桿件的內(nèi)力 截面法

1、桿件的內(nèi)力 截面法一、基本要求1了解軸向拉伸與壓縮、扭轉(zhuǎn)、彎曲的概念；2掌握用截面法計算基本變形桿件截面上的內(nèi)力；3熟練掌握基本變形桿件內(nèi)力圖的繪制方法。二、內(nèi)容提要1軸向拉伸和壓縮1）軸向拉伸或壓縮的概念受力特點(diǎn)：外力或合外力與軸線重合；變形特點(diǎn)：桿件產(chǎn)生沿軸線方向的伸長或縮短。2）軸力軸向拉壓時，桿件截面上分布內(nèi)力系的合力的作用線與桿件軸線重合，稱為軸力。一般用表示，單位為牛頓（N）。軸力的正負(fù)號規(guī)定：拉為正，壓為負(fù)。3）軸力圖表示軸力沿桿件軸線變化規(guī)律的圖線。該圖一般以平行于桿件軸線的橫坐標(biāo)x軸表示橫截面位置，縱軸表示對應(yīng)橫截面上軸力的大小。正的軸力畫在x軸上方，負(fù)的軸力畫在x軸下方。2

2、扭轉(zhuǎn)1）扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方向相反的外力偶。變形特點(diǎn)：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸。2）外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來計算。當(dāng)功率P單位為千瓦（kW），轉(zhuǎn)速為n（r/min）時，外力偶矩為當(dāng)功率P單位為馬力（PS），轉(zhuǎn)速為n（r/min）時，外力偶矩為3）扭矩、扭矩圖當(dāng)外力偶矩已知，利用截面法可求任一橫截面上的內(nèi)力偶矩扭矩，用表示。扭矩的正負(fù)號規(guī)定：按右手螺旋法則，T矢量背離截面為正，指向截面為負(fù)（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負(fù)）。表示扭

3、矩隨桿件軸線變化規(guī)律的圖線稱為扭矩圖。扭矩圖作法與軸力圖相似。正的扭矩畫在x軸上方，負(fù)的扭矩畫在x軸下方。3彎曲內(nèi)力1）基本概念彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷作用下，使原為直線的軸線變?yōu)榍€的變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。對稱彎曲：工程中最常見的梁，其橫截面一般至少有一根對稱軸，因而整個桿件有一個包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。若所有外力都作用在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁彎曲變形后的軸線將是位于該平面內(nèi)的一條曲線，這種彎曲形式稱為對稱彎曲。其力學(xué)模型如圖2-3所示。2）梁的計算簡圖 靜定梁：所有支座反力均可由靜力平衡方程確定的梁。靜定梁的基本形式有簡支梁、懸臂梁、外伸梁。計算簡圖分別

4、如圖2-4（a）、（b）、（c）所示。3）剪力和彎矩剪力：受彎構(gòu)件任意橫截面上與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力，稱為剪力，用FS表示。彎矩：受彎構(gòu)件任意橫截面上與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩，稱為彎矩，用M表示。剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定：從梁中取出長為dx的微段，若橫截面上的剪力使dx微段有左端向上而右端向下的相對錯動趨勢時，此剪力FS規(guī)定為正，反之為負(fù)（或使梁產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動的剪力規(guī)定為正，反之為負(fù)），如圖2-5（a）、（b）所示；若彎矩使dx微段的彎曲變形凸向下時，截面上的彎矩M規(guī)定為正，反之為負(fù)（或使梁下部受拉而上部受壓的彎矩為正，反之為負(fù)），如圖2-5（c）、（d）所示 。根據(jù)內(nèi)力與外力

5、的平衡關(guān)系，若外力對截面形心取矩為順時針力矩，則該力在截面上產(chǎn)生正的剪力，反之為負(fù)的剪力（順為正，逆為負(fù)）；固定截面，若外力或外力偶使梁產(chǎn)生上挑的變形，則該力或力偶在截面上產(chǎn)生正的彎矩，反之為負(fù)的彎矩（上挑為正，下壓為負(fù)）。4）剪力方程和彎矩方程一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化。若以坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上的位置，則橫截面上的剪力和彎矩可以表示為x的函數(shù)，即上述函數(shù)表達(dá)式稱為梁的剪力方程和彎矩方程。5）剪力圖和彎矩圖為了直觀地表達(dá)剪力FS和彎矩M沿梁軸線的變化規(guī)律，以平行于梁軸線的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)按適當(dāng)?shù)谋壤硎卷憫?yīng)橫截面上的剪力和彎矩，所繪出的圖形分

