大學(xué)文科數(shù)學(xué)教案

1、大學(xué)文科數(shù)學(xué)教案第一章微積分的根底和研究對象一、教學(xué)目的和要求：1. 了解微積分的開展歷程。2. 了解極限、實數(shù)、集合在微積分中的作用。3. 了解實數(shù)系的建立及鄰域的概念。4. 理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值， 會建立實際問題中的函數(shù)關(guān)系式。5. 理解函數(shù)的簡單性質(zhì)，會判斷函數(shù)的有界性、奇偶性、 單調(diào)性、周期性。6. 掌握根本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。7. 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念。掌握將一個復(fù)合函數(shù) 分解為根本初等函數(shù)或者簡單函數(shù)的復(fù)合的方法。&了解MM能力培養(yǎng)。二、教學(xué)難點和重點：重點：1. 數(shù)的性質(zhì)及其圖形。2. 合函數(shù)的分解及分段函數(shù)的概念難點：1. 函數(shù)的

2、概念。2. 復(fù)合函數(shù)。三、教學(xué)方法講解法§ 1微積分的根底1.1微積分的開展歷程數(shù)學(xué)開展史的生動事例說明，許多數(shù)學(xué)模型，包括數(shù)學(xué)理論，總是在長期的應(yīng)用中逐步構(gòu)建起邏輯根底的。17世紀(jì)上半葉笛卡兒Descartes,法，1596 1650創(chuàng)立了 解析幾何，變量便進(jìn)入了數(shù)學(xué)。隨后，牛頓Newton,英，16421727和萊布尼茲Leibniz, 德16461716集眾多數(shù)學(xué)家之大成， 各自獨立地創(chuàng)造了微 積分，被譽為數(shù)學(xué)史上劃時代的里程碑。微積分誕生不久，便在許多學(xué)科中得到廣泛有效的應(yīng)用，大大推動了那個時代 科學(xué)技術(shù)的開展和社會進(jìn)步。然而初期的微積分在邏輯上存在著矛盾。粗略地講，牛頓、

3、萊布尼茲的導(dǎo)數(shù)概念是建立在所謂的“無窮小理論之上的，他們所謂的無窮小，時而是零時而又不是零，這違背了邏輯 學(xué)中的排中律。排中律是指在同一論證過程中，對同一對 象的肯定判斷與否認(rèn)判斷，這兩個相矛盾的判斷必有一個是 真的，即排除第三種情況。正因此，不少學(xué)者對微積分的 可靠性產(chǎn)生了疑心，并且一些思想保守的人物借此提出非難，特別是代表守舊勢力的英國紅衣大主教貝克萊(Berkeley,1685 1753)，從維護(hù)宗教神學(xué)的利益出發(fā)，亟 力反對蘊含運動變化這一新潮思想的微積分。數(shù)學(xué)界、哲學(xué)界、宗教界的許 多人圍繞微積分的邏輯根底問題展開了劇烈的爭論，被數(shù)學(xué) 史界稱為第二次數(shù)學(xué)危機。1.2極限、實數(shù)、集合在

4、微積分中的作用。微積分在長達(dá)兩個世紀(jì)的自身理論完善過程中，法國數(shù)學(xué)家 柯西和德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯先后建立了極限理論，其中 包括摒棄牛頓、萊布尼茲的含混不清的“無窮小概念，而 代之以“以零為極限的變量為無窮小量的明確定義，從而 解決了微積分的邏輯根底問題，也就消除了第二次數(shù)學(xué)危 機?？梢姌O限是微積分的理論根底。極限是微積分的理論根底，然而極限作為運算不總是通行無 阻的，例如在有理數(shù)范圍內(nèi)就可能行不通。譬如，由2的不足近似值構(gòu)成的有理數(shù)序列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，?假設(shè)在有理數(shù)范圍內(nèi)來考 察，就不存在極限。但在實數(shù)范圍內(nèi)來考察，它的極限就是2?？梢妼崝?shù)是極限的理論根底，進(jìn)

