數(shù)學寶典初等數(shù)學

1、排列組合與二項式定理【基本概念與知識點】1.加法原理如果完成一件事有n類辦法,只要選擇其中一類辦法中的任何一種方法,就可以完成這件事;若第一類辦法中有種不同的方法,第二類辦法中有種不同的方法第n類辦法中有種不同的辦法,那么完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理 如果完成一件事,必須依次連續(xù)地完成n個步驟,這件事才能完成;若完成第一個步驟有種不同的方法,完成第二個步驟有種不同的方法完成第n個步驟有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.3.排列(1)排列的定義:從n個不同元素中,任意取出個元素,按照一定順序排成一列,稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù):從n個不同元素

2、中取出m個元素(mn)的所有排列的種數(shù),稱為從n個不同元素中取出m個不同元素的排列數(shù),記作時, 稱為全排列.(3)排列種數(shù)公式:規(guī)定.4.組合(1)組合的定義:從n個不同元素中,任意取出個元素并為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.(2)組合數(shù): 從n個不同元素中,取出個元素的所有組合的個數(shù),稱為從n個不同元素中,取出m個不同元素的一個組合數(shù),記作規(guī)定: 中所反映出的排列與組合數(shù)的關系,也可以表示為(3)組合數(shù)的性質:(4)常用組合恒等式:由、兩恒等式說明，式中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的值相等均為.5.元素可重復的排列從n個不同元素中,每次取出m個元素,其中允許元素重復出現(xiàn),再按照一定

3、的順序排成一列,那么第一,第二,第m位上選取的方法都是n個,所以從n個不同元素中,每次取出m個可重復元素的排列種數(shù)是nm個.N個元素中若有m個相同元素,則這n個元素的全排列的種數(shù)是 6.二項式定理二項式定理是多項式乘冪定理的最簡單的形式,主要研究的各元素a、b、n與其展開式中各項系數(shù)、指數(shù)之間的關系,以及展開式本身所具有的性質,我們可以用排列與組合的方法,真接推導出展開式的任何一項或整體其中第稱為通項.可以作為公式來使用.式(1)是一個恒等式,即對任何a,b的取值,等式恒成立.在式(1)中,若令a=b=1則得到、稱為展開式中的二項式系數(shù),式(2)是個重要公式,即二項式系數(shù)之和等于2n.二項式系

4、數(shù)還有如下性質:(1) 距首末等距離的兩項的二項式系數(shù)相等,或稱二項式系數(shù)具“對稱性”;(2) 二項式系數(shù)的奇數(shù)項和等于偶數(shù)項和;(3) n為偶數(shù)時中項值最大; n為奇數(shù)時雙中項等值且最大.充分性判斷題解題技巧【充分條件基本概念】1.定義 對兩個命題A和B而言，若由命題A成立，肯定可以推出命題B也成立（即為真命題），則稱命題A是命題B成立的充分條件。2.條件與結論 兩個數(shù)學命題中，通常會有“條件”與“結論”之分，若由“條件命題”的成立，肯定可以推出“結論命題”也成立，則稱“條件”充分.若由“條件命題”不一定能推出(或不能推出)“結論命題”成立,則稱“條件”不充分.例如:不等式能成立.(1) (

5、2)(3) (4)(4)此例中,題干“能成立”,這個命題是“結論”,下面分別給出了5個命題都是不同的“條件”.現(xiàn)在我們可以把它們按充分與否分為兩類:條件(1)、(3)、(5)充分.條件(2)、(4)不充分.3.知識點評述 1.充分條件的判斷:從給定的條件出發(fā)去分析,在此條件下,結論是否一定成立,若是,則條件充分,若否,則條件不充分.我們在做充分性判斷的試題時,不可從“結論”入手去求解!那樣只能得出“條件”對“結論”的“必要性”,而與充分性判斷相背離.如:在此例中,由結論命題: 能成立,可解得.這只證明條件(5)是必要的.事實上,條件(5)是結論能成立的充分必要條件,才“歪打正著”被你找到了一個

