葉宏應用概率統計第1章

1、教材: 應用概率統計 陳魁編著輔導書:概率論與數理統計習題精選精解 張?zhí)斓氯~宏主編本學科的應用本學科的應用概率統計理論與方法的應用幾乎遍及概率統計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農業(yè)生產和國民經所有科學技術領域、工農業(yè)生產和國民經濟的各個部門中濟的各個部門中. 例如例如 1. 氣象、水文、地震預報、人口控制氣象、水文、地震預報、人口控制及預測都與及預測都與概率論概率論緊密相關；緊密相關；2. 產品的抽樣驗收，新研制的藥品能產品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應用，均要用到否在臨床中應用，均要用到假設檢驗假設檢驗；6. 探討太陽黑子的變化規(guī)律時探討太陽黑子的變化規(guī)律時,時間時間可

2、夫過程可夫過程 來描述來描述;7. 研究化學反應的時變率，要以研究化學反應的時變率，要以馬爾馬爾序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4. 電子系統的設計電子系統的設計, 火箭衛(wèi)星的研制及其火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開發(fā)射都離不開可靠性估計可靠性估計; 3. 尋求最佳生產方案要進行尋求最佳生產方案要進行實驗設計實驗設計和和數據處理數據處理；5. 處理通信問題處理通信問題, 需要研究需要研究信息論信息論；水庫調度、購物排隊、紅綠燈轉換等，都水庫調度、購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到可用一類概率模型來描述，其涉及到 的知的知目前目前, 概率統計理論進入其他自然科學概

3、率統計理論進入其他自然科學裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、8. 生物學中研究生物學中研究 群體的增長問題時，群體的增長問題時，提出了生滅型提出了生滅型隨機模型隨機模型，傳染病流行問，傳染病流行問題要用到多變量非線性題要用到多變量非線性生滅過程生滅過程；9. 許多服務系統，如電話通信、船舶許多服務系統，如電話通信、船舶識就是識就是 排隊論排隊論.領域領域 , 特別是經濟學中研究最優(yōu)決策和經特別是經濟學中研究最優(yōu)決策和經濟的穩(wěn)定增長等問題濟的穩(wěn)定增長等問題 , 都大量采用都大量采用概率概率統計方法統計方法. 法國數學家拉普拉斯法國數學家拉普拉斯(Laplac

4、e)說對說對了了: “ 生活中最重要的問題生活中最重要的問題 , 其中絕其中絕大大領域的趨勢還在不斷發(fā)展領域的趨勢還在不斷發(fā)展. 在社會科學領在社會科學領多數在實質上只是概率的問題多數在實質上只是概率的問題.”英國的邏輯學家和經濟學家杰文斯曾英國的邏輯學家和經濟學家杰文斯曾對概率論大加贊美：對概率論大加贊美：“ 概率論是生活真正概率論是生活真正的領路人的領路人, 如果沒有對概率的某種估計如果沒有對概率的某種估計, 那那么我們就寸步難行么我們就寸步難行, 無所作為無所作為.隨機現象隨機現象 q 每次試驗前不能預言出現什么結果q 每次試驗后出現的結果不止一個q 在相同的條件下進行大量觀察或試 驗時

5、，出現的結果有一定的規(guī)律性 稱之為統計規(guī)律性統計規(guī)律性 第一章第一章 隨機事件及其概率1.1 隨機事件及其運算隨機事件及其運算 對某事物特征進行觀察, 統稱試驗試驗.若它有如下特點,則稱為隨機試驗隨機試驗,用E表示q 試驗前不能預知出現哪種結果 1.隨機試驗與樣本空間隨機試驗與樣本空間 q 可在相同的條件下重復進行q 試驗結果不止一個,但能明確所有的結果樣本空間樣本空間 隨機試驗E 所有可能的結果隨機事件隨機事件 的子集, 記為 A ,B ,它是滿足某些條件的樣本點所組成的集合.組成的集合稱為樣本空間樣本空間 記為基本事件基本事件 僅由一個樣本點組成的子集它是隨機試驗的直接結果,每次試驗必定發(fā)

6、生且只可能發(fā)生一個基本事件. 必然事件必然事件全體樣本點組成的事件,記為, 每次試驗必定發(fā)生的事件.復合事件復合事件 由若干個基本事件組成的隨機事件.不可能事件不可能事件不包含任何樣本點的事件,記為 ,每次試驗必定不發(fā)生的事件.A 隨機事件的關系和運算類同集合的關系和運算 2.事件的關系和運算事件的關系和運算文氏圖文氏圖 ( Venn diagram ) A 包含于BBA 事件 A 發(fā)生必導致事件 B 發(fā)生 A B BA BA AB 且1. 事件的包含2. 事件的相等BA或BA BAAB事件 A與事件B 至 少有一個發(fā)生BA發(fā)生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA

7、 A 與B 的和事件3. 事件的并(和) BA或AB事件 A與事件B 同時 發(fā)生BA 發(fā)生nAAA,21的積事件 niiA1,21nAAA的積事件 A 與B 的積事件1iiABAB A4. 事件的交(積)BABA發(fā)生 事件 A 發(fā)生，但 事件 B 不發(fā)生BAB A A 與B 的差事件5. 事件的差 A 與B 互斥ABA、 B不可能同時發(fā)生ABnAAA,21兩兩互斥,21nAAA兩兩互斥njijiAAji, 2 , 1, 2 , 1,jijiAAji6. 事件的互斥(互不相容) A 與B 互相對立BAAB,每次試驗 A、 B中有且只有一個發(fā)生ABAB 稱B 為A的對立事件(或逆事件)，記為注意：

8、“A 與B 互相對立”與“A 與B 互斥”是不同的概念7. 事件的對立A運算律運算律對應事件運算集合運算q 交換律ABBABAABq 結合律)()(CBACBA)()(BCACABq 分配律)()()(CBCACBA)()(CABABCABABABAABq 反演律例例3 3 在圖書館中隨意抽取一本書，A表示數學書，B表示中文書，C表示平裝書. 抽取的是精裝中文版數學書CABBC 精裝書都是中文書BA 非數學書都是中文版的，且中文版的書都是非數學書則事件例例4 4 利用事件關系和運算表達多 個事件的關系A ,B ,C 都不發(fā)生CBACBA A ,B ,C 不都發(fā)生CBAABC 1.2 隨機事件的

9、概率隨機事件的概率歷史上概率的三次定義歷史上概率的三次定義 公理化定義 統計定義 古典定義概率的最初定義基于頻率的定義于1933年由前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫給出設 隨機試驗E 具有下列特點：q 基本事件的個數有限q 每個基本事件等可能性發(fā)生則稱 E 為 古典(等可能)概型古典概型中概率的計算：記 個數中所包含的基本事件的n的基本事件的個數組成 Am nmAP)(則1. 古典概型古典概型 概率的古典定義概率的古典定義(2)2最多個數為 ：93.341,2,3.P 例將 只球隨機地放入 個盒子中去，求盒子中球的最大個數分別為的概率(1)1最多個數為 ：(3)3最多個數為 ：34334 3 2344

10、8P 3464n 2143333694416P C1433414416P設在 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生了m 次， 2. 頻率與概率頻率與概率nmfn則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率頻率 概率的統計定義概率的統計定義在相同條件下重復進行的 n 次試驗中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數p 附近擺動, 且隨 n 越大擺動幅度越小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).對本定義的評價對本定義的評價優(yōu)點：直觀 易懂缺點：粗糙 模糊不便使用概率的公理化理論由前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫1933年建立. 3. 概率的公理化定義概率的公理化定義 即通過規(guī)定概率應具備的基本即通過規(guī)定概率應具備

11、的基本性質來定義概率性質來定義概率. . 設 是隨機試驗E 的樣本空間，若對于E 的每一事件 A ，都有一個實數P ( A )與之對應, 則稱之為事件 A 的概率，只要滿足下面的三條公理：q 非負性：0)(,APAq 規(guī)范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 為兩兩互斥事件，三條公理：q 非負性：0)(APq 規(guī)范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 為兩兩互斥事件，4. 概率的性質概率的性質0)(P基本性質加法公式性質性質1 加法公式加法公式)()()(,BPAPBAPBA互斥，則若事件niiniinAPAPAAA1121)(,兩兩

12、互斥，則若事件S因為因為AAS互斥與AAAS 性質性質2逆事件公式逆事件公式)(1)(APAP對任一事件A ，有( )( )( )1P SP AP A 性質性質2在概率的計算上很有用，如果在概率的計算上很有用，如果正面計算事件正面計算事件A的概率不容易，而計算其的概率不容易，而計算其對立事件對立事件 的概率較易時，可以先計算的概率較易時，可以先計算 ，再計算，再計算P(A).)(APA)(1)(APAP注意注意:S)()(ABAPBP0)( ABP再由再由)(ABA)()(ABPAP由可加性由可加性 設設、B是兩個事件，若是兩個事件，若 , 則則有有 )()()(APBPABP)()(APBP