5、而可知實數(shù)是微積分的 根底。數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家，喜歡考察數(shù)學(xué)為什么是可靠的。在19世紀(jì)那個時期，數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到微積分的可靠性建立在極限的 根底之上，而極限的可靠性建立在實數(shù)的根底之上，再追問，再研究，又發(fā)現(xiàn)，實數(shù)的可靠性來源于自然數(shù)。當(dāng)時認(rèn)為， 由于自然數(shù)在人類幾千年的德社會生產(chǎn)活動中發(fā)現(xiàn)最早，接 觸最多，貼近實際最近，而且長期使用中未出現(xiàn)矛盾，因而 自然數(shù)的可靠性是不被疑心的。于是自然數(shù)便成了實數(shù)的基 礎(chǔ)，進(jìn)而自然數(shù)成了微積分的根底。數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)根底的研究并未到自然數(shù)為止。19世紀(jì)末，又認(rèn)識到自然數(shù)可由德國數(shù)學(xué)家康托兒提出的集合來定義， 于是微積分的可靠性就取決于集合論的可靠性。因而集合又 成

6、了微積分的根底。而微積分又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的根底知識，于 是幾乎全部數(shù)學(xué)都可以建立在集合根底之上?？梢娂鲜钦?個數(shù)學(xué)大廈的基石。通過前面的介紹，我們體會到，對微積分根底的研究大大推 動了微積分的完善和開展，這無疑是對的。然而這僅僅表達(dá) 了數(shù)學(xué)開展動力的一個方面，即由數(shù)學(xué)自身矛盾運動產(chǎn)生的 內(nèi)部力量。還應(yīng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)開展動力的另一個方面，即由人 類社會實踐所產(chǎn)生的外部力量。17世紀(jì)資本主義生產(chǎn)力的發(fā) 展正是推動微積分產(chǎn)生和開展的外部力量。關(guān)于數(shù)學(xué)的可靠性問題，我們固然應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)科學(xué)的特點 追求數(shù)學(xué)的邏輯可靠性，但最終還要符合實踐的可靠性，即 數(shù)學(xué)的可靠性尚需介紹社會實踐的檢驗。1.3實數(shù)系的建立及鄰

7、域的概念。一、實數(shù)系的演變及性質(zhì)自然數(shù)集N 0,1,2,3,?+引進(jìn)負(fù)數(shù)，整數(shù)集Z,將正整數(shù)集記作 Z或N+ 即除0 外的全體自然數(shù)構(gòu)成的集合有理數(shù)Q二。、有理數(shù)的性質(zhì)：任一有理數(shù)都可以寫成 p的形式，其中p,q?Z ,且q?0。同 整數(shù)比擬起來，有理 q數(shù)具有整數(shù)所沒有的很好的性質(zhì)。設(shè)a,ba?b是任意給定的兩個有隸屬，那么在a,b之間至少存在一個有理數(shù) c，即卩a?c?b 如c?a?d?c。a?b就滿足要求；同樣，在a與c也至少存在一個 有理數(shù)d，即2如此類推，可知無論 a與b相差多么小，總可以在 a與b之 間找到無窮多個有理數(shù)，這就是有理數(shù)的稠密性。因為任一有理數(shù)在數(shù)軸上均可以找到唯一的

8、一點和它相對應(yīng)該點稱為有理點，所以反映在數(shù)軸上，任意兩個有理 點之間總可以找到無窮多個有理點，即有理點在數(shù)軸上是稠 密分布的。這是整數(shù)所不具備的性質(zhì)。實數(shù)的特性雖然有理點在數(shù)軸上是稠密的，但它并沒有鋪滿整個數(shù)軸如單位正方形的對角線，其長2在數(shù)軸上就找不到一個有理點和它對應(yīng)。事實上，利用反證法不難證明，2不能表示成p p,q?Z，且q?0的形式，因此 2不是有理數(shù)。這樣就說 明在數(shù)軸上除了有q理點外，還會留下許多空隙，同時也說明有理點盡管“很稠 密，但并不具有連續(xù)性。我們把這些空隙處的點稱為無理 點，無理點對應(yīng)的數(shù)稱為無理數(shù)。全體有理數(shù)與無理數(shù)合稱為實數(shù)，這就把有理數(shù)集擴充為實數(shù)集，記作 R。這

