數(shù)二真題標準答案及解析

1、2003年考研數(shù)學（二）真題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） 若時， 與是等價無窮小，則a= .（2） 設函數(shù)y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是 .（3） 的麥克勞林公式中項的系數(shù)是_.（4） 設曲線的極坐標方程為 ，則該曲線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為_.（5） 設為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置. 若，則= .（6） 設三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則_.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后

2、的括號內(nèi)）（1）設均為非負數(shù)列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. （2）設, 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . （3）已知是微分方程的解，則的表達式為 （A） (B) (C) (D) （4）設函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個極小值點和兩個極大值點. (B) 兩個極小值點和一個極大值點. (C) 兩個極小值點和兩個極大值點.(D) 三個極小值點和一個極大值點. y O x（5）設, 則 (A) (B) (C) (D) （6）設向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (

3、A) 當時，向量組II必線性相關. (B) 當時，向量組II必線性相關. (C) 當時，向量組I必線性相關. (D) 當時，向量組I必線性相關. 三 、（本題滿分10分）設函數(shù) 問a為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點？四 、（本題滿分9分） 設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求五 、（本題滿分9分）計算不定積分 六 、（本題滿分12分） 設函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七 、（本題滿分12分）討論曲線與的交

4、點個數(shù).八 、（本題滿分12分） 設位于第一象限的曲線y=f(x)過點，其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的交點為Q，且線段PQ被x軸平分.(1) 求曲線 y=f(x)的方程；(2) 已知曲線y=sinx在上的弧長為，試用表示曲線y=f(x)的弧長s.九 、（本題滿分10分）有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2 m.根據(jù)設計要求，當以的速率向容器內(nèi)注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內(nèi)無液體）.(1) 根據(jù)t時刻液面的面積，寫出t與之間的關系式；(2) 求曲線的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)十

5、 、（本題滿分10分）設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且 若極限存在，證明：(1) 在(a,b)內(nèi)f(x)0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點，使；(3) 在(a,b) 內(nèi)存在與(2)中相異的點，使十 一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使十二 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為2003年考研數(shù)學（二）真題評注一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） 若時， 與是等價無窮小，則a= -4 .【分析】 根據(jù)等價無窮小量的定義，相

6、當于已知，反過來求a. 注意在計算過程中應盡可能地應用無窮小量的等價代換進行化簡.【詳解】 當時，.于是，根據(jù)題設有 ，故a=-4.（2） 設函數(shù)y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在點(1,1)處的導數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程即可.【詳解】 等式兩邊直接對x求導，得 ，將x=1,y=1代入上式，有 故過點(1,1)處的切線方程為 ，即 【評注】 本題屬常規(guī)題型，綜合考查了隱函數(shù)求導與求切線方程兩個知識點.（3） 的麥克勞林公式中項的系數(shù)是 .【分析】 本題相當于先求y=f(x)在點x=0處的n階導數(shù)值，則麥克勞林公式中項

7、的系數(shù)是【詳解】 因為 ，于是有 ，故麥克勞林公式中項的系數(shù)是【評注】 本題屬常規(guī)題型，在一般教材中都可找到答案.（4） 設曲線的極坐標方程為 ，則該曲線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為 .【分析】 利用極坐標下的面積計算公式即可.【詳解】 所求面積為 =.【評注】 本題考查極坐標下平面圖形的面積計算，也可化為參數(shù)方程求面積，但計算過程比較復雜.（5） 設為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置. 若，則= 3 .【分析】 本題的關鍵是矩陣的秩為1，必可分解為一列乘一行的形式，而行向量一般可選第一行（或任一非零行），列向量的元素則為各行與選定行的倍數(shù)構(gòu)成.【詳解】 由=，知，于是【評注】 一般

8、地，若n階矩陣A的秩為1，則必有（6） 設三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則 .【分析】 先化簡分解出矩陣B，再取行列式即可.【詳解】 由知， ，即 ，易知矩陣A+E可逆，于是有 再兩邊取行列式，得 ，因為 , 所以 .【評注】 本題屬基本題型，綜合考查了矩陣運算與方陣的行列式，此類問題一般都應先化簡再計算.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設均為非負數(shù)列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. D 【分析】 本題考查

9、極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限屬型，必為無窮大量，即不存在.【詳解】 用舉反例法，取，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項為(D).【評注】 對于不便直接證明的問題，經(jīng)常可考慮用反例，通過排除法找到正確選項.（2）設, 則極限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先用換元法計算積分，再求極限.【詳解】 因為 = =，可見 =【評注】 本題屬常規(guī)題型，綜合考查了定積分計算與求數(shù)列的極限兩個知識點，但定積分和數(shù)列極限的計算均是最基礎的問題，一般教材中均可找

10、到其計算方法. （3）已知是微分方程的解，則的表達式為 （A） (B) (C) (D) A 【分析】 將代入微分方程，再令的中間變量為u，求出的表達式，進而可計算出.【詳解】將代入微分方程，得 ，即 .令 lnx=u，有 ，故 = 應選(A). 【評注】 本題巧妙地將微分方程的解與求函數(shù)關系結(jié)合起來，具有一定的綜合性，但問題本身并不復雜，只要仔細計算應該可以找到正確選項.（4）設函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(D) 一個極小值點和兩個極大值點. (E) 兩個極小值點和一個極大值點. (F) 兩個極小值點和兩個極大值點.(D) 三個極小值點和一個極大值點. C y O