6、充分條件.【充分條件基本概念】本書中,所有充分性判斷題的A、B、C、D、E五個選項所規(guī)定的含義,均以下列呈述為準,即:(A)條件(1)充分,但條件(2)不充分;(B)條件(2)充分,但條件(1)不充分;(C)條件(1)和(2)充分單獨都不充分,但條件(1)和(2)聯(lián)合起來充分;(D)條件(1)充分,條件(2)也充分;(E)條件(1)和(2)單獨都不充分,條件(1)和(2)聯(lián)合起來也不充分.上述5個選項,把條件(1)和(2)以及兩條件聯(lián)立起來(同時都滿足即的充分性的所有情況都包括了,但其中“聯(lián)合”不是數(shù)學名詞,沒有準確的定義,改為“聯(lián)立”與原題意比較貼切.比如:不等式成立.)(1) (2)分析

7、由題干解上述不等式,得 顯然(1)、(2)單獨都不滿足即立(1)和(2)得出,從而原不等式成立.因此,答案是C.常用的求解方法有以下幾種:解法一 直接法(即由A推導B.)若由A可推導出出B,則A是B的充分條件;若由A推導出與B矛盾的結論,則A不是B的充分條件.解法一是解“條件充分性判斷”型題的最基本的解法,應熟練掌握.例1 要保持某種貨幣的幣值不變.(1) 貶值10%后又升值10%;(2) 貶值20%后又升值20%;分析 設該種貨幣原幣值為.由條件(1)經過一次貶值又一次升值后的幣值為:顯然與題干結論矛盾.所以條件(1)不充分.由條件(2)經過一次貶值又一次升值后的幣值為:即 題干中的結論成立

8、,所以條件(2)充分,故應選擇B.例2 等差數(shù)列中可以確定(1) (2) 解 據(jù)等差數(shù)列性質有由條件(1) .條件(1)充分.由條件(2) 又 所以條件(2)也充分.故應選擇D.解法二 定性分析法(由題意分析,得出正確的選擇.)當所給題目比較簡單明了,又無定量的結論時,可以分析當條件成立時,有無結論成立的可能性,從而得出正確選擇,而無需推導和演算.例1 對于一項工程,丙的工作效率比甲的工作效率高.(1)甲、乙兩人合作,需10天完成該項工程;(2)乙、丙兩人合作,需7天完成該項工程;解 條件(1)中無甲與丙間的關系,條件(2)中亦無甲與丙間的關系,故條件(1)和(2)顯然單獨均不充分.將兩條件聯(lián)

9、合起來分析:在完成相同工作量的前提下,甲與乙合作所需時間比乙與丙合作所需時間多,故甲的工作效率當然比丙的工作效率低,題干結論成立,所以條件(1)和(2)聯(lián)合起來充分.故應選擇C.例2 在一個宴會上,每個客人都免費獲得一份冰淇淋或一份水果沙拉,但不能同時獲得二者,可以確定有多少客人能獲得水果沙拉.(1) 在該宴會上,60%的客人都獲得了冰淇淋;(2) 在該宴會上,免費提供的冰淇淋和水果沙拉共120份.解 由于條件(1)中不知客人總數(shù),所以無法確定獲得水果沙拉的客人的人數(shù).而由于條件(2)中只給出客人總數(shù),所以仍無法確定獲得水果沙拉的客人的人數(shù),故條件(1)和(2)單獨顯然均不充分.由條件(2)知

10、客人總數(shù),由條件(1)可獲得水果沙拉的客人點總客人數(shù)的百分比,必可確定獲水果沙拉的客人的人數(shù),所以條件(1)和(2)聯(lián)合起來充分.故應選擇C.解法三 逆推法(由條件中變元的特殊值或條件的特殊情況入手,推導出與題干矛盾的結論,從而得出條件不充分的選擇.)注意 此種方法絕對不能用在條件具有充分性的肯定性的判斷上.例1 要使不等式的解集為R.(1) (2).解 由條件(1) ,取,原式即,此不等式化為: 所以 .所以不等式的解為,所解集為R矛盾.所以條件(1)不充分.由條件(2), ,取,不等式化為,此不等式化為: 所以.所以不等式的解為與解集為R矛盾.所以條件(2)也不充分.條件(1)和(2)聯(lián)合