9、就使在有理數(shù)集中不封閉的開方運算在實 數(shù)集中成為封閉的。在數(shù)軸上，可以發(fā)現(xiàn)，實數(shù)點能鋪滿整 個數(shù)軸，而不會留下任何空隙，實數(shù)的這種性質(zhì)稱為實數(shù)的 連續(xù)性，這是有理數(shù)所沒有的性質(zhì)。三、鄰域微積分研究的對象，是反映現(xiàn)實世界中連續(xù)變化的事物在數(shù)量方面的相依關(guān)系，即所謂的連續(xù)函數(shù)。因而只能用具有連續(xù)性的數(shù)來刻畫事物連續(xù)變化的特性，而實數(shù)才具有連續(xù)性，因此在微積分中，所說的數(shù)均指實數(shù)?？坍嫎O限的鄰域概念與點x0距離小于？(?0)的全體實數(shù)的集合稱為點x0的？鄰域，記作U(xO,?) ，x0稱為鄰域的中心，？稱為鄰域的半徑。顯然點x0的？鄰域可用集合記號表示為xx?x0?，或用區(qū)間表示為?(x0?,x0?

10、)。如果點x0的？鄰域U(x0,?)不包括點x0，那么稱為點x0的去 心鄰域，記作U0(x0,?)，0x?x0?。也可用集合記號表示為 x?例 用鄰域符號和區(qū)間符號分別表示不等式2x?軸上。解：由2x?2(?0)所確定的范圍，并描繪在數(shù)？2得x?1?1?1?，即x?(?)?。所以它表示以？為中心、以？為 2424241?,)。24半徑的鄰域，用鄰域符號表示為U(?由x?1?1?1?1?1?得？?x?,所 以用區(qū)間符號 表示為 (?,?)。2424242424作業(yè)/課后反思 證明2不是有理數(shù)。§ 2微積分的研究對象一一函數(shù)1.1函數(shù)在某個問題的研究過程中，保持不變的量稱為常量，可以取

11、不同數(shù)值的量稱為變量。函數(shù)就是刻畫變量間在運動變化中 相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。例1心理學(xué)研究說明，小學(xué)生對新概念的接受能力G (即學(xué)習(xí)興趣、注意力、理解力的某種量度)隨學(xué)習(xí)時間t的變化規(guī)律為G(t)?0.1t2?2.6t?43定義如果在某個變化過程中有兩個變量 x,y，并且對于x在 某個變化范圍X內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法那么f,y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，記作y?f(x) , x叫做自變量，x的取值范圍X叫做函數(shù)的定義域， 和x的值對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 丫叫做函 數(shù)的值域。函數(shù)定義說明了函數(shù)模型的結(jié)構(gòu)，它由定義域、對應(yīng)法那么和 值域三個要素所構(gòu)成。定義

12、域和對應(yīng)法那么是主導(dǎo)要素，值域 是派生要素。這一模型如同一部機器，把X中的任意原材料x輸入f()，便能產(chǎn)出實數(shù)y?Y。由中學(xué)內(nèi)容可知函數(shù)的表示法通常有三種，即解析法、圖像法、表格法。例2在統(tǒng)計學(xué)上飲食消費占日常支出的比例稱為恩格爾系數(shù)，它反映了一個國家或地區(qū)富裕的程度，是國際通用的一 項重要指標(biāo)。聯(lián)合國根據(jù)恩格爾系數(shù)來劃分一個國家國民富裕程度：恩格 爾系數(shù)小于20為絕對富裕，20以上小于40屬比擬富裕，40 以上小于50算小康水平，50以上小于60剛夠溫飽，60以 上那么為貧困。試以圖像法表示國民富裕程度。1.2逆向思維一例一一反函數(shù)定義設(shè)函數(shù)y?f(x),x?X,y?丫 。如果對于丫內(nèi)的任一