11、 x 【分析】 答案與極值點個數(shù)有關，而可能的極值點應是導數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點，共4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】 根據(jù)導函數(shù)的圖形可知，一階導數(shù)為零的點有3個，而 x=0 則是導數(shù)不存在的點. 三個一階導數(shù)為零的點左右兩側(cè)導數(shù)符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側(cè)一階導數(shù)為正，右側(cè)一階導數(shù)為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應選(C).【評注】 本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學一、二中曾出現(xiàn)過，當時考查的是已知f(x)的圖象去推導的圖象，本題是其逆問題. 完全類似例題在文登學校經(jīng)濟

12、類串講班上介紹過.（5）設, 則 (A) (B) (C) (D) B 【分析】 直接計算是困難的，可應用不等式tanxx, x0.【詳解】 因為當 x0 時，有tanxx，于是 ，從而有 ， ，可見有 且，可排除(A),(C),(D)，故應選(B).【評注】 本題沒有必要去證明，因為用排除法，(A),(C),(D)均不正確，剩下的(B) 一定為正確選項. （6）設向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當時，向量組II必線性相關. (B) 當時，向量組II必線性相關. (C) 當時，向量組I必線性相關. (D) 當時，向量組I必線性相關. D 【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向

13、量個數(shù)的定理：若向量組I：可由向量組II：線性表示，則當時，向量組I必線性相關. 或其逆否命題：若向量組I：可由向量組II：線性表示，且向量組I線性無關，則必有. 可見正確選項為(D). 本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】 用排除法：如，則，但線性無關，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無關，排除(B)；，可由線性表示，但線性無關，排除(C). 故正確選項為(D).【評注】 本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應該可直接找到答案，若記不清楚，也可通過構(gòu)造適當?shù)姆蠢业秸_選項.三 、（本題滿分10分）設函數(shù) 問a為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時，x=0是f(

14、x)的可去間斷點？【分析】 分段函數(shù)在分段點x=0連續(xù)，要求既是左連續(xù)又是右連續(xù)，即【詳解】 = = =令，有 ，得或.當a=-1時，即f(x)在x=0處連續(xù).當a=-2時，因而x=0是f(x)的可去間斷點.【評注】 本題為基本題型，考查了極限、連續(xù)與間斷等多個知識點，其中左右極限的計算有一定難度，在計算過程中應盡量利用無窮小量的等價代換進行簡化.四 、（本題滿分9分） 設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求【分析】 本題為參數(shù)方程求二階導數(shù)，按參數(shù)方程求導的公式進行計算即可. 注意當x=9 時，可相應地確定參數(shù)t的取值.【詳解】由，得 所以 = =當x=9時，由及t1得t=2, 故五 、（本

15、題滿分9分） 計算不定積分 【分析】 被積函數(shù)含有根號，典型地應作代換：x=tant, 或被積函數(shù)含有反三角函數(shù)arctanx，同樣可考慮作變換：arctanx=t，即 x=tant.【詳解】 設，則=又 = =，故 因此 = =【評注】本題也可用分布積分法： = = = =，移項整理得 =本題的關鍵是含有反三角函數(shù)，作代換或tant=x.六 、（本題滿分12分） 設函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.【分析】 將轉(zhuǎn)化為比較簡單，=，關鍵是應注意：= =

16、.然后再代入原方程化簡即可.【詳解】 (1) 由反函數(shù)的求導公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對應的齊次方程的通解為設方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是由，得. 故所求初值問題的解為【評注】 本題的核心是第一步方程變換.七 、（本題滿分12分） 討論曲線與的交點個數(shù).【分析】 問題等價于討論方程有幾個不同的實根. 本題相當于一函數(shù)作圖題，通過單調(diào)性、極值的討論即可確定實根的個數(shù)（與x軸交點的個數(shù)）.【詳解】 設， y則有 4-k不難看出，x=1是的駐點. O 1 x當時，即單調(diào)減少；當x1時，即單調(diào)增加，故為函數(shù)的最小值.

17、當k0時，無實根，即兩條曲線無交點；當 k=4，即4-k=0時，有唯一實根，即兩條曲線只有一個交點；當 k4，即4-k0;(3) 在(a,b)內(nèi)存在點，使 ；(3) 在(a,b) 內(nèi)存在與(2)中相異的點，使【分析】 (1) 由存在知，f(a)=0, 利用單調(diào)性即可證明f(x)0. (2) 要證的結(jié)論顯含f(a),f(b)，應將要證的結(jié)論寫為拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式進行證明. (3) 注意利用(2)的結(jié)論證明即可.【詳解】 (1) 因為存在，故 又，于是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，故(2) 設F(x)=, 則，故滿足柯西中值定理的條件，于是在(a,b)內(nèi)存在點，使 ，即 .(3

18、) 因，在上應用拉格朗日中值定理，知在內(nèi)存在一點，使，從而由(2) 的結(jié)論得 ，即有 【評注】 證明(3)，關鍵是用（2）的結(jié)論： （ 根據(jù)(2) 結(jié)論 ） ，可見對f(x)在區(qū)間上應用拉格朗日中值定理即可.十 一、（本題滿分10分）若矩陣相似于對角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使 【分析】 已知A相似于對角矩陣，應先求出A的特征值，再根據(jù)特征值的重數(shù)與線性無關特征向量的個數(shù)相同，轉(zhuǎn)化為特征矩陣的秩，進而確定參數(shù)a. 至于求P，則是常識問題.【詳解】 矩陣A的特征多項式為 =，故A的特征值為由于A相似于對角矩陣，故對應應有兩個線性無關的特征向量，即，于是有 由 ，知a=0.于是對應于的兩個線性無關的特征向量可取為 ， 當時， ，解方程組得對應于的特征向量 令，則P可逆，并有十二 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為【分析】 三條直線相交于一點，相當于對應線性方程組有唯一解，進而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】 方法一：必要性設三條直線交于一點，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,