普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理科試題天津卷精校版

1、2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué) （理工類）本試卷分為第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘，第I卷1至3頁，第卷4至11頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷注意事項：1. 答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。答在試卷上的無效。3. 本卷共10小題，每小題5分，共50分。參考公式：·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互獨立，那么 P（AB）=

2、P（A）+P（B）. P(AB)=P(A)P(B).·棱柱的體積公式V=Sh. ·棱錐的體積公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面積， 其中S表示棱錐的底面積. H表示棱柱的高 h表示棱錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（A）1+i （B）5+5i （C）-5-5i （D）-1-i(2)函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）（3）命題“若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)”的否命題是（A）若是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)（B）若是奇數(shù)，則不是奇函數(shù)（C）若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)

3、（D）若是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)（4）閱讀右邊的程序框圖，若輸出S的值為-7，則判斷框內(nèi)可填寫（A）i<3? ( B)i<4?(C) i<5? (D)i<6?（5）. 已知雙曲線的一條漸近線方程式是，它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（A） （B）（C） （D）（6）已知a是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且則數(shù)列的前5項和為（A）或5 （B）或5 （C） （D） （7）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若，sinC=2sinB，則A=（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°（8）設(shè)函

4、數(shù)f（x）= 若，則實數(shù)的取值范圍是 （A） （）（） （）（9）設(shè)集合A，B若，則實數(shù)必滿足（A） （B）（C） （D）（10）如圖，用四種不同顏色給圖中的A、B、C、D、E、F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色則不同的涂色方法共有（A）288種 （B）264種 （C）240種 （D）168種二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案填在題中橫線上（11）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為 和 (12 ) 一個幾

5、何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 （13）已知圓C的圓心是直線（為參數(shù)）與軸的交點，且圓C與直線相切則圓C的方程為 （14）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P若，則的值為 （15）如圖，在中，則= （16）設(shè)函數(shù)，對任意, 恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)已知函數(shù)=2()求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；()若，求的值(18)(本小題滿分12分)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響()假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中

6、目標(biāo)的概率；()假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率；()假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分記為射手射擊3次后的總得分?jǐn)?shù)，求的分布列(19)(本小題滿分12分)如圖，在長方體中，分別是棱，上的點，()求異面直線與所成角的余弦值；()證明平面；() 求二面角的正弦值(20)(本小題滿分12分)已知橢圓(0)的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4()求橢圓的方程；()設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點已知點的坐標(biāo)為(-，0)，點(0，)在線段的

7、垂直平分線上，且=4求的值（21）（本小題滿分14分）已知函數(shù)() 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；()已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱證明當(dāng)x>1時，f(x)>g(x)； ()如果且證明（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，且說對任意，成等差數(shù)列，其公差為()若=2k，證明成等比數(shù)列（）；()若對任意，成等比數(shù)列，其公比為 （i）設(shè)1證明是等差數(shù)列； (ii)若，證明2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參考解答三、解答題（17）本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的

8、余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力.滿分12分.（）解：由，得.所以函數(shù)的最小正周期為.因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1.（）解：由（）可知.又因為，所以.由，得.（18）本小題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.（）解：設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率.（）解：設(shè)“第次射擊擊中目標(biāo)”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件,則 = =.（）解：由題意可知，的所有

9、可能取值為. ； =；（19）本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分12分.方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點.設(shè),依題意得,.（）解：易得,.于是. 所以異面直線與所成角的余弦值為.（）證明：已知,.于是·=0，·=0.因此，,.又.所以平面.()解：設(shè)平面的法向量，則,即.方法二：（）解：設(shè)AB=1，可得AD=2，AA1=4，CF=1，CE=.連接B1C，BC1，設(shè)B1C與BC1交于點M.易知A1DB1C.由,可知EFBC1.故是異面直線EF

10、與A1D所成的角.易知BM=CM=,所以.所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為.（）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點N. 因為，所以.從而.又由于,所以.故ACDE.又因為CC1DE且，所以DE平面ACF.從而AFDE.連接BF，同理可證B1C平面ABF,從而AFB1C,所以AFA1D.因為，所以AF平面A1ED.()解：連接A1N，F(xiàn)N.由（）可知DE平面ACF.又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF，DEA1N，故為二面角A1-ED-F的平面角.易知，所以.又，所以.在中.在中，.連接A1C1，A1F. 在.在中，.所以.所以二面角A1-DE-F正弦值為.由得設(shè)線段AB的中

11、點為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是（21）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分（）解：令,解得x=1當(dāng)x變化時，的變化情況如下表X()1()+0-極大值所以在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù).函數(shù)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即（)證明：（1）若，由（）及，得與矛盾（2）若，由（）及，得與矛盾根據(jù)（1）（2）得由（）可知，>,則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以>,即>2.(22)本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.（）證明：由題設(shè)，可得所以由=0，得從而于是.所以成等比數(shù)列.（）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當(dāng)1時，可知1，k從