13、 y, X內(nèi) 都有唯一確定的x與之對應(yīng)，使f(x)?y，那么在丫上確定了一 個函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)y?f(x)反函數(shù)，記作 x?f?1(y),y?Y 。而原來的函數(shù)y?f(x)稱為直接函數(shù)。由直接 函數(shù)想到反函數(shù)，這是一種逆向思維過程。什么函數(shù)存在反函數(shù)呢？單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)與其反函數(shù)單調(diào)性相同。1.3根本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為根本初等函數(shù)。1.4復(fù)合函數(shù)一些客觀事物，在質(zhì)的方面存在著復(fù)合關(guān)系，在量的方面也 存在著復(fù)合關(guān)系。在物理學(xué)中，質(zhì)量為m的物體，自由下落時的動能為E?得到E關(guān)于t的函數(shù)E?11mv2而v?gt套入函數(shù) E?mv2

14、便221m(gt)2，像這種由函數(shù)套函數(shù)而得到的函數(shù)就是復(fù)合函數(shù)。一 2般地有定義設(shè)函數(shù)y?f(u),u?U,u?(x),x?X ，且由x?X確定的函數(shù) 值u?(x)落在函數(shù)y?f(u)的定義域U內(nèi)，那么y?f?(x) 稱為 復(fù)合函數(shù)。u稱為中間變量，u?(x)稱為里層函數(shù)，y?f(u) 稱為外層函數(shù)。比方y(tǒng)?x2是由y?和函數(shù)u?1?x復(fù)合而成的。函數(shù)y?u的定義域是2u?0，這應(yīng)是函數(shù) u?1?x2的值域，即應(yīng)滿足 1?x2?0，由此 得?1?x?1。顯然對一切x?1,1，函數(shù)u?1?x的值域即為函 數(shù)y?u的定義域。有些復(fù)合函數(shù)的中間變量可以有兩個，或更多。把一個復(fù)合函數(shù)分成不同層次的函

15、數(shù)，叫做復(fù)合函數(shù)的分解。合理分解復(fù)合函數(shù)，在微積分中有著十分重要的意義。分解的步驟是從外到里，評判分解合理與否的準(zhǔn)那么是，觀察各層函數(shù)是否為根本初等函數(shù)或者多項式。例4分解復(fù)合函數(shù)：2(1)y?sin(x2?1)；解設(shè) y?sinu,u?x2?1x(2)y?log2sin() 2解設(shè) y?log2,u?sinv,v?ux 。21.5初等函數(shù)的含義根本初等函數(shù)，以及對根本初等函數(shù)做有限次四那么運算與有 限次函數(shù)復(fù)合運算而得到的由一個式子表示的函數(shù)叫做初 等函數(shù)，否那么就是非初等函數(shù)。比方整式函數(shù) Pn(x)?aOxn?a1xn?1?an?1x?aO(aO?O)(Qm(x)的含義與Pn(x)相同，且分式函數(shù)y?Pn(x)Qm(x)?O) Qm(x)根式函數(shù)y?x2?1以 及 更 為 復(fù) 雜 的 函 數(shù)x2?11y?ln1?arcsin(x2?) sin2x2等，都是初等函數(shù)。而分段函數(shù)就不是初等函數(shù)，即為非初等函數(shù)。在初等函數(shù)的研究中，常常需要確定函數(shù)的定義域。例 5 求函數(shù) y?arcsin(x?1)?1x?12的