11、,得所以,顯然條件(1)和(2)聯(lián)合起來也不充分.故應選擇E.例2 三個球中,最大球的體積是另外兩個球體積之和的3倍.(1) 三個球的半徑之比為1:2:3;(2) 大球半徑是另兩球半徑之和.解 由條件(1)設三球半徑分別為所以大球體積兩小球體積和顯然.所以條件(1)充分.由條件(2)設兩小球的半徑分別為,大球半徑.所以顯然.所以條件(2)不充分.故應選擇A.注意 條件(1)的充分性,是用解法一判斷的,只有當條件不充分時,才可用解法三,如對條件(2)不充分的判斷. 解法四 一般分析法(尋找題干結論的充分必要條件.) 即:要判斷A是否是B的充分條件,可找出B的充要條件C,再判斷A是否是C的充分條件

12、.例1 要使的展開式中的常數(shù)項為60.(1)a=1 (2)a=2解 設展開式的常數(shù)項為,因為.所以 因為 ,所以 所以題干中結論的充要條件是.所以條件(1)不充分;條件(2)充分.故應選擇B.此題用解法一需要將和代入,推算兩次,而用此種方法只推算一次得出即可.例2 要使關于x的一元方程有四個相異的實根。（1）； （2）。解 方程有四個相異的實根，設，則方程應有兩個不等正實根，所以即 所以 所以題干中結論的充要條件是所以條件（1）充分， 條件（2）不充分故應選擇A.一道條件充分性判斷試題有時可以用多種方法求解,如上面的例2也可求解如下:又解 設,所以原方程化為:原方程有四個相異實根,即(*)有兩

13、個不等正實根.因為由條件(1),所以,又因為兩根之和為2,兩根之積為k,由條件(1)所以這兩根一定是不等正實根.題干結論成立,所以條件(1)充分.由條件(2) ,取,則(*)化為方程無實根.題干結論不成立,所以條件(2)不充分,故應選擇A.【解題步驟及套路】步驟之一:首先認真閱讀解題說明的每個字,特別是A、B、C、D、E5個選擇項的含義,與自己平時練習時樣題中的A、B、C、D、E5個選擇項的含義與順序是否一致,然后畫出金字塔判斷圖根據(jù)上面的金字塔由上到下,對應于題目中給出的條件(即1和2)由強及弱,依次排列,這樣可使得考生不至于對于本來會做的題目因為看錯A、B、C、D、E而搞錯.步驟之二:具體

14、在解題時,考慮使用如下記號標記:如,則在該題的（1）前打“”，如，則在該題的（1）前標“×”；對條件（2）同樣處理。而對的標記標有（1）與（2）的兩個標號前面用大括號括起來，現(xiàn)打“”或“×”即可。將上面的金字塔圖補充完整為步驟之三：有時候可能只標了(1)，而怎么也確定不了(2)前面應該是“”還是“×”， 此時應該先放過去，等其他簡單題做完之后再回來補，若實在沒有時間，還可以有限度地猜一下，比如：若已確定(1)充分，(2)無法確定，可以推出結果只有可能為D或A，選擇范圍大大縮小，成功率也高達50. 步驟之四：在第一遍做題時不要匆忙將每道題的選擇答案A或B直接填上，這

15、樣最容易填錯應該在第一遍時只標“”或“×”，其他等這18道小題全部看完后再把“”或“×”翻譯成標準答案中的A或B并涂到答題紙上這樣效率高，而且不容易錯. 步驟之五：考生如認為這一套解條件充分性判斷題的步驟適合自己的話，不妨從現(xiàn)在備考開始，解這類題型時都嚴格按這套流程來訓練，把這個套路練熟，達到爛熟于心、熟能生巧，這樣有了充分的準備，考場上面對充分性判斷這類新題型，考生就不會怵頭了. 【條件充分性判斷題的解題技巧】 解題技巧之一：直接檢驗法 將滿足條件(1)和(2)分別代入結論C中檢驗，根據(jù)檢驗結果來判別也可以抽幾個樣本試算 代入檢驗法，是直接檢驗法中最簡單的一種，還有樣本檢