6、別稱為剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖的繪制方法有以下兩種：（1）剪力、彎矩方程法：即根據(jù)剪力方程和彎矩方程作圖。其步驟為：第一，求支座反力。第二，根據(jù)截荷情況分段列出FS(x)和M(x)。在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布載荷的起止點(diǎn)處，剪力方程和彎矩方程可能發(fā)生變化，所以這些點(diǎn)均為剪力方程和彎矩方程的分段點(diǎn)。第三，求控制截面內(nèi)力，作FS、M圖。一般每段的兩個端點(diǎn)截面為控制截面。在有均布載荷的段內(nèi)，F(xiàn)S=0的截面處彎矩為極值，也作為控制截面求出其彎矩值。將控制截面的內(nèi)力值標(biāo)在的相應(yīng)位置處。分段點(diǎn)之間的圖形可根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪出。并注明的數(shù)值。（2）微分關(guān)系法：即利用載荷集度、剪力與

7、彎矩之間的關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖。載荷集度q（x）、剪力FS（x）與彎矩M（x）之間的關(guān)系為:根據(jù)上述微分關(guān)系，由梁上載荷的變化即可推知剪力圖和彎矩圖的形狀。(a)若某段梁上無分布載荷，即，則該段梁的剪力FS（x）為常量，剪力圖為平行于軸的直線；而彎矩為的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。(b)若某段梁上的分布載荷（常量），則該段梁的剪力FS（x）為的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；而為的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。當(dāng)（向上）時，彎矩圖為向下凸的曲線；當(dāng)（向下）時，彎矩圖為向上凸的曲線。(c)若某截面的剪力FS（x）=0，根據(jù)，該截面的彎矩為極值。利用以上各點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可

8、以利用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下：第一，求支座反力（對懸臂梁，若從自由端畫起，可省去求支反力）；第二，分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；第三，求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；第四，確定和?？赡艹霈F(xiàn)的地方：集中力F作用處；支座處?？赡艹霈F(xiàn)的地方：剪力FS=0的截面；集中力F作用處；集中力偶M作用處。6）平面剛架和平面曲桿的彎曲內(nèi)力剛架：桿系結(jié)構(gòu)若在節(jié)點(diǎn)處為剛性連接，則這種結(jié)構(gòu)稱為剛架。平面剛架：由在同一平面內(nèi)、不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。各桿連接處稱為剛節(jié)點(diǎn)。剛架變形時，剛節(jié)點(diǎn)處各桿軸線之間的夾角保持不變。靜定剛架：

9、凡未知反力和內(nèi)力能由靜力學(xué)平衡條件確定的剛架。平面剛架各桿的內(nèi)力，除了剪力和彎矩外，一般還有軸力。作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定：彎矩圖畫在各桿的受壓一側(cè)，且不注明正、負(fù)號。剪力圖及軸力圖可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架外側(cè)），且必須注明正負(fù)號；剪力正負(fù)號的規(guī)定與梁相同，軸力仍以拉伸為正，壓縮為負(fù)。平面曲桿：軸線為一平面曲線的桿。平面曲桿橫截面上的內(nèi)力情況及其內(nèi)力圖的繪制方法，與剛架相類似。 三、典型例題分析例2-1 在圖2-6（a）中，沿桿件軸線作用F1、F2、F3、F4。已知：F1=6kN，F(xiàn)2=18kN，F(xiàn)3=8kN，F(xiàn)4=4k

10、N。試求各段橫截面上的軸力，并作軸力圖。解：1計算各段軸力AC段：以截面1-1將桿分為兩段，取左段部分（圖（b）。由得kN （拉力）CD段：以截面2-2將桿分為兩段，取左段部分（圖(c)）。由得kN（壓力）的方向與圖中所示方向相反。DB段：以截面3-3將桿分為兩段，取右段部分（圖(d)）。由得kN（壓力）的方向與圖中所示方向相反。2繪軸力圖以橫坐標(biāo)x表示橫截面位置，縱軸表示對應(yīng)橫截面上的軸力，選取適當(dāng)比例，繪出軸力圖（圖（e）。在軸力圖中正的軸力（拉力）畫在x軸上側(cè)，負(fù)的軸力（壓力）畫在x軸下側(cè)。例2-2 傳動軸在圖2-7（a）所示。主動輪A輸入功率為PA36kW，從動輪B、C、D輸出功率分別

11、為PBPC11kW，PD14kW，軸的轉(zhuǎn)速為n300r/min。試作軸的扭矩圖。解：1計算各輪上的外力偶矩2計算各段扭矩BC段：以截面II將軸分為兩段，取左段部分（圖(b)）。由平衡方程得負(fù)號說明所假定的方向與實(shí)際扭矩相反同理，在CA段內(nèi)， 在AD段內(nèi)，3以橫坐標(biāo)x表示橫截面位置，縱軸表示對應(yīng)橫截面上的扭矩大小，選取適當(dāng)比例，繪出扭矩圖。正的扭矩畫在x軸上側(cè)，負(fù)的扭矩畫在x軸下側(cè)。例2-3 圖示簡支梁受集中力F作用，試?yán)眉袅Ψ匠毯蛷澗胤匠汤L出該梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力。由，得2.列剪力、彎矩方程在段內(nèi)，在BC段內(nèi)3.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。圖：在AC、CB段內(nèi)，剪力方程