13、BABA性質性質3 減法公式減法公式)()(APBP移項得移項得)()()(APBPABPq 對任意兩個事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABAB注意注意:S)()()()(ABBPAPABBAPBAPBAB 又因又因再由性質再由性質 3得證得證 .)(ABBA 對任意兩個事件對任意兩個事件A、B，有，有 )()()()(ABPBPAPBAPABAB性質性質4 廣義加法公式廣義加法公式推廣推廣：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)() 1()()()()(2111

14、111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般一般：右端共有 項.12 n例例 設有設有N件產品件產品,其中有其中有M件次品件次品,現從這現從這N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.解：令解：令A=恰有恰有k件次品件次品nNknMNkMCCCAP)(超幾何公式.3401. 1的概率有一件不合格品件，求只有一件，至少任取件不合格品，從中件產品，其中有設有例解法一：321AAAAiAAi件不合格品，則表示恰好有品，表示至少有一件不合格設)()()()()(321321APAPAPAAAPAP310364)(CCCAPiii65

15、性質解法二：)(1)(APAPA表示全是合格品，則因為31036)(CCAP65計算事件計算事件A的概率不容易，而計算其對立的概率不容易，而計算其對立事件的概率較易時，可以利用性質事件的概率較易時，可以利用性質2。性質例例4 有有r 個人，設每個人的生日是個人，設每個人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，試求事件任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩至少有兩人同生日人同生日”的概率的概率. rrPAP)365()(365rrPAPAP)365(1)(1)(365A為求為求P(A), 先求先求P( )解：令解：令 A=至少有兩人同生日至少有兩人同生日 = r 個人的生日都不同個人的生日都不

16、同A則則1.3 條件概率與獨立性條件概率與獨立性1. 條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式 在解決許多概率問題時，往往需要在在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.(1). 條件概率條件概率 如在事件如在事件A發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件B發(fā)發(fā)生的概率，將此概率記作生的概率，將此概率記作P(B|A). 一般一般 P(B|A) P(B) P(B )=1/6，例例如如，擲一顆均勻骰子，擲一顆均勻骰子，B=擲出擲出2點點， A=擲出偶數點擲出偶數點，P(B|A)=？擲骰子擲骰子 已知事件已知事件A發(fā)生，此時試驗所發(fā)生，此時試驗所有

17、可能結果構成的集合就是有可能結果構成的集合就是A，于是于是P(B|A)= 1/3.A中共有中共有3個元素，它們的出現是等個元素，它們的出現是等可能的，其中只有可能的，其中只有1個在集個在集合合B中，中，容易看到容易看到)()(636131APABPP(B|A) 設A、B為兩事件, P ( A ) 0 , 則稱為事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的條件概率.定義定義ABP)()(APABP)()()|(BPABPBAP稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率.同理條件概率也是概率條件概率也是概率, , 故具有概率的性質：故具有概率的性質：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABPq 非負性

18、q 規(guī)范性 q 可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBPq 概率的一些重要性質都適用于條件概率概率的一些重要性質都適用于條件概率. 例如例如:性質性質計算計算 2) 可用縮減樣本空間法可用縮減樣本空間法1) 用定義計算用定義計算:,)()()|(APABPABPP(A)0 擲骰子擲骰子例：例：B=擲出擲出2點點， A=擲出偶數點擲出偶數點P(B|A）=31A發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間所含樣本點總數所含樣本點總數在縮減樣本空間在縮減樣本空間中中B所含樣本點所含樣本點個數個數P10.1ABP)()(APABP由條件概率的定義：由條件概率的定義：若已知若已知

19、P(A), P(B|A)時時, 可以反過來求可以反過來求P(AB).乘法公式乘法公式利用條件概率求積事件的概率即乘法公式乘法公式) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(BPBAPBPABP推廣推廣) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP(2) 乘法公式乘法公式12.2.,.P某人忘記了電話號碼的最后一位數字因而隨機按號 求他第三次撥通，不超過三次而撥通的概率設iA3,2, 1i表示“按i 次才對”解1231233()()()()10P AAAP AP AP A101)(iAP則抽簽理論抽簽理論乘法公式乘法公式11()10P A 212

