超幾何分布與二項分布的聯(lián)系.

1、超幾何分布與二項分布的聯(lián)系超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系,但也有明顯的區(qū)別。課本對于超幾何分布的定義是這樣的:一般的 , 若一個隨機變量X 的分布列為( k n k M N M n NC C P X k C -=, 其中 0,1,2, , k l = , min(, l n M =, 則稱 X 服從超幾何分布 ,記為 (, , X H n M N 。其概率分布表為 :對于二項分布的定義是這樣的:若隨機變量 X 的分布列為 ( (1 k k n k n P X k Cp p -=-, 則稱 X 服從參數為 , n p 的二項分 布,記為 (, X B n p 。其概率分布表為 :超幾何分

2、布與二項分布都是 取非負整數值的離散分布 ,表面上看 ,兩種分布的概率求取 有截然不同的表達式 ,但看它們的概率分布表 ,會發(fā)現構造上的相似點 ,如:隨機變量 X 的取值都從 0 連續(xù)變化到 l ,對應概率 和 , , N n l 三個值密切相關 . 可見兩種分布之間有著密切的聯(lián)系 . 課本中對超幾何分布的模型建立是這樣的 :若有 N 件產品 , 其中 M 件是廢品 ,無返回地任意抽取 n 件 ,則其中恰有的廢品件數 X 是服從超幾何分布的。而對二項分布則使用比較容易理解的射擊 問題來建立模型。若將但超幾何分布的概率模型改成 :若有 N 件產品 ,其中 M 件是廢品 ,有返回的任意抽取 n件

3、,則其中恰有 的廢品件數 X 是服從二項分布的。在這里 ,兩種分布的差別就在于“有 ”與 “無 ”的差別 ,只要將概率模型中的 “無 ”改為 “有 ”或,將 “有 ”改為“無 ”就,可以實現兩種分布之間的轉化。 “返回 ”和 “不返回 ”就是兩種分布轉換的關鍵。如在 2.2 節(jié)有這樣一個例題 :高三 (1 班的聯(lián)歡會上設計了一項游戲 :在一個口袋中裝有 10 個紅球、 20 個白球 ,這些球除 顏色外完全相同 ,一次從中摸出 5 個球 ,摸到 4 個紅球 1 個白球就是一等獎 ,求獲一等獎的概率。本題采用的解法是摸出球中的紅球個數 X 服從超幾何分布 ,但是如果將 “一次從中摸出 5 個球 ”

4、改為 “摸出一球記下顏色 ,放回后再摸一球 ,反復 5 次 ”則,摸出 球中的紅球個數 X 將不再服從超幾何分布 ,而是服從二項分布。我們分別來計算兩種分布所對應的概率:這時發(fā)現發(fā)現兩 種不同的分布其對應的概率之間的差距進一步縮小了 , 我們做出這樣的猜想 :樣本個數越大超幾何分布和二項分布的對應概率相 差就越小 ,當樣本個數為無窮大時 ,超幾何分布和二項分布的對應概率就相等 ,換而言之超幾何分布的極限就是二項分布 !也就 是說 lim (1 k n k k k n k M N M n n N NC C C p p C - +=-,下面我們對以上猜想作出證明: 產品個數 N 無限大 ,設廢品率

5、為 p ,則 lim N M p N + =,以上的證明與我們的直觀思想相吻合 :在廢品為確定數 M 的足夠多的產品中 ,任意抽取 n 個(由于產品個數 N 無限多 ,無 返回與有返回無區(qū)別 ,故可看作 n 次獨立試驗中含有 k 個廢品的概率當然服從二項分布。在這里 ,超幾何分布轉化為二項分布的條件是 (1 產品個數應無限多 , 否則無返回地抽取 n 件產品是不能看作 n 次獨立試驗的 .(2 在產品個數 N 無限增加的過程中 , 廢品數應按相應的 “比例 ”增大 ,否則上述事實也是不成立的。 對于超幾何分布的數學期望 ( M E X n N = ? ,二項分布的數學期望 ( E X np =

6、,當我們將 “不返回 ”改為 “返回 ”時, M p N=, 兩種分布的數學期望相等 , 方差之間沒有相等關系。 超幾何分布和二項分布的數學期望和方差是否也具有我們以上猜想并證明的 極限關系呢 ?事實上超幾何分布的數學期望(ME X n N =? , 方 差 2( ( (1 nM N n N MDXNN-=-,當這兩個極限值分別是二項分布的數學期望與方差。 需要指明的是這一性質并非只為超幾何分布與二項分布之間所具有 , 一般 地 , 如果隨機變量依分布收斂于隨機變量 , 則隨機變量的數學期望和方差分別是隨機變量的數學期望和方差的極限。這樣超幾何 分布與二項分布達到了統(tǒng)一。一般說來 , 有返回抽

7、樣與無返回抽樣計算的概率是不同的 , 特別在抽取對象數目不大時更是如此。 但當被抽取的對象數目較 大時 , 有返回抽樣與無返回抽樣所計算的概率相差不大 , 人們在實際工作中常利用這一點 , 把抽取對象數量較大時的無返回抽樣 (例如破壞性試驗發(fā)射炮彈 ;產品的壽命試驗等 ,當作有返回來處理 .那么 ,除了在有無 “返回 ”上做文章 ,有沒有什么辦法快速實現超幾何分布向二項分布的轉化呢 ?設想 N 件產品裝在一個大袋中 ,其中 M 件為廢品 , 無返回地從中抽取 n 件, 那么其中廢品件數 X 服從超幾何分布。 現若在 大袋中再放進兩個小袋 ,一袋裝正品 ,一袋裝廢品 ,然后從大袋中任摸一個小袋 ,無返回地從中任取一件產品 ,則這樣任取 n 件,其中廢品件數 X 就不再服從超幾何分布 ,而應服從的二項分布了。事實上 ,我們把摸到正品袋中的產品看作 “成功 ”摸,到廢 品袋中的產品看作 “失敗 ”則, “成功 ”與“失敗 ”的概率相等 ,皆為且每次試驗是相互獨立的 ,正是典型的伯努力試驗概型 ,因此可 用二項分布去刻劃其概率分布列.從這一點上講 ,兩種分布僅 “一袋之隔 ”。將正品和廢品隔離 ,則超幾何分布將成為二項分布 .超幾何分布和二項分布這兩種離散