平面上多條相異直線的最多交點(diǎn)數(shù)之研究

1、平面上多條相異直線的最多交點(diǎn)數(shù)之研究摘要：本份研究是探討平面上多條相異直線，其直線數(shù)與最多交點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)係。壹、 研究動(dòng)機(jī)在本學(xué)期數(shù)學(xué)2-2二元一次聯(lián)立方程式的圖形這個(gè)單元中，我們了解到兩條直線之間的關(guān)係有三種情形;第一種是兩直線相交於一點(diǎn)(只有一解)，第二種是兩直線平行不相交(無(wú)解)，第三種是兩直線重合(無(wú)限多解)。在一次偶然的機(jī)會(huì)，我們?cè)诰W(wǎng)路上看到奇摩知識(shí)中，有人問(wèn)到平面上101條相異直線，最多會(huì)有幾個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)問(wèn)題引起了我們研究的動(dòng)機(jī)。貳、 研究目的我們的好奇心使我們絞盡腦汁，以下兩點(diǎn)是我們的研究目的。一、 直線該怎麼畫(huà)才能有最多的交點(diǎn)數(shù)。二、 直線數(shù)和最多交點(diǎn)數(shù)之間到底有什麼關(guān)係。參、

2、 研究設(shè)備及器材紙、筆、直尺、計(jì)算機(jī)肆、 研究過(guò)程或方法一、 直線該怎麼畫(huà)才能有最多的交點(diǎn)數(shù)。在本學(xué)期2-2的單元中我們知道兩條直線之間的關(guān)係有三種，即相交、平行和重合。在不重合的情況下，兩條直線的最多交點(diǎn)數(shù)是為1。三條直線的可能交點(diǎn)數(shù)為0、1、2、3。四條直線的可能交點(diǎn)數(shù)為0、1、3 、5 、6。如下列圖所示 (圖1)兩條直線平行交點(diǎn)數(shù)為0 (圖2)兩條直線不平行則相交於一點(diǎn) (圖3)三條直線平行交點(diǎn)數(shù)為0 (圖4)三條直線皆不平行但相交於同一點(diǎn)，交點(diǎn)數(shù)為1 (圖5)有兩條直線平行，交點(diǎn)數(shù)為 (圖6)三條直線皆不平行且相交於不同點(diǎn)，交點(diǎn)數(shù)為3 (圖7)四條線皆平行，交點(diǎn)數(shù)為0 (圖8)四條直

3、線皆不平行，但相交於同一點(diǎn)，交點(diǎn)數(shù)為1 (圖)兩線平行，三線相交於同一點(diǎn)，交點(diǎn)數(shù)為3 (圖10)三條線平行，交點(diǎn)數(shù)為3 (圖11)兩條線平行，交點(diǎn)數(shù)為5 (圖12)四條直線皆不平行且相交於不同點(diǎn)不共點(diǎn)，交點(diǎn)數(shù)為6由(圖2)、 (圖6)、 (圖12)，我們發(fā)現(xiàn)要取最大的交點(diǎn)數(shù)，必須遵守兩個(gè)原則。(一) 每一條直線彼此不能平行，平行會(huì)減少交點(diǎn)數(shù)。(二) 不可三條線以上共點(diǎn)，否則交點(diǎn)數(shù)也會(huì)減少。二、 直線數(shù)和交點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)係。(一)由上面的規(guī)則我們可以得知，要畫(huà)出最多交點(diǎn)數(shù)的圖形必須每條直線皆不平行，且不可多線(三條以上)共點(diǎn)，故我們繪製其關(guān)係圖表如下。直線數(shù)圖形最多交點(diǎn)數(shù)備註10213346510

4、615721828(三) 由上表，我們發(fā)現(xiàn)多條相異直線數(shù)(n)與其最多交點(diǎn)數(shù)(k)，之間似乎無(wú)直接的關(guān)係。但若我們從圖形著手，我們發(fā)現(xiàn)以下規(guī)則：1、 n條直線的最大交點(diǎn)數(shù)為k，欲求出k值必須讓每一條直線彼此相交。當(dāng)我們劃第一條直線時(shí)，由於只有一條直線，故k值為0。2、 當(dāng)我們要?jiǎng)澤系诙l直線時(shí)，由於圖形上已經(jīng)有一條直線，故k之值為1。3、 當(dāng)我們要?jiǎng)澤系谌龡l直線時(shí)，由於圖形上已經(jīng)有兩條直線，故劃上第三條直線會(huì)多出兩個(gè)交點(diǎn)，即第三條直線和原來(lái)圖形上兩條直線之交點(diǎn)。故k值為124、 當(dāng)我們要?jiǎng)澤系谒臈l直線時(shí)，由於圖形上已經(jīng)有三條直線，故劃上第四條直線會(huì)多出三個(gè)交點(diǎn)，即第四條直線和原來(lái)圖形上三條直線

5、之交點(diǎn)。故k值為5、 當(dāng)我們要?jiǎng)澤系谖鍡l直線時(shí)，由於圖形上已經(jīng)有四條直線，故劃上第五條直線會(huì)多出四個(gè)交點(diǎn)，即第五條直線和原來(lái)圖形上四條直線之交點(diǎn)。故k值為伍、 研究結(jié)果一、 平面上多條（）相異直線，其交點(diǎn)數(shù)之極大值發(fā)生在在每一條線彼此皆不平行，且無(wú)共同交點(diǎn)的情況。二、 由以上推論可得知，（）。其中為直線數(shù)，為最多交點(diǎn)數(shù)。陸、 討論由研究結(jié)果得知，最大交點(diǎn)數(shù)（），亦即若要求十條直線的最多交點(diǎn)數(shù)，只要帶入此公式即可求出。當(dāng)。這使我們回想起在奇摩知識(shí)所看到的題目。題目?jī)?nèi)容所要求的是條直線的最多交點(diǎn)數(shù)。即使我們已經(jīng)研究出公式，但要算出條線的最多交點(diǎn)數(shù)還是有困難。當(dāng)經(jīng)由老師的引導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)?？蓪⒋藬?shù)列的頭尾相加即到總共個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)一組可分成組，每一組的和為，故可得：亦即原來(lái)的公式：（）（）（）可整理為（）（）/ = （）/ 柒、 結(jié)論由以上的過(guò)程我們可以