16、驗法無法直接從條件出發(fā)代 人，而是從滿足條件的集合中抽取有代表性的樣本，再代入題干檢驗應該說明的是，樣本檢驗屬于不完全檢驗，不能嚴格證明，考生應作為輔助辦法使用，或實在沒轍了可以試一試 解題技巧之二：直接邏輯推理法 有時條件(1)，(2)及結論C都是描述性的判斷，實際上該類題屬于純邏輯題，可能會有點繞，但比起MBA聯(lián)考正宗的邏輯題目來說，也是“小巫見大巫”了因此考生在復習邏輯時要認真準備，因為數(shù)學部分的充分性判斷題本身就非常需要考生加強在邏輯方面的知識和素養(yǎng)筆者建議大家看一下MBA聯(lián)考300分奇跡的邏輯分冊，很有特色，對解這一類的數(shù)學題會有意想不到的幫助 例1 小李比小張年齡大 (1)小張的哥

17、哥今年剛滿18歲，可以參加選舉了 (2)小李昨天剛度過了自己的30歲生日 題干中涉及到小李和小張的年齡比較問題，而條件(1)完全不涉及小李，條件(2)完全不涉及小張，因此單獨使用(1)或(2)都不能獨立推出結論根據(jù)條件(1)的表述，我們可以由小張年齡<小張哥哥年齡=18歲推出小張年齡<18歲，根據(jù)條件(2)的表述，得到小李年齡=30歲；這兩個判斷聯(lián)在一起，由小張年齡<18歲<30歲=小李年齡可以得到小李年齡比小張年齡大即此題應選C 解題技巧之三：化繁就簡法有時或者是條件(1)、(2)，或者是結論G，可能表述或形式上比較復雜，不容易看清楚，這時候應該考慮用一些辦法化繁就簡

18、，更易于比較和推理事實上，化簡以后，題目答案甚至一目了然了例2 成立.(1) (2) 由題目看出,這幾個式子都比較繁雜,難以看出彼此關系,通過化簡將進一步得x=4.對條件(1)化簡為.對條件(2)化簡為進一步得,由于,所以,則(1)不充分,(2)充分.解題技巧之四:直觀畫圖法有些題目涉及到集合的相互關系,涉及到空間關系,還有彼此之間循環(huán)的邏輯關系等,這類題通常都比較繞,光在腦子里想著想著就亂了,又得重來,實際上這類題的難度并不大,要養(yǎng)成在紙上畫圖的習慣,把邏輯關系、空間關系等各種紛繁復雜的關系畫出來,就可清楚地找出規(guī)律來了.例3 設A、B為隨機事件,A = B成立.(1)(2)本題如果用計算或

19、推理都很難下手,我們考慮作圖.先考慮條件(1),陰影部分為,而即指與B不相交,則B只能躲藏于A的內部,這樣可以得到.同理根據(jù)條件(2)可以得到.顯然由且,可以得到A=B,即可選C.這就是畫圖的妙用.腦子里很難想明白的關系,紙上一畫圖,有豁然開朗的感覺,考生們不妨一試.解題技巧之五:證偽排除法數(shù)學上的證偽就是舉反例.比如證明條件(1)充分需要數(shù)學上嚴格的證明,但如果我們能找出某個例子滿足條件(1),但不滿足結論G,就可以說條件(1)充分是錯誤的,可以立刻把A和D排除掉.這樣考生的選擇范圍大大縮小,進一步可以用其他方法從剩下的3個答案中選出正確答案,實在不行的話,從3個答案中猜一個,猜中的概率也大

