一維勢(shì)壘問題總結(jié)

1、 一維勢(shì)壘中的透射系數(shù)利用傳遞矩陣方法研究了粒子在一維勢(shì)壘中運(yùn)動(dòng)時(shí)的粒子的透射系數(shù),主要研究的是在一個(gè)方勢(shì)壘兩個(gè)方勢(shì)壘中透射系數(shù)，對(duì)以上的透射系數(shù)的總結(jié)，推出了對(duì)于任意勢(shì)壘中透射系數(shù)， 并討論了透射系數(shù)、反射系數(shù)與勢(shì)壘寬度的關(guān)系. 一維方勢(shì)壘勢(shì)壘模型 在方勢(shì)壘中，遇到的問題和值得注意的地方。在求方勢(shì)壘波函數(shù)中，首先要知道這是一個(gè)什么樣問題，滿足什么樣的方程，方程可以寫成什么樣的形式，在求解方程中，波函數(shù)的形式應(yīng)該怎樣需要怎樣的分段，分段的過程中，特別要強(qiáng)調(diào)的邊界條件問題。并且驗(yàn)證了概率流密度。在量子力學(xué)中，粒子在勢(shì)壘附近發(fā)生的現(xiàn)象是不一樣的，能量E大于勢(shì)壘高度 的粒子在勢(shì)壘中有一部分發(fā)生反射，

2、而能量小于的粒子也會(huì)有部分穿過勢(shì)壘，這在經(jīng)典力學(xué)中是不會(huì)發(fā)生的。下面討論的是一維散射（即在非束縛態(tài)下問題，在無窮遠(yuǎn)處波函數(shù)不趨于零）。重點(diǎn)討論的是粒子通過勢(shì)壘的透射和反射，重點(diǎn)在于求出波函數(shù)，這就必須求解薛定諤方程，由于是與時(shí)間無關(guān)的，此處是定態(tài)薛定諤方程。 定態(tài)薛定諤方程通式： 在量子力學(xué)里, 必須知道波函數(shù), 因此必須要解薛定諤方程 一維散射問題是一個(gè)非束縛態(tài)問題(與時(shí)間無關(guān), 而是正的).因此令 由此得到 按照勢(shì)能的形式, 方程(2)一般需要分成幾個(gè)部分求解.將上式改寫成如下形式 先討論的情形 粒子滿足薛定諤方程分解為三個(gè)區(qū)域： （1） 特征方程的兩個(gè)根 方程 的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根 兩

3、個(gè)相等的實(shí)根 一對(duì)共軛復(fù)根 注： 的通解:特征方程,當(dāng)時(shí)，通解，當(dāng)時(shí)，通解方程（1）的解可以表示為： （2）定態(tài)波函數(shù)再分別乘上一個(gè)含時(shí)間的因子，可以看到式子（2）的三式，第一項(xiàng)是左向右傳播的平面波，第二項(xiàng)是由右向左傳播的平面波，即入射波和反射波。在區(qū)域內(nèi)，只有入射波，無反射波，故。利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的邊界條件，可得如下:這里的；由 得 （3） 由 （4）可以寫成： （5） （6）由式（5）和式（6）得： （7）化解得： 注：概率流密度的定義；此處入射波，透射波，反射波，分別代入概率流密度 ;化簡得：，同理，；注：透射概率流密度與入射概率流密度之比稱為透射系數(shù)，即區(qū)域粒子在單位時(shí)間內(nèi)

4、流過垂直與x方向的單位面積的數(shù)目，與入射粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過垂直與x方向的單位面積的數(shù)目之比。從得出反射系數(shù)。 化簡的 (8)同理透射系數(shù)T， （9）由上式R和T之和等于1，證實(shí)了入射粒子一部分透射到x>a區(qū)域，另一部分被勢(shì)壘反射。 （以后要重點(diǎn)關(guān)注共振點(diǎn)） 這里常在文獻(xiàn)中涉及到是，當(dāng)反射為零，透射系數(shù)為1，產(chǎn)生的共振，此時(shí)只有透射波沒有反射波，這個(gè)理解為第一個(gè)界面反射的波和第二個(gè)界面反射的波相消干涉。即兩個(gè)反射波之間有相位差。（這里也可以研究概率密度驗(yàn)證以上的結(jié)論）討論的情形， 解： 其中；邊界條件： E<u0,a=0.8nm,u0=3eV E>u0,a=0.8nm,u0=

