第3章一元函數(shù)積分學(xué)5-12(特殊類型函數(shù)的積分(2)及習(xí)題課)

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A3.1.9 3.1.9 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分3.1 3.1 不定積分不定積分3.1.9 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分法簡單無理函數(shù)的積分法簡單無理函數(shù)積分習(xí)例簡單無理函數(shù)積分習(xí)例1-2分段函數(shù)的不定積分習(xí)例分段函數(shù)的不定積分習(xí)例3-6幾類特殊函數(shù)的不定積分幾類特殊函數(shù)的不定積分習(xí)題課習(xí)題課結(jié)構(gòu)框圖結(jié)構(gòu)框圖內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)典型習(xí)例典型習(xí)例通過運用變量代換將根號去掉通過運用變量代換將根號去掉 dxaxfdxaxfdxxaf)()()()1(222222 t

2、axtaxtaxtaxtaxtaxcsc seccot tancos sin 或或或或或或令令 dxxxfdxbaxfnmn),()()2( , 的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)為為令令nmptxtbaxpn簡單無理函數(shù)的積分法簡單無理函數(shù)的積分法2221(3)1dxx axbxcdxxaxbxc tx1 令令(4)( ,)nR xaxb dx tbaxn 令令(5)( ,)naxbR xdxcxd tdcxbaxn 令令簡單無理函數(shù)積分習(xí)例簡單無理函數(shù)積分習(xí)例例例1 1例例2 2解解,1 tx 令令.2, 1 2tdtdxtx 則則dttttxxdx 1212dtttdtttt 1111222 22

3、22)23()21()21(1)1(ttdttttdCttt 312arctan321ln2Cxxx 3112arctan321ln例例1 1解解,2111)2()1(332dxxxxxxdx ,21 3txx 令令,)1(9,121 23233dtttdxttx 則則dttxxdx 33213)2()1(dttttt )1211(2 222)23()21(23112211tdtdtttttdt例例2 2Ctttt 312arctan31ln211ln2.31212arctan3 121)21(ln21211ln33323Cxxxxxxxx 分段函數(shù)積分習(xí)例分段函數(shù)積分習(xí)例例例3 3例例4 4

4、例例5 5例例6 6解解 0 ,0 ,|)(xxxxxxf 0 ,210 ,21|2212xCxxCxdxx,),(|)(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在由由于于 xxf.),()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)的的原原函函數(shù)數(shù)在在所所以以 xf)21(lim)21(lim220120CxCxxx 從從而而21CC .|21|Cxxdxx 例例3 3解解 1 ,1| , 11 ,1 ,max)(3223xxxxxxxxf 1 ,411| ,1 ,311 ,max3421323xCxxCxxCxdxxx,),()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在由由于于 xf.),()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)的的原原函函數(shù)數(shù)在在所所以以 xf例例4 4)(lim)31(

5、lim21131CxCxxx 從從而而)41(lim)(lim34121CxCxxx ,13121CC 32411CC ,3221CC 2343CC 1 ,43411| ,1 ,32311 ,max4323xCxxCxxCxdxxx解解 dxxfxf)()(處處連連續(xù)續(xù)可可得得在在由由0)( xxf211CC 0 1cos0 31)(3xCxxCxxf 0 cos0 31213xCxxCx例例5 5解解 ,lntexxt 則則令令,0 0 1)( tettft dxxfxf)()(,0 0 21 xCexCxx得得由由)0()00()00(fff 0112 CC1, 021 CC.0 10 )

6、( xexxxfx例例6 6積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分習(xí)題課習(xí)題課一一. 基本概念與性質(zhì)基本概念與性質(zhì) 1. 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分 ,內(nèi)內(nèi)若在若在I,)()()()(dxxfxdFxfxF 或或.)()(內(nèi)內(nèi)的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在為為則則稱稱IxfxF函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上的原函數(shù)全體上的原函數(shù)全體, 稱為稱為f(x)在在I上的上的不定積分不定積分. 記為記為 dxxf

