函數(shù)單調(diào)性習題課

1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性習題課習題課復習準備復習準備 對于給定區(qū)間對于給定區(qū)間D上的函上的函數(shù)數(shù)f(x)，若對于，若對于D上的任意兩上的任意兩個值個值x1,x2，當，當x1x2時，都有時，都有f(x1)f(x2),則稱則稱f(x)是是D上的上的增（減）函數(shù)，區(qū)間增（減）函數(shù)，區(qū)間D稱為稱為f(x)的增（減）區(qū)間。的增（減）區(qū)間。1、函數(shù)單調(diào)性的、函數(shù)單調(diào)性的定義是什么？定義是什么？復習準備復習準備1、函數(shù)單調(diào)性的、函數(shù)單調(diào)性的定義是什么？定義是什么？2、證明函數(shù)單調(diào)、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？性的步驟是什么？ 證明函數(shù)單調(diào)性應該按證明函數(shù)單調(diào)性應該按下列步驟進行：下列步驟進行：第一步：取值第

2、一步：取值第二步：作差變形第二步：作差變形第三步：定號第三步：定號第四步：判斷下結(jié)論第四步：判斷下結(jié)論復習準備復習準備1、函數(shù)單調(diào)性的、函數(shù)單調(diào)性的定義是什么？定義是什么？2、證明函數(shù)單調(diào)、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？性的步驟是什么？3、現(xiàn)在已經(jīng)學過的、現(xiàn)在已經(jīng)學過的判斷函數(shù)單調(diào)性有判斷函數(shù)單調(diào)性有些什么方法？些什么方法？數(shù)值列表法（不常用）、數(shù)值列表法（不常用）、圖象法、圖象法、定義法定義法題型一：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性題型一：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例例1、判斷函數(shù)、判斷函數(shù)f(x)=x3+1在在(,0)上是增函數(shù)還是減函上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；數(shù)，并證明你的結(jié)論；如果如果x（

3、0，），），函數(shù)函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是是增函數(shù)還是減函數(shù)？減函數(shù)？是減函數(shù)，證明如下：是減函數(shù)，證明如下：上上，在在解：解：)0(1)(3 xxf2121,)0(xxxx 且且上上任任取取，在在)() 1() 1()()(22221123231211xxxxxxxxxfxf 222211243)2()(xxxxx043)2(, 02222112 xxxxx又又)()(, 0)()(2121xfxfxfxf 即即所以所以f(x)在在(,0)上是減函數(shù)上是減函數(shù) 證明函數(shù)單調(diào)性證明函數(shù)單調(diào)性的問題，只需嚴格的問題，只需嚴格按照定義的步驟就按照定義的步驟就可以了?？梢粤恕ｎ}型二：圖象法對單調(diào)性的判

4、斷題型二：圖象法對單調(diào)性的判斷例2：指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 3222112 xxyxy例2：指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 3221122 xxyxy 如果函數(shù)的圖象如果函數(shù)的圖象比較好畫，我們就比較好畫，我們就畫圖象觀察畫圖象觀察圖圖象法象法利用圖象法求單調(diào)區(qū)間的時候，利用圖象法求單調(diào)區(qū)間的時候，應特別注意某些特殊點，尤其應特別注意某些特殊點，尤其是圖象發(fā)生急轉(zhuǎn)彎的地方。用是圖象發(fā)生急轉(zhuǎn)彎的地方。用它們將定義域進行劃分，再分它們將定義域進行劃分，再分別考察。別考察。題型二：圖象法對單調(diào)性的判斷題型二：圖象法對單調(diào)性的判斷結(jié)論結(jié)論1：yf(x)(f(x) 恒不為恒不為0），與），與 的單調(diào)性相反。

5、的單調(diào)性相反。)(1xfy 題型三：利用已知函數(shù)單調(diào)性判斷題型三：利用已知函數(shù)單調(diào)性判斷例3：判斷函數(shù)xxxy4)2(22 在(1,+)上的單調(diào)性。）上上為為減減函函數(shù)數(shù)。在在遞遞減減，故故原原函函數(shù)數(shù)）（為為正正數(shù)數(shù)且且增增函函數(shù)數(shù)，時時，而而當當（解解： ,1(4244)2(1,4)241222xxuxxy題型三：利用已知函數(shù)單調(diào)性進行判斷題型三：利用已知函數(shù)單調(diào)性進行判斷例4：設f(x)在定義域A上是減函數(shù)，試判斷y32f(x)在A上的單調(diào)性，并說明理由。解：解：y=32f(x)在在A上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，因為：因為：任取任取x1，x2A，且，且x1f(x2),故故2 f(x1)2f(