20、大增加了.例4 不等式成立(1) (2)對于條件(2),直接代入不等式成立,條件(2)充分.對于條件(1),不好直接解答,可考慮舉反例,令,代入原不等式,不成立,則(1)不充分,最后結果應選B. 初等數(shù)學基本概念（一）絕對值【基本概念與知識點】1定義 實數(shù)a的絕對值記作|a|,其文字敘述的定義的數(shù)學表達式如下：2幾何意義一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應的點，到原點的距離值，就是這個實數(shù)的絕對值。3絕對值的性質(1)對稱性：互為相反數(shù)的兩個實數(shù)的絕對值相等，即：(2)等價性：任何實數(shù)的平方的算術平方根就是這個實數(shù)的絕對值.(3)自比性:任意實數(shù)的絕對值不小于它自身,而絕對值的相反數(shù)不大于它自身,即: .當

21、且僅當時,右邊等號成立;而時,左邊等號成立.(4)非負性:任何實數(shù)a的絕對值非負,即,推而廣之,應當有:; ; ;(5)基本絕對值不等式1)2)3);右邊等號成立充要條件是,而左邊等號成立的充要條件是.4)即有限個實數(shù)之和的絕對值不大于它們的絕對值之和.例如:等式成立的條件是(A) (B)(C) (D)(E).解 由這一基本絕對值不等式中,等號成立的充要條件為,可以得知:當或時等式都能成立.應先C. (二)比和比例【基本概念與知識點】兩數(shù)相除稱為兩數(shù)之比,稱為a比b,稱a為比的前項,b為比的后項,稱為比值,記作1.比的性質(1)(2)2.比例的定義相等的比稱為比例,記為又如: 等等.3.比例基

22、本性質(1)即兩外項積與兩內項積相等.(2)若,稱b為a和c的比例中項,恒有成立.(3)若成正比例; 成反比例.其中k為非零常數(shù),稱為比例系數(shù).4.解應用題的有關基本知識(1)解百分數(shù)的應用題時,一定要準確找到每一個百分比的標準量是什么,尤其是在同一題中不同百分比各自有不同標準量時要多加小心.(2)此考點試題以應用題為主,在應用問題求解時,最主要的是準確理解題意,在反復閱讀的基礎上,合理選擇正確的方法,盡量較簡捷地得出答案.(3)常用應用題解法有:轉化法:改變思考的方式或角度,使復雜問題,轉化為熟悉的、簡單的基本問題,或將題中條件,加以轉化,或重新組合,以便于得到明確的解題思路,另外把復雜的數(shù)

23、量關系中不同的單位制,轉化為統(tǒng)一單位制下的簡單數(shù)量關系.窮舉法:這是樸素且實用的方法,對討論對象加以分類,使問題簡化.圖解法:以圖形表達命題,幫助我們理解題意,發(fā)現(xiàn)隱含條件,找到解題途徑.代數(shù)法:設未知量找等量關系分列方程.除這幾種常用解法外還有逆推法、綜合法、歸納法等等,可依據(jù)題目的類型和特點選擇使用.【知識點評述】1.比和比例與MBA數(shù)學聯(lián)考比和比例這部分內容屬于算術,但在MBA聯(lián)考的數(shù)學試題中,都占有很重的比例,是必考的知識點.例如2002年聯(lián)考第5題:設,則使成立的y值是(A)24 (B)36(C)74/3 (D)37/2這是典型的比例問題,題型較新穎,但仍可利用比例系數(shù),像一般比例問

24、題一樣去求解.由已知有,即 此題應選A.同一份試題的第4題也是一道比和比例的應用題,原題是:某廠生產的一批產品經檢驗,優(yōu)等品與二等品的比是5:2,二等品與次品的比例是5:1,則該批產品的合格率(合格品包括優(yōu)等品與二等品)為:(A)92%(B)92.3% (C)94.6%(D)96%此題給出了兩個比,但卻必須知道3種不同等級的產品在這批產品中,各自所占的比例,這就需要利用比例中項和比例的性質定理,求出同一個量在不同的比中的數(shù)值的最小公倍數(shù),再利用比的性質,把它們化為比例式.如:優(yōu)質品:二級品 二級品:次品則可得到 優(yōu)質品:二級品:次品=25:10:2應選C.2.關于比例系數(shù)一般地說,比例的有關試