7、)(CxFdxxfxfxF )()(),()(則則若若2. 不定積分的基本性質(zhì)不定積分的基本性質(zhì) ),()( ) 1 (xfdxxfdxd ,)()( )2( CxFdxxF dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()( )3(2121二二. 基本積分公式基本積分公式 三三. 換元法與分部積分法換元法與分部積分法 1. 第一換元法第一換元法(湊微分法湊微分法) dxxxfdxxg )()()( )()(xdxf duufxu)()( CuF )(.)()(CxFxu 常見的一些湊微分形式常見的一些湊微分形式:)()(1)(baxdbaxfadxbaxf nnnndxxfndxxxf )

8、(1)(1)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf )(sin)(sincos)(sinxdxfdxxxf )(cos)(cossin)(cosxdxfdxxxf )(tan)(tancos1)(tan2xdxfdxxxf )(cot)(cotsin1)(cot2xdxfdxxxf )(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfdxxxf )(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf xxxxdeefdxeef )()(利用三角函數(shù)公式利用三角函數(shù)公式: 倍角公式與積化和差倍角公式與積化和差2. 第二換元法第二換元法 dtttfdxxftx )(

9、)()()( dttg )(Ct )(. )()(Cxxt (1)一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)(xaa 可令可令;sintax 22)(xab 可令可令;tantax 22)(axc 可令可令.sectax .,22222222dxxaxaxaxxa 如如也可湊微分也可湊微分用三角代換用三角代換的積分都的積分都并不是所有含并不是所有含(2)當(dāng)分母的階較高時當(dāng)分母的階較高時, 可采用倒代換可采用倒代換.1tx (3)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時時,可采用令可采用令 (其中其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公

10、倍數(shù)) lkxx,ntx n3. 分部積分法分部積分法 .)()(duvuvudvdxxgxf 選擇選擇u的有效方法的有效方法: :LIATE選擇法選擇法L-對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；哪個在前哪個選作哪個在前哪個選作u.注意注意: (1)分部積分法用于求兩類不同函數(shù)乘積的積分分部積分法用于求兩類不同函數(shù)乘積的積分.(2)用分部積分法計算的不定積分類型常見的有用分部積分法計算的不定積分類型常見的有:,dxexxk ,lndxxxmk ,sindxaxxk ,cosdxaxxk ,arctandxbxxk

11、 .sindxbxex (3)分部積分法與換元法經(jīng)常穿插著使用分部積分法與換元法經(jīng)常穿插著使用.(4)分部積分法常用來推導(dǎo)遞推公式分部積分法常用來推導(dǎo)遞推公式.四四. 有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分 1. 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 先把被積函數(shù)化為部分分式之和先把被積函數(shù)化為部分分式之和(利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法),然后積分然后積分.即將即將).,;,;0, 0()()(00110110為非負整數(shù)為非負整數(shù)nmRbababxbxbaxaxaxQxPiimmmnnn 化為已知的四種積分來作：化為已知的四種積分來作：.)(IV. ;

12、III. ;)(II. ;I.22kkqpxxNMxqpxxNMxaxAaxA 2. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分 dxnxmxdxxxR cossin)cos,(sin (1)dxnxmx sinsin 或或dxnxmx coscos 或或方法方法:用積化和差公式進行恒等變形后用積化和差公式進行恒等變形后,再湊微分再湊微分.dxxdxxxRm sin)cos,(sin (2)dxxm cos 或或方法方法: ;,1cossin,22再再湊湊微微分分變變形形后后用用為為奇奇數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng) xxm.,再再湊湊微微分分用用倍倍角角公公式式降降冪冪后后為為偶偶數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)mxdxxdxxx

