分方程(1.8)的解y(x,C|,C2，,cn)包含n個獨立的常數c1, c2,cn，則稱它為n階微分方程(1.8)的通解；若(1.8)的解y(x)不包含任意常數，則

7、稱它為特解從通解的定義可以看出，通解包含了方程的無窮多個解，它是解的一般表達式，但有例子可以說明, 通解不一定是方程的全部解 .這里稱n個任意常數C1, C2 ,cn是獨立的，其含意是(n 1關于C1,C2,Cn的雅可比(Tacobi)行列式C1C2CnD ,D C1 ,C2,(n 1)C1C2Cn0.(n 1)(n 1)(n 1)C1C2cn顯然，當任意常數一旦確定以后，通解就變成了特解如例2 中，當 x Xo 時，y(x)x Xoyo 這里取C y，則有特解y(x)xof (t)dt .我們把 y(x) x x0y0稱為附加條件可見確定一個特定的解一般是要附加條件的.4.初值條件、初值問題

8、例3在只有重力的作用下，求落體在鉛直方向的運動規(guī)律.設落體的運動只在重力作用下進行，不考慮空氣阻力等其他外力的作用，此時落體作垂直于地面的 自由落體運動如圖1.1.取坐標軸y從地面垂直向上，問題是：落體B的位置坐標yy(t)如何隨時間t變化?在運動過程中，落體只受重力F的作用，設落體的質量是 m ,則F mg ,其中g是重力加速度,這里出現負號是因為重力的方向是向下的，與y軸的正方向相反.因為y y(t)表示B的位置坐標，所以它對t的一階導數yy (t)表示B的瞬時速度v v(t)；而二階導 數y''y"(t)則表 示B的瞬時加 速度a a(t).由牛頓第二運動定律，

9、有 F ma，故得my (t) mg ,這樣可得一個微分方程為了得出落體的運動規(guī)律，需要求解這個微分方程在(1.12)兩側對t積分一次，得(1.13)y'(t) gt Ci其中G是一個任意常數，再把(1.13)對t積分一次，就得1 2y(t) -gt c,C2( 1.14)2其中C2是另一個任意常數可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解.通解(1.14)就表示自由落體的運動規(guī)律，在(1.14)中含有兩個任意常數這說明微分方程(1.12)有無窮多個解.為了要得到特定的物體運動規(guī)律，還必須考慮當運動開始時落體是在什么地方，且以什么樣的速度 運動的，即下面的初值條件：(1.15)C2

10、y0， C1 V0 .y(0) yo，y'(0) v將條件(1.15)分別代入(1.13)和(1.14)，可得這樣，在初值條件(1.15 )下，從微分方程(1.12)唯一地確定了一個解1 2y(t) - gtvotyo( 1.16)2它就描述了具有初始高度yo和初始速度Vo的自由落體運動.稱(1.16)是初值問題(1.17)y gIy(o) y°,y(o) Vo的解，初值問題又叫柯西問題.由以上簡單實例可以看出：1.微分方程的求解，與一定的積分運算相聯系，因此也常把求解微分方程的過程稱為積分一個微 分方程，而把微分方程的解稱為這個微分方程的一個積分.由于每進行一次不定積分運算

11、，會產生一個任意常數，因此僅從微分方程本身求求解(不考慮定解條件)，則n階微分方程的解應該包含 n個任意常數2 微分方程所描述的是物體運動變化的瞬時規(guī)律，求解微分方程，就是從這種瞬時規(guī)律出發(fā)，去獲得運動的全過程.為此，需要給定這一運動的一個初始狀態(tài)(即初始條件)，并以此為基點去推斷這一運動的未來，同時也可以追朔它的過去.3 一般對n階微分方程(1.8)的初值問題的提法是：/、' /、'(n 1) /、(n 1),、y(xo) y°,y(xo)y°, ,y(x°) yo(1.18)于是n階微分方程的初值問題可以提成如下形式：F(x,y,y',

12、 ,y(n) o()'()'(n 1) () (n 1)( 1.19)y(xo) yo,y (xo) yo, ,y(xo) yo求初值問題的辦法一般是，先由方程解出通解，再利用初值條件定出通解中的任意常數，從而得出 要求的特解.微分方程是數學理論聯系實際問題的重要渠道.大家知道，微積分是現代數學的核心內容之一，用微積分解決實際問題的重要途徑就是使用微分方程.在二十世紀以前，微分方程問題主要來源于幾何學、力學和物理學，而現在則幾乎在自然科學和工程技術的每一個部門都有或多或少的微分方程問題，甚至在生物、農業(yè)以至經濟學等方面也獲得了越來越多的應用為了解決這些問題，就有必要建立微分方程