25、題,都可通過設出比例系數(shù)的方法得到解決,否則解題過程隨試題難度的增大,將變得越來越復雜,繁瑣.比如:已知的值是(A)19 (B)-19 (C)6 (D)-6解 由已知有則 又如,若,要求出的值,這里再告訴你一個簡單有效的計算方法,那就是將上式中的x、y,分別以3和5代換直接計算即:就是正確答案.要證明不難,請看下面的過程:因此設比例系數(shù)代入求值原式,即2003年聯(lián)考條件充分性判斷第1小題是：某公司得到一筆貸款共68萬元，用于下屬三個工廠的設備改造，結果甲、乙、丙三個車間按比例分別得到36萬元、24萬元和8萬元。(1)甲、乙、丙三個工廠按的比例分配貸款.(2)甲、乙、丙三個工廠按9:6:2的比例

26、分配貸款.解 由條件(1) =9:6:2即條件(1)與條件(2)等價.從而可能的選項只有D,或E,設比例系數(shù)K,則依題意有甲、乙、丙三廠分別分配得:.即結論成立,條件(1),(2)都充分,選D.3.百分比問題(1)MBA聯(lián)考數(shù)學試題,每年都會出有關百分比的應用題,并且相對較難,同時,還存在著百分比的標準量不明確,或同一題中不同百分比各自有不同標準量,使應試者難于判斷,失誤率高于其他應用題的實際情況,也說明百分比問題是應用類題型的一個難點.(2)百分比問題對策.百分比問題的解題規(guī)律,有經驗的小學老師半個世紀前就已經總結出規(guī)律,其口訣是:求標準量“÷”,求部分量“×”，增長了時

27、“×(1+百分比)”(或“÷(1+百分比)”),減縮時“×(1-百分比)”(或“÷(1-百分比)”).文字描述為:求標準量用除,求部分量用乘;增長了時乘(除)“一加”,減縮了時乘(除)“一減”.百分比問題的解題關鍵必然是標準量的確認,比如1998年聯(lián)考第1題:一種貨幣貶值15%,一年后需增值百分之幾才能保持原幣值.(A)15% (B)15.25%(C)16.78% (D)17.17% (E)17.65%分析 解此題的關鍵在于所求的百分比是比貶值后的幣值為標準量的,只要明確了這個概念,不難得出正確的解法:應設需增值x%,并假定原幣值為a,依題意有:應選E.

28、又比如1999年10月MBA聯(lián)考數(shù)學第4題.某商店將每套服裝按原價提高50%后,再做七折“優(yōu)惠”的廣告宣傳,這樣每售出一套服裝可獲利625元.已知每套服裝的成本是2000元,該店按“優(yōu)惠價”售出一套服裝比原價(A)多賺100元(B)少賺100元(C)多賺125元(D)少賺125元(E)多賺155元解 解題之關鍵是要分清成本價,原銷售價、“優(yōu)惠價”和利潤這幾個概念,有些題目還會給出利潤所占的百分比,此時要注意,通常情況下毛利率這一百分比的標準量是銷售價而不是成本價,這是在工商管理學的教材上明確定義的,但具體題目還是會有指明以成本價計算利潤率的情況,只能具體問題具體分析了,此題是已知最終售價即“優(yōu)

29、惠價”,由此逆推,依所給條件去求原價,即可知盈虧.依題意“優(yōu)惠價”為 2 000+625=2 625(元)所以原價是 2 625÷70%÷(1+50%)=2 500(元)多賺 2 625-2 500=125(元)應選C.2001年聯(lián)考第一題所給利潤率就是以標價而不是以實際的打折售價為標準量,也不是以成本價為標準量的,原題是這樣的:一商店把某商品按標價的九折出售,仍可獲利20%,若該商品的進價為每件21元,則該商品每件的標價為(A)26元(B)28元(C)30元(D)32元分析 可設標價為x元,則打折后的實售價為9x/10,而標價的20%為利潤,即x20%,依題意有:9x/1