6、x2) 所以所以32 f(x1)32f(x2)即有即有y10時，單調(diào)性相同；時，單調(diào)性相同；當當k0)在某個區(qū)間上在某個區(qū)間上為增函數(shù)，則為增函數(shù)，則 也是增函數(shù)也是增函數(shù)) 1()(, )( nxfxfnn結(jié)論結(jié)論6：復合函數(shù)復合函數(shù)fg(x)由由f(x)和和g(x)的單調(diào)性共同決定。的單調(diào)性共同決定。它們之間有如下關系：它們之間有如下關系：f(x)g(x)fg(x)題型三：利用已知函數(shù)單調(diào)性進行判斷題型三：利用已知函數(shù)單調(diào)性進行判斷練習：求函數(shù)練習：求函數(shù)6)(2 xxxf的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。答案：答案：(, 3單減區(qū)間單減區(qū)間2,+)單增區(qū)間單增區(qū)間注意：注意：求單調(diào)區(qū)間時，一定求單

7、調(diào)區(qū)間時，一定要先看定義域。要先看定義域。題型四：函數(shù)單調(diào)性解題應用題型四：函數(shù)單調(diào)性解題應用例1：已知函數(shù)y=x22axa21在(,1)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。1,a)1,1222 aaaaxxy即即，（，顯然，（顯然，（，的減區(qū)間是（的減區(qū)間是（解：解：解此類解此類由二次函數(shù)單調(diào)性求由二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍參數(shù)范圍的題，最好將二次的題，最好將二次函數(shù)的圖象畫出來，通過圖函數(shù)的圖象畫出來，通過圖象進行分析，可以將抽象的象進行分析，可以將抽象的問題形象化。問題形象化。練習：如果f(x)=x2(a1)x+5在區(qū)間（0.5，1）上是增函數(shù)，那么f(2)的取值范圍是什么？答案：7,）題型四：利

8、用函數(shù)單調(diào)性解題題型四：利用函數(shù)單調(diào)性解題例2：已知x0,1,則函數(shù)的最大值為_最小值為_xxy 122211201 , 0)()(1 , 0)(1 , 0)(1)(22)(maxmin yxyxxgxfyxgxfxxgxxf時，時，當當時，時，當當上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，是是上的減函數(shù)上的減函數(shù)是是上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，是是則則解：令解：令 利用函數(shù)的單調(diào)性利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域，這是，這是求函數(shù)值域和最值的求函數(shù)值域和最值的又一種方法。又一種方法。題型四：利用函數(shù)單調(diào)性解題題型四：利用函數(shù)單調(diào)性解題例3：已知：f(x)是定義在1,1上的增函數(shù)，且f(x1)f(x21),

9、求x的取值范圍。可轉(zhuǎn)化為不等式組可轉(zhuǎn)化為不等式組解：依題意，解：依題意，)1x()1(2 fxf 1111111122xxxx 1020202xxxx或或21 x注：注： 在在利用函數(shù)的利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式單調(diào)性解不等式的的時候，一定要注意時候，一定要注意定義域的限制。定義域的限制。保證實施的是等價保證實施的是等價轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化題型四：利用函數(shù)單調(diào)性解題題型四：利用函數(shù)單調(diào)性解題例4：已知f(x)在其定義域R上為增函數(shù)，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x2) 33)2()4()8(2)2()2()4()()()( ffffffyfxfxyf解解：)2()2()

10、(2xxfxfxf 又又)8()2(2fxxf 由題意有由題意有 82020R)(2xxxxxf上的增函數(shù)上的增函數(shù)為為 42，解得解得 x 解此類題型關解此類題型關鍵在于鍵在于充分利用題充分利用題目所給的條件目所給的條件，本，本題就抓住這點想辦題就抓住這點想辦法構(gòu)造出法構(gòu)造出f(8)=3,這這樣就能用單調(diào)性解樣就能用單調(diào)性解不等式了。不等式了。題型五：復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法題型五：復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法例1：設y=f(x)的單增區(qū)間是(2,6)，求函數(shù)y=f(2x)的單調(diào)區(qū)間。上是單調(diào)遞減的。上是單調(diào)遞減的。），（在在，由復合函數(shù)單調(diào)性可知由復合函數(shù)單調(diào)性可知是單減的，是單減的，上上在在又又

11、），（），（而而）上是增函數(shù)，）上是增函數(shù)，（在在則由已知得則由已知得解：令解：令04)()2()0 , 4(2)(04622)(62)(,2)( xxtfxfxxxtxxxtttfxxt），的的單單減減區(qū)區(qū)間間是是（ 04)2(xf 小結(jié)小結(jié)1、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？2、判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？3、與單調(diào)性有關的題型大致有哪些？取值取值作差作差變形變形定號定號下結(jié)論下結(jié)論小結(jié)小結(jié)1、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？2、判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？3、與單調(diào)性有關的題型大致有哪些？1、定義法、定義法2、圖象法、圖象法3、利用已知函數(shù)的單調(diào)、利用已知函數(shù)的單調(diào)性，通過一些簡單結(jié)論、性，通過一些簡單結(jié)論、性質(zhì)作出判斷。性質(zhì)作出判斷。4、利用復合函數(shù)單調(diào)、利用復合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則進行判斷。性的規(guī)則進行判斷。小結(jié)小結(jié)1、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？2、判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？3、與單調(diào)性有關的題型大致有哪些？1、已知單調(diào)性，求參數(shù)范、已知單調(diào)性