20、121911()()() (|)10 910P AP A AP A P AA398 11()10 9 810P A 我們說，在事件我們說，在事件B發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件A的條件概率一般地不等于的條件概率一般地不等于A的無條件概率的無條件概率. 但是，會不會出現但是，會不會出現P(A)=P(A |B)的情形呢？的情形呢？ 我們介紹了條件概率的概念，給出了我們介紹了條件概率的概念，給出了計算兩個或多個事件同時發(fā)生的概率的乘計算兩個或多個事件同時發(fā)生的概率的乘法公式，它在計算概率時經常使用，需要法公式，它在計算概率時經常使用，需要牢固掌握牢固掌握.獨立性問題2. 事件的獨立性事件的獨立性顯

21、然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說這就是說,已知事件已知事件B發(fā)生發(fā)生,并不影響事件并不影響事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率,這時稱事件這時稱事件A、B獨立獨立.B =第一次擲出第一次擲出6點點， A =第二次擲出第二次擲出6點點，先看一個例子：先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設設(1) 兩事件的獨立性兩事件的獨立性由乘法公式知，由乘法公式知，當事件當事件A、B獨立時，獨立時， 有有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性刻劃獨立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受P

22、(B)0或或P(A)0的制約的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)定義定義設 A , B 為兩事件，若)()()(BPAPABP則稱事件 A 與事件 B 相互獨立 兩事件獨立的定義兩事件獨立的定義q 四對事件BABABABA,;,;,;,任何一對相互獨立,則其它三對也相互獨立容易證明容易證明,若兩事件若兩事件A、B獨立，則獨立，則 BABABA與與與,也相互獨立也相互獨立.兩事件相互獨立的性質兩事件相互獨立的性質(2) 多個事件的獨立性多個事件的獨立性將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：將兩事件獨立的定義推廣到三個事件： 對于三個事件對于三個事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B

23、) 四個等式同時四個等式同時 P(AC)= P(A)P(C) 成立成立,則稱事件則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨立獨立. 定義定義 n 個事件 A1, A2, , An 相互獨立 是指下面的關系式同時成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定義定義推廣到推廣到n個事件的獨立性定義個事件的獨立性定義,可類似寫出：可類似寫出：請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯系的區(qū)別與聯

24、系兩兩獨立兩兩獨立相互獨立相互獨立對對n(n2)個事件個事件?（P13 .3） 所求為所求為 P(ABACBC)(2)()()(ABCPBCPACPABP利用獨立性)()()(2)()()()()()(CPBPAPCPBPCPAPBPAPP19.5相互獨立和則事件設BABAPBAPBPAP, 1)()(, 1)(0 , 1)(01)|(1)|()|()|(BAPBAPBAPBAP因為)|()|(BAPBAP所以)(1)()()()()()(BPABPAPBPBAPBPABP)()()(APBPABP 全概率公式和貝葉斯公式主要用于全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率計算比較復雜

25、事件的概率, 它們實質上它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用是加法公式和乘法公式的綜合運用. 綜合運用綜合運用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)01.4 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式 設設S為隨機試驗的樣本空間，為隨機試驗的樣本空間，A1,A2,An是是兩兩互斥的事件，且有兩兩互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式稱滿足上述條件的稱滿足上述條件的A1,A2,An為為完備事件組完備事件組.,1SAnii則對任一事件則對任一事

26、件B，有，有證明niiBABSB1iiiABPAPBAP niiiniiABPAPBAPBP11兩兩互不相容，nAAA,21也兩兩互不相容；得BABABAn,21加法公式加法公式乘法公式乘法公式 某一事件某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，則所引起，則B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 每一原因都可能導致每一原因都可能導致B發(fā)生，故發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概發(fā)生概率的總和，即率的總和，即全概率公式全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式全概率公式我們還可以從另一個角度

27、去理解我們還可以從另一個角度去理解全概率公式的關鍵：全概率公式的關鍵：數學模型數學模型完備事件完備事件組組.20%,30%,50%0.95,0.9,0.8.P15.2 甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，其產量分別占總數的，正品率分別為，從這批產品中任取一件，求它是正品的概率B表示產品為正品321 , ,AAA分別表示產品由甲、乙、丙車間生產完備事件組完備事件組86. 0)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP全概率公式全概率公式P17.4 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三三人擊中的概率分別為人擊中的概率分別為0.4、

28、0.5、0.7 .飛飛 機被一人機被一人擊中而擊落的概率為擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概被兩人擊中而擊落的概率為率為0.6,若三人都擊中若三人都擊中,飛機必定被擊落飛機必定被擊落, 求飛機求飛機被擊落的概率被擊落的概率.設設B=飛機被擊落飛機被擊落 Ai=飛機被飛機被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)依題意，依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 為求為求P(Ai ) , 設設 Hi=飛機被第飛機被第i人擊中人擊中, i=1,2,3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAPP(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0