30、0-20x%=21x=30(元)應選C.解法中用到的一個概念,即實售價-成本=利潤,這是顯而易見的,此題所涉及的商家的打折是真誠的讓利行為,將原定價時的30%的利潤率,降至20%,即從獲利9元降到6元,此題若以成本價為標準量得:(元)將得到錯誤答案B. (三)平均值【基本概念與知識點】1.n個數(shù),稱為這n個數(shù)的算術平均值,記作2.n個正數(shù),稱 為這n個正數(shù)的幾何平均值,記作.3. 對n個正數(shù)而言,它們的算術平均值永遠不小于它們的幾何平均值.即.或 當且僅當時,等號成立.特別地當n=2時,稱兩正數(shù)的幾何平均值為與的比例中項.即 整式運算與二項式定理【基本概念與知識點】1.雖然2004年新大綱對整

31、式和分式的考察不作要求，但整式的運算是代數(shù)學的基本，本書仍作相應的介紹.2.二項式定理是2004年大綱繼續(xù)要求的內容,本節(jié)一并講解.二項式定理的試題是MBA聯(lián)考每年必考的內容,不可掉以輕心.3.綜合除法、余數(shù)定理和因式定理是多項式理論的精要部分,在此我們不必去深入了解和掌握這些理論,只要求考生能利用其結論,簡化運算和推理,快速求解某些稍難一點的試題,就可以了.【知識點評述】1.同底的冪的運算其規(guī)律是指數(shù)的運算比冪的運算低一級,例如上一級的運算對本級運算是滿足分配律的.故有:就你一樣.我們規(guī)定: (1)任何非零實數(shù)的零次冪等于1,即:(2)2常用基本公式(1)(2)(3)(4)(5) (6) 上

32、面所列公式從左推向右,是乘法公式;而從右推向左則是因式分解公式,因為它們都是恒等式,對所含字母的任意實數(shù)值,原式均成立.3多項式的乘法比如.其法則是展開一個多項式,以其中每一個單項去乘另一多項式中的各項,可得乘積中的各項,然后把同類項合并,可得乘積多項式,換言之,乘積中的任一項,都是每個因式多項式中各取一項相乘,再合并同類項后的結果,這一法則對我們理解二項式定理,和解某些較難的二項式定理的試題大有裨益.比如,求展開式中不含x的項時,就可以將原式看成是編號不同的6個相同因式的乘積,只需考慮如何選取各因式中的項,才能得到常數(shù)項的各種取法,就可以直接得到結果,而無需多次展開多項式了.例中的展開式不含

33、x的項為:4多項式除法(1)豎式除法和待定系數(shù)法比如:也可以表示為上式的一般形式是其中是多項式除法中被除式.是除式,記作是商式是余式記為R(x),余式至少比除式低一次,當除式為一次因式時,余式R(x)=r.(為常數(shù)).5.余數(shù)定理和因式定理(1)如果除以一次因式(x-a)所得的余數(shù)一定是f(a).(2)因式定理,多項式含有因式(x-a),(即被(x-a)整除)的充要條件是也就是6.待定系數(shù)法利用兩個多項式恒等的充要條件是同類項的系數(shù)相等,可求出預設的待定系數(shù)例如前例中可設:,則有7.綜合除法利用綜合除法來求商式、余式非常方便快捷,結合因式定理和余數(shù)定理來解決整除的判斷、求余數(shù)、高次方程的求解、