13、Rnmcossin)cos,(sin (3) 方法方法: ;,1cossin,22的積分的積分再湊微分化為有理函數(shù)再湊微分化為有理函數(shù)變形后變形后用用中有一個為奇數(shù)時中有一個為奇數(shù)時當(dāng)當(dāng) xxnm.,再再湊湊微微分分用用倍倍角角公公式式降降冪冪后后都都是是偶偶數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)nmdxxxR )cos,(sin (4)方法方法: .12)11,12()cos,(sin22222tanduuuuuuRdxxxRxu 3. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分 通過運用變量代換將根號去掉通過運用變量代換將根號去掉 dxaxfdxaxfdxxaf)()()()1(222222 taxtaxtaxtaxta

14、xtaxcsc seccot tancos sin 或或或或或或令令 dxxxfdxbaxfnmn),()()2( , 的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)為為令令nmptxtbaxpn dxcbxaxxdxcbxaxx22211)3(tx1 令令dxbaxxRn ),()4(tbaxn 令令dxdcxbaxxRn ),()5(tdcxbaxn 令令五五. 常見題型習(xí)例常見題型習(xí)例注意注意: 不是所有初等函數(shù)的不定積分或原函數(shù)不是所有初等函數(shù)的不定積分或原函數(shù)(即便存在即便存在)都都是初等函數(shù)是初等函數(shù). 例如例如 421 ,sin ,sin , ,ln2xdxdxxdxxxdxexdxx等都不能用初等函

15、數(shù)表示等都不能用初等函數(shù)表示, 或者習(xí)慣地說或者習(xí)慣地說“積不出來積不出來”.“積出來積出來”的只是很小的一部分的只是很小的一部分, 而且形式變化多樣而且形式變化多樣, 有的技巧性也很強有的技巧性也很強. 因此我們沒有必要做太繁或者難因此我們沒有必要做太繁或者難的計算不定積分的題目的計算不定積分的題目, 應(yīng)該掌握不定積分的基本計應(yīng)該掌握不定積分的基本計算法算法. .)35(. 131 dxxx計計算算例例.11. 264 dxxx計計算算例例.11. 342 dxxx計計算算例例.1. 4243 dxeeeexxxx計計算算例例.11. 542 dxxxx計計算算例例.tan. 64 xdx計

16、計算算例例.)1(. 728 xxdx計算計算例例.sincos1. 82222 dxxbxa計計算算例例)( .ln. 9為為常常數(shù)數(shù)計計算算例例 xdxx)0, 0( .sincoscos.10 badxxbxaxI計計算算例例).(,tansin)2(cos.1122xfxxxf求求設(shè)設(shè)例例 .)35(. 131 dxxx計計算算例例解解 dxxx31)35(3)35(51原原式式 )35()35(3)35(25131xdxx )35()35(253)35()35(2513134xdxxdx.)35(43253)35(732513437Cxx .11. 264 dxxx計計算算例例解解

17、dxxx1)(1324原原式式 dxxxxxxx)1)(1()1(242224 dxxxdxx111622 32321)(13111dxxdxx.arctan31arctan3Cxx .11. 342 dxxx計計算算例例解解 dxxxx222111原原式式 )1(2)1(12xxdxx.21arctan21Cxx .1. 4243 dxeeeexxxx計計算算例例解解 dxeeeexxxx221原原式式 xxxxeeeed221)( 1)()(2xxxxeeeed.)arctan(Ceexx .11. 542 dxxxx計計算算例例解解 xdxxxx42211原式原式 24221121dxx

18、xx dtttttx211212 dtttdtt2211211121 duuttutsin121)1ln(212tanCuutt cotcscln21)1ln(212. .tan. 64 xdx計計算算例例解解 dxxx)1(sectan22原原式式 xdxxdxx222tansectan dxxxxd)1(sectantan22.tantan313Cxxx .)1(. 728 xxdx計算計算例例解解 dttttx 1281原式原式 dttttttttt11122244668 dttttt)111(2246Cttttt arctan315171357.1arctan1315171357Cxxxxx .sincos1. 82222 dxxbxa計計算算例例解解 ,0, 0時時當(dāng)當(dāng) ba dxxb22sin1原式原式 xdxb22csc1.cot12Cxb ,0, 0時時當(dāng)當(dāng) ba dx