12、均為常數(shù)，因此兩段剪力圖均為平行于x軸的直線。在集中力F作用處，左、右兩側(cè)截面的剪力值發(fā)生突變，突變量；圖：在AC、CB段內(nèi)，彎矩方程均是的一次函數(shù)，因此兩段彎矩圖均為斜直線。求出控制截面彎矩，標(biāo)在坐標(biāo)系中，并分別連成直線，即得該梁的彎矩圖。顯然在集中力F作用處左、右兩側(cè)截面上彎矩值不變，但在該截面處彎矩圖斜率發(fā)生突變，因此在集中力F作用處彎矩圖上為折角點(diǎn)。例2-4 受均布載荷作用的簡支梁，如圖2-9所示，試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力2.列剪力、彎矩方程3.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。且在FS=0處彎矩M取得極值。例

13、2-5 如圖2-10所示簡支梁，在C點(diǎn)處受矩為Me的集中力偶作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力由平衡方程和得2.列剪力、彎矩方程在AC段內(nèi)在BC段內(nèi)3.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為，而剪力圖無改變。例2-6 如圖2-11所示簡支梁。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力。由平衡方程和求得，2.列剪力、彎矩方程AC段：CB段：3求控制截面內(nèi)力，繪、圖圖：AC段內(nèi)，剪力方程是的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，求出兩個端截面的剪力值，標(biāo)在坐標(biāo)系中，連接兩點(diǎn)即得該段的剪力圖。CB段內(nèi)，剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的

14、內(nèi)力值，連一水平線即為該段剪力圖。梁AB的剪力圖如圖2-11(b)所示。圖：AC段內(nèi)，彎矩方程是的二次函數(shù)，彎矩圖為二次曲線，求出兩個端截面的彎矩，分別標(biāo)在坐標(biāo)系中。在處彎矩取得極值。令剪力方程，解得，求得，標(biāo)在坐標(biāo)系中。根據(jù)上面三點(diǎn)繪出該段的彎矩圖。CB段內(nèi)，彎矩方程是的一次函數(shù)，分別求出兩個端點(diǎn)的彎矩，標(biāo)在坐標(biāo)系中，并連成直線。AB梁的圖如圖2-11(c)所示。例2-7 梁的受力如圖2-12（a）所示，試?yán)梦⒎株P(guān)系作梁的、圖。解：1.求支反力。 由平衡方程和求得，2.分段確定曲線形狀由于載荷在A、D處不連續(xù)，應(yīng)將梁分為三段繪內(nèi)力圖。根據(jù)微分關(guān)系，在CA和AD段內(nèi)，剪力圖為水平線，彎矩圖為

15、斜直線；DB段內(nèi)，且為負(fù)值，剪力圖為斜直線，圖為向上凸的拋物線。3.求控制截面的內(nèi)力值，繪、圖圖：，據(jù)此可作出CA和AD兩段圖的水平線。，據(jù)此作出DB段圖的斜直線。圖：，據(jù)此可以作出CA段彎矩圖的斜直線。A支座的約束反力只會使截面A左右兩側(cè)剪力發(fā)生突變，不改變兩側(cè)的彎矩值，故，據(jù)此可作出AD段彎矩圖的斜直線。D處的集中力偶會使D截面左右兩側(cè)的彎矩發(fā)生突變，故需求出，；由DB段的剪力圖知在E處，該處彎矩為極值。根據(jù)BE段的平衡條件，知BE段的長度為0.5m，于是求得。根據(jù)上述三個截面的彎矩值可作出DB段的圖。對作出的、圖要利用微分關(guān)系和突變規(guī)律、端點(diǎn)規(guī)律作進(jìn)一步的校核。如DB段內(nèi)的均布載荷為負(fù)值，該段圖的斜率應(yīng)為負(fù)；CA段的為負(fù)值，該段圖的斜率應(yīng)為負(fù)；AD段的為正值，該段圖的斜率應(yīng)為正；支座A處剪力圖應(yīng)發(fā)生突變，突變值應(yīng)為10kN；D處有集中力偶，D截面左右兩側(cè)的彎矩應(yīng)發(fā)生突變，而且突變值應(yīng)為3.6kN×m；支座B和自由端C處的彎矩應(yīng)為零等。例2-7 剛架受力如