34、高次多項式的因式分解等,有著廣泛的應用.這里只介紹用法,不必了解它的來龍去脈.例如已知多項式整數(shù),試用綜合除法求商式.原多項式也一定能被(x-6)和(x+1)所整除.由因式定理可知多項式至少含有兩個根:6和-1.且必有f (6)=f (-1)=0.由綜合除法可證實這一結論:63-8-55-32+1218+60+30-123+10+5-2+0-3-7+2-13+7-2+0式中那兩個+0就分別證明了f (6)和f (-1)=0.即能被(x-6)和(x+1)所整除.從而能被整除,而末行中“3+7-2”就給出了所求商式是.方程與不等式 （一）方程與方程組【基本概念與知識點】1方程、方程的解：含有未知數(shù)

35、的等式稱為方程，能使方程左右兩端相等的未知數(shù)的值稱為方程的解。例如對方程來說。若a值存在，且使得：成立，則稱是方程的解。又如方程為形式，其中為代數(shù)多項式。則若存在a,使成立，可稱a為方程的根.2方程的元和次“元”是指方程中所含未知數(shù)的個數(shù),“次”是指方程中未知數(shù)最高的指數(shù),比如這個關于x的方程稱為一元二次方程,稱為二元一次方程組等等,聯(lián)考大綱要求應考者掌握一元一次及二次方程,二元和三元一次方程組.但也考過一元三次方程及指數(shù)方程對數(shù)方程.這一點提醒應考學員注意.3一元二次方程的求根公式一元二次方程 有其中稱為判別式. 0時，方程有兩實根（=0時為二等根）；<0時，方程無實根。4一元二次方程

36、的根與系數(shù)的關系關于x的方程，若有二實根這是韋達定理中最簡單的情況，對一元三次方程來說如：若為其3個實根，則必有這一內容，看似“超綱”，但2000年聯(lián)考第5題，據(jù)此解之，則很便捷，其原題是已知方程的值是 由三次方程的韋達定理有：答案得到。5.方程與函數(shù)這里我們只討論一元二次方程與二元一次方程組的函數(shù)的聯(lián)系.二次函數(shù),當y為零時即化為一元二次方程這說明解一元二次方程,實際上是在尋找這一方程相對應的二次函數(shù)零值點的自變量值,也可以說是求二次函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標值.我們依據(jù)二次函數(shù)符號在某一區(qū)間內發(fā)生變化.就可斷言在此區(qū)間該函數(shù)對應的二次方程必有一解位于其中.例如:1998年聯(lián)考數(shù)學第7題,

37、要使方程:的兩個實根分別滿足.實數(shù)m的取值范圍應是(A) (B) (C) (D) (E) 解 答案是A.分析 令此函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線,且與x軸交于兩點,于是有如下不等式組:公共解為另外,通過二次函數(shù)的圖像與x軸的相對位置關系,有利于我們進一步理解一元二次方程的判別式與方程的解的關系.【知識點評述】1.方程與方程組這一節(jié)的內容,是歷年聯(lián)考中必考內容之一.考查的重點是一元二次方程及韋達定理.其次是線性方程組的應用,這兩部分內容仍然是這兩年備考的重點.2.非代數(shù)方程,主要是指數(shù)方程與對數(shù)方程,以及百分比應用題,是另一個值得關注的重點,這方面的試題,也很受命題中心專家們的偏愛.出現(xiàn)的概率很高

38、.不等式【基本概念與知識點】1.不等式的定義用不等號連接的兩個(或兩個以上)解析式稱為不等式,使不等式成立的未知數(shù)的取值稱為不等式的解(不等號包括、五種.2.不等式的性質(1)(2)不等式的反對稱性: (3)不等式的傳遞性: (4)不等式的保序性: (5)不等式乘正數(shù)的保序性: (6)不等式乘負數(shù)時的反序性: (7)不等式同向疊加及異向相減的保序性:(8)不等式同向同正疊乘的保序性:(9) 3.解不等式不等式的解的集合，稱為不等式的解集，此解集一定是R的子集，可以用區(qū)間、集合或不等式來表示,求不等式解集的過程,稱為解不等式.4.一元一次不等式含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的不等式.一般形式為其解集可依據(jù)不等式性質直接求出.含有同一個未知數(shù)的幾個一次不等式組的解集,是組中各不等式解