5、3eV 無論是E>u0,還是E<u0,在同一個(gè)圖中表示： a=0.8nm,u0=3eV我的驗(yàn)證過程是用的傳遞矩陣所求出的透射系數(shù)與書上推導(dǎo)出來的做的圖是一致的，這里試圖找到隧穿共振的點(diǎn)和圖，我在編程的過程中驗(yàn)證了一個(gè)非常有用簡便的方法，這個(gè)等式在Mathematica中可以統(tǒng)一寫成，這是正確的，以后完全不用再分段。為保證完全正確，下面再進(jìn)一步驗(yàn)證。雙勢(shì)壘模型 設(shè)真空中質(zhì)量為m，能量為E的粒子從左方入射，如上圖所示的一維兩個(gè)方勢(shì)壘中，勢(shì)壘的勢(shì)能函數(shù)為 同樣滿足常數(shù)勢(shì)壘求薛定諤方程，當(dāng)E>u1，u2時(shí)； 解 令， 可求得： 即有此通式 注：上式作為通式很重要，一定要牢牢記住，可以

6、為以后的計(jì)算省好多時(shí)間。這里通過化簡可以得到（注：這里一定要認(rèn)真化簡，化成統(tǒng)一的形式） 透射系數(shù) n=2,a1=0.4,a2=0.4,u1=u2=3eV;n=1,a=0.8,u1=3eV; n=2,a1=0.8,a2=0.,u1=u2=3ev,這里先是一個(gè)方勢(shì)壘下透射系數(shù)，然后兩個(gè)方勢(shì)壘退化成一個(gè)方勢(shì)壘是否正確有a1=0.8,a2=0時(shí)，或a1=a2=0.4.u1=u2時(shí)退化成方勢(shì)壘。驗(yàn)證是正確的。在程序中我用的矩陣的形式，然后得出的是透射系數(shù)，但是我同時(shí)也把我自己化簡的結(jié)果，直接求出的投射系數(shù)，然后帶入之后，確定是正確，這感到很欣慰。這足以表明傳遞矩陣的方法在一個(gè)方勢(shì)壘和兩個(gè)方勢(shì)壘是正確的。

7、此外通過一個(gè)方勢(shì)壘和兩個(gè)方勢(shì)壘已經(jīng)能夠得出任意勢(shì)壘的傳遞矩陣下面進(jìn)行驗(yàn)證。高斯勢(shì)壘勢(shì)壘模型此模型滿足一維定態(tài)薛定諤方程： 假設(shè)能量為E一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子從左邊沿x方向入射，第i個(gè)勢(shì)壘的勢(shì)能函數(shù)為常數(shù)，勢(shì)能表達(dá)式如下： 其中 是可調(diào)的參數(shù)，越大時(shí)，勢(shì)壘越平滑，也就越低，越大是，勢(shì)壘就越陡峭，就越大。先討論的情形，這時(shí)能量為E的粒子滿足定態(tài)薛定諤方程可依次寫成如下形式：當(dāng)x<0時(shí)，由于粒子穿過第一個(gè)勢(shì)壘，在這個(gè)區(qū)域就會(huì)有反射波和入射波。此時(shí)滿足方程： 此方程的解表示如下形式： 同理在x>2a時(shí)，這個(gè)區(qū)域內(nèi)透射波遇不到其他任何勢(shì)壘不能發(fā)生發(fā)射只有向右傳播的透射波， 此時(shí)滿足薛定諤方程：

8、方程的解： 在區(qū)域0<x<2a中，其勢(shì)能曲線可被分成N部分，每一部分的勢(shì)能值可視為一常數(shù)（見圖中階梯狀曲線）有圖可見，只有N足夠大，原任意勢(shì)壘就可以用這N個(gè)矩形勢(shì)壘來代替，并且N越大，精度越高。這樣計(jì)算任意勢(shì)壘的透射系數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為電子穿過多矩形勢(shì)壘的透射系數(shù)問題。這樣的問題我們可以通過傳遞矩陣的方法加以解決。粒子在運(yùn)動(dòng)在各區(qū)域遵從定態(tài)薛定諤方程為 于是在第i個(gè)勢(shì)壘中的勢(shì)能為，是常數(shù)這里就轉(zhuǎn)化成了矩形勢(shì)壘的問題，在此勢(shì)壘中定態(tài)薛定諤方程可寫成： 粒子的波函數(shù)可以表示為： 是波矢，分別是入射波和反射波的波幅。下面列出了在第i個(gè)勢(shì)壘左邊和右邊波函數(shù)做滿足的定態(tài)薛定諤方程： 解得： 考慮

