極限求法總結(jié)

1、極限的求法1、利用極限的定義求極限2、直接代入法求極限3、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限4、利用單調(diào)有界原理求極限5、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限6. 利用無窮小的性質(zhì)求極限7、無窮小量分出法求極限8、消去零因子法求極限9、 利用拆項(xiàng)法技巧求極限10、換元法求極限11、利用夾逼準(zhǔn)則求極限12、利用中值定理求極限13、 利用羅必塔法則求極限14、利用定積分求和式的極限15、利用泰勒展開式求極限16、分段函數(shù)的極限1、利用極限的定義求極限用定義法證明極限，必須有一先決條件，即事先得知道極限的猜測值A(chǔ)，這種情況一般較困難推測出，只能對一些比較簡單的數(shù)列或函數(shù)推測分析出極限值，然后再去用定義法去證明，在這個過

2、程中，放縮法和含絕對值的不等式總是密切相連的。例：的- 定義是指：0， =(，)0，0|x-|f(x)-A| 為了求 可先對的鄰域半徑適當(dāng)限制， 如然后適當(dāng)放大f(x)-A(x) (必然保證(x)為無窮小)，此時往往要用含絕對值的不等式：x+a=|(x-)+(+a)|x-|+|+a|+a+1域|x+a|=|(x-)+(+a)|+a|-|x-|+a|-1從(x)2，求出2后，取min(1，2)，當(dāng)0|x- | 時，就有|f(x)-A|.例：.其中，。2、 直接代入法求極限適用于分子、分母的極限不同時為零或不同時為 例 1. 求 . 分析 由于 , 所以采用直接代入法. 解 原式= 3、利用函數(shù)的

3、連續(xù)性求極限定理：一切連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，則有。一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，如果是初等函數(shù)，是其定義域內(nèi)一點(diǎn)，則求極限時，可把代入中計算出函數(shù)值，即=。對于連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)有這樣的定理：若在連續(xù)且，在處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在處也連續(xù)，從而或。例：解：復(fù)合函數(shù)在處是連續(xù)的，即有4、利用單調(diào)有界原理求極限這種方法是利用定理:單調(diào)有界數(shù)列必有極限，先判斷極限存在，進(jìn)而求極限。例：求解：令，則， ，即，所以數(shù)列單調(diào)遞增，由單調(diào)有界定理知，有限，并設(shè)為，即，所以。5、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限定理：若極限和都存在，則函數(shù)，當(dāng)時也存在且又若c0，則在

4、時也存在，且有.利用該種方法求極限方法簡單，但要注意條件是每項(xiàng)或每個因子極限存在， 一般情況所給的變量都不滿足這個條件， 例如出現(xiàn)， 等情況，都不能直接運(yùn)用四則運(yùn)算法則，必須對變量進(jìn)行變形。變形時經(jīng)常用到因式分解、有理化的運(yùn)算以及三角函數(shù)的有關(guān)公式。總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。例：求解：由于當(dāng)時，與的極限都不存在，故不能利用“極限的和等于和的極限”這一法則，先可進(jìn)行化簡這樣得到的新函數(shù)當(dāng)時，分子分母都有極限且分母的極限不為零，可用商的極限法則，即例2. 求。解6. 利用無窮小的性質(zhì)求極限我們知道在某一過程中無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，有界變量乘無窮小是無

5、窮小，對一些特殊的函數(shù)而言用其他方法很難求得，只能用這種方法來求。例：求解：當(dāng)時，分母的極限為零，而分子的極限不為零，可先求處所給函數(shù)倒數(shù)的極限，故。例5 求極限 分析 因?yàn)?不存在,不能直接使用運(yùn)算法則, 故必須先將函數(shù)進(jìn)行恒等變形. 解 原式= (恒等變形) 因?yàn)?當(dāng) 時, , 即 是當(dāng) 時的無窮小,而 1, 即 是有界函數(shù),由無窮小的性質(zhì)：有界函數(shù)乘無窮小仍是無窮小, 得 =0. 7、無窮小量分出法求極限適用于分子、分母同時趨于 ,即 型未定式例3分析 所給函數(shù)中，分子、分母當(dāng) 時的極限都不存在，所以不能直接應(yīng)用法則.注意到當(dāng) 時，分子、分母同時趨于 ，首先將函數(shù)進(jìn)行初等變形，即分子、分

6、母同除 的最高次冪，可將無窮小量分出來，然后再根據(jù)運(yùn)算法則即可求出極限. 為什么所給函數(shù)中,當(dāng) 時，分子、分母同時趨于 呢?以當(dāng) 說明：因?yàn)?,但是 趨于 的速度要比 趨于 的速度快，所以 .不要認(rèn)為 仍是 (因?yàn)?有正負(fù)之分). 解 原式 (分子、分母同除 ) （運(yùn)算法則） （當(dāng) 時， 都趨于 .無窮大的倒數(shù)是無窮小.） 8、消去零因子法求極限適用于分子、分母的極限同時為0,即 型未定式例4分析 所給兩個函數(shù)中,分子、分母的極限均是0,不能直接使用法則四,故采用消去零因子法. 解 原式= (因式分解) = (約分消去零因子 ) = (應(yīng)用法則) = 9、 利用拆項(xiàng)法技巧求極限例6：分析：由于

7、=原式=10、換元法求極限當(dāng)一個函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。例: 求 解：令 則例7 求極限 . 分析 當(dāng) 時,分子、分母都趨于 ,不能直接應(yīng)用法則,注意到 ,故可作變量替換. 解 原式 = = (令 ,引進(jìn)新的變量,將原來的關(guān)于 的極限轉(zhuǎn)化為 的極限.) = . ( 型,最高次冪在分母上) 11、利用夾逼準(zhǔn)則求極限 已知為三個數(shù)列，且滿足：（1） ；（2） ，。則極限一定存在，且極限值也是 ，即。利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個同極限值的數(shù)列使得。例：，求的極限解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則

8、又因?yàn)?，則。12、利用中值定理求極限(1)微分中值定理：若函數(shù) 滿足在連續(xù)，在(a，b)可導(dǎo)；則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。 例：求 解：， (2)積分中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)； 在上不變號且可積，則在上至少有一點(diǎn)使得例：求 解： =013、 利用羅必塔法則求極限定理:假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足： （1）和的極限都是0或都是無窮大； （2）和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為0； （3）存在（或是無窮大）；則極限也一定存在，且等于，即= 。洛必達(dá)法則只能對型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則只說明當(dāng)?shù)扔?A 時，那么也存在且等于A. 如果不存在時，并不能斷定也不存在，只是這是不能用洛必達(dá)法則，而須用其他方法討論。例：求 解：由知 所以上述極限是待定型14、利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)。把所求極限的和式表示成在某區(qū)間上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。例：求解：由于 = 可取函數(shù) ，區(qū)間為，上述和式恰好是 在上等分的積分和。 所以 15、利用泰勒展開式求極限 泰勒展開式：若在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么其中 (其中) 例： 解：泰勒展開式