13、本身的基礎理論，而這又需要用到數學其它分支學科的知識，并往往推動這些分支學科的發(fā)展，反過來，這些 學科的發(fā)展也常常通過微分方程進一步更好地解決生產實際和工程技術中的問題本課程的任務就是要介紹常微分方程理論中的一些最主要的問題，以及求解常微分方程的一些最基 本方法至于偏微分方程，我們只在第十一章涉及到一點，不去專門研究它關于本課程所要研究的幾個主要問題首先，自然是求通解的各種方法，即所謂初等積分法，這是第二章的主要內容其次是：對于一般的微分方程，研究它的解是否存在和唯一，以及解對初值或參數的依 賴關系這是第三章和第五章§ 3、§ 4的內容再次，對于在實用上經常遇到而在理論上發(fā)

14、展得比較完善的 線性微分方程組和高階線性微分方程的理論和求解方法，這是第五章§1、§ 2和第六章的內容最后在第八章中介紹用定性方法研究非線性方程的最基本的知識，關于這方面的知識近幾十年來有很大的發(fā)展， 同學們應該對它有所了解最后我們指出：一個 n階微分方程的通解應該包含n個獨立的任意常數；反之，對于一個包含n個獨立的參數Ci,C2, , Cn的n次可微的函數族，存在一個形如(1.8)的n階微分方程，使得該函數族恰好是 它的通解.例4求雙參數函數族y Ci ex cos x C2exsi nx(1.20)所滿足的微分方程.解 依題意，要找雙參數函數族所滿足的微分方程(更確切地

15、說，即使要找由(1.20)式所確定的隱可以將(1.20)式對x求導函數 y(x, C1, C2)所滿足的，以x為自變量，并且不包含 C1 ,C2的微分方程)兩次，得yC1ex(cosx sin x) C2ex(sin xcosx)，(1.21)IIyGex( 2sin x) C2ex(2cosx)，(1.22)從以上兩式可知雅可比(Tacobi)行列式d y,y'xe cosxx e sinx2x小e0,D C1, C2ex (cosx sinx) ex(sinx cosx)這說明(1.20)中包含的兩個任意常數 C1,C2是獨立的.從上面(1.20)和(1.21)兩個式子中解出X&#

16、39;C1e y(si nxcosx)ysi n x,x'C2ey(sinxcosx)ycosx.然后把它們代入(1.22)式，得到一個二階微分方程這就是函數族(1.20)所滿足的微分方程習題111 指出下列微分方程的階數，并說明哪些方程是線性的:(1)(3)(4)(5)答案:(x2dydx.3d y73-d x2y2)dx (3x2 4y2)dy2yy xsiny 0 ;e 辱 x2y d2xcosx.(1)二階線性方程;(2)一階非線性方程;(3) 階非線性方程;二階非線性方程;(5)三階線性方程;2 驗證下列函數是右側相應微分方程的解或通解:(1) yCOSX ;sinx,xy

17、y x，故sin x , ，口 e 對x求導得x cosx sin x2xxyxcosx sin x2xsin xcosx ,xsin x所以y是方程xxycosx的解.a4(2) y 0,C1)2xC1,C1x C2 ,y' y;2(x C2)C2x Ci 時，y(x Ci)2(x Ci)2 lx Ci4|2 |0 ,所以；yx Ci2x Ci2故y'心|y，即y(x Ci)2x Ci)是方程y . y的解.同理可證：y2(x C2)(C2)是方程y 一寸y的解.顯然，當C1x C2 時,0是方程y'. y的解.2(x Ci)4所以y 0,xCiCixC2是方程y&#

18、39;. y的解.2(x C2)C23 .求下列初值問題的解:(i)翌 f(x)，y(0) dx(這里f (x)是一個已知的連續(xù)函數)；解方程兩邊從0到x積分，得xy(x) o f(t)dt c .由初始條件y(0)0 ,可得C0，故初值問題的解為 ydR(2)aR，R(0) i，dt(這里a 0是一個常數)解顯然R 0是方程的解，但R 0不滿足初始條件R(0)1，故當R 0時，將方程改寫為dRdR adt，方程兩邊從0到t積分得In Rat I nC， 即 R Ce at4.求出：(1)曲線族y Ciex C2xex所滿足的微分方程;解 將y Ciex C2xex對x先后求導兩次，得'xxy (C1 C2)eC2xe ，''y(C1 2C2)eCzxe，從以上兩式可知雅可比(Tacobi)行列式'xxD y,y e xe 尹 ° DGGex ex(1 x)這說明y C1ex C2xex中包含的兩個任意常數 G,C2是