9、到勢(shì)壘本身并不吸收或產(chǎn)生粒子，勢(shì)壘兩側(cè)的概率流密度應(yīng)當(dāng)相等。這就導(dǎo)致在處波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的邊界條件，于是可得： 代入方程： 這里我可以寫成矩陣的形式如下： 繼續(xù)化簡這里可以得到一個(gè)通式： 上面的轉(zhuǎn)移矩陣就是： 這里設(shè)a=1,我們就得到了反射概率；下面討論當(dāng)?shù)那樾?，已?jīng)知道勢(shì)壘兩邊的區(qū)域薛定諤方程不變，波函數(shù)也不變，在中間區(qū)域的勢(shì)壘中，當(dāng)，薛定諤方程的解成另外一種形式： ；這里令可以明顯觀察到上面的計(jì)算仍然成立，前提是當(dāng)時(shí)，只要 變?yōu)樘摂?shù)，即；和不是波，它是波幅的衰減因子。上面已經(jīng)提到這在軟件中是可以寫成統(tǒng)一形式的。方勢(shì)壘分1，2,3,4,10段時(shí)的透射系數(shù)： N=2,a1=0.8nm,

10、a2=0.8,u=10.4eV,u2=0.4N=1,a=1.6nm,u=0.4eVN=10,a1=a2=a3.=a10=(1.6/10)nm,u1=u2=u3.=u10=0.4eVN=3,a1=a2=a3=(1.6/3)nm,u1=u2=u3=0.4eV上面的圖像可以完全證實(shí)我們的方法是正確的。下面是雙高斯的透射系數(shù)： 雙高斯勢(shì)壘n=10,a=1.6nm，方勢(shì)壘u=4eV,a=1.6nm，雙高斯勢(shì)壘n=10,a=1.6nm， 雙高斯勢(shì)壘n=10,a=1.6nm，雙高斯勢(shì)壘n=20,a=1.6nm，雙高斯勢(shì)壘n=40,a=1.6nm，雙高斯勢(shì)壘n=100,a=1.6nm，雙高斯勢(shì)壘n=80,a=

11、1.6nm，上面先對(duì)一個(gè)方勢(shì)壘進(jìn)行了分段，分別畫出了1,2,3,10段的圖像，并進(jìn)行比較，證明分段的程序是正確的，下面我又對(duì)雙高斯勢(shì)壘進(jìn)行了分10段，并畫出了圖形，并且證實(shí)了當(dāng)趨近于無窮大時(shí)，勢(shì)壘趨近于常數(shù)，也就是趨近于方勢(shì)壘，并且與方勢(shì)壘是一致的，下面又對(duì)雙高斯勢(shì)壘分了20段，40段，80段和100段。再次證明圖形是正確的。總結(jié)：通過對(duì)公式的一步步推導(dǎo)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了一維定態(tài)問題中粒子穿過勢(shì)壘過程中透射系數(shù)的問題。再次證實(shí)了應(yīng)用傳遞矩陣方法的正確性，有了這種方法我們可以求任意形狀的勢(shì)壘的透射系數(shù)。在編程的過程中，要一步一步的去驗(yàn)證自己的正確性。下面是程序的關(guān)鍵部分：下面我還做了另外一種雙高斯的

12、圖： 勢(shì)壘函數(shù) 在這個(gè)勢(shì)壘下的透射系數(shù)Remove"*"varDirectory=NotebookDirectory;CreateDirectoryvarDirectory;SetDirectoryvarDirectory;curr=OpenWrite"Gs100.dat"eV=1.6022*10-19;a=1.6*nm;hba=(6.6261*10-34)/(2*Pi);m=9.10938188*10-31;nm=10-9;n=100;Do Energy=EE*eV; k0=/hba; kn+1=/hba;kx_=Whicha/n*x>0&&a/n*x£0.8*nm,/hba,a/n*x>0.8*nm,/hba; Lx_=a/n*x; ZZ=1,0,0,1; Do Aj=1/(2*kj)*kj*E-I*kj*Lj,E-I*kj*Lj,kj*EI*kj*Lj,-EI*kj*Lj.EI*kj+1*Lj,E-I*kj+1*Lj,kj+1*EI*k