新人教版八上數(shù)學(xué)培優(yōu)講義15講

1、第一講 三角形考點(diǎn)·方法·破譯1了解與三角形有關(guān)的線段(邊、高、中線、角平分線)，會(huì)畫出任意三角形的高、中線、角平分線.2知道三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.3了解與三角形有關(guān)的角(內(nèi)角、外角) .4掌握三角形三內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.5會(huì)用方程的思想解與三角形基本要素相關(guān)的問(wèn)題.6會(huì)從復(fù)雜的圖形中找到基本圖形，從而尋求解決問(wèn)題的方法.經(jīng)典·考題·賞析【例】若的三邊分別為4，x，9，則x的取值范圍是_，周長(zhǎng)l的取值范圍是_；當(dāng)周長(zhǎng)為奇數(shù)時(shí)，x_.【變式題組】1若ABC的三邊分別為4，x，9

2、，且9為最長(zhǎng)邊，則x的取值范圍是_，周長(zhǎng)l的取值范圍是_.2設(shè)ABC三邊為a，b，c的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，且abc，a+b+c13，則以a，b，c為邊的三角形，共有_個(gè).3用9根同樣長(zhǎng)的火柴棒在桌面上擺一個(gè)三角形（不許折斷）并全部用完，能擺出不同形狀的三角形個(gè)數(shù)是().A1B2C3D4【例】已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為18cm，周長(zhǎng)為58cm，試求三角形三邊的長(zhǎng).【變式題組】1已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為6cm，12cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是() A24cmB30cmC24cm或30cmD18cm2已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm和9cm，則下列長(zhǎng)度的四條線段中能作為第三條邊的是()A13cmB6cmC5

3、cmD4cm3等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分成12和10兩部分，則此等腰三角形的腰長(zhǎng)為_.【例】如圖AD是ABC的中線，DE是ADC的中線，EF是DEC的中線，F(xiàn)G是EFC的中線，若SGFC1cm2，則SABC_.【變式題組】1如圖，已知點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，SABC4，則SEFC_.2如圖，點(diǎn)D是等腰ABC底邊BC上任意一點(diǎn)，DEAB于E，DFAC于F，若一腰上的高為4cm，則DE+DF_.3如圖，已知四邊形ABCD是矩形(ADAB) ，點(diǎn)E在BC上，且AEAD，DFAE于F，則DF與AB的數(shù)量關(guān)系是_.【例】已知，如圖，則A+B+C+D+E _.【變式題

4、組】1如圖，則A+B+C+D+E _.2如圖，則A+B+C+D+E +F_.3如圖，則A+B+C+D+E +F _.【例】如圖，已知A70°，BO、CO分別平分ABC、ACB則BOC _.【變式題組】1如圖，A70°，B40°，C20°，則BOC_.3如圖，O140°，P100°，BP、CP分別平分ABO、ACO，則A_.【例】如圖，已知B35°，C47°，ADBC，AE平分BAC，則EAD_.【變式題組】1.（改）如圖，已知B39°，C61°，BDAC，AE平分BAC，則BFE_. 2如圖，在

5、ABC中，ACB40°，AD平分BAC，ACB的外角平分線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)F是BC上一動(dòng)點(diǎn)(F、D不重合) ，過(guò)點(diǎn)F作EFBC交于點(diǎn)E，下列結(jié)論:P+DEF為定值，PDEF為定值中，有且只有一個(gè)答案正確，請(qǐng)你作出判斷，并說(shuō)明理由.*【例】如圖，在平面內(nèi)將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ABC，使CCAB，若BAC70°，則旋轉(zhuǎn)角_.【變式題組】1.如圖，用等腰直角三角形板畫AOB45°，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線后繞點(diǎn)M逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)22°，則三角板的斜邊與射線OA的直角_.2如圖，在平面內(nèi)將AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到OAB，若點(diǎn)A在A

6、B上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角_.(AOB90°，B30°)3如圖，ABE和ACD是ABC沿著AB邊，AC邊翻折180°形成的，若BAC130°，則_.演練鞏固·反饋提高1如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)為()A5個(gè)B6個(gè)C7個(gè)D8個(gè)2如果三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不確定3有4條線段，長(zhǎng)度分別是4cm，8cm，10cm，12cm，選其中三條組成三角形，可以組成三角形的個(gè)數(shù)是()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)4下列語(yǔ)句中，正確的是()A三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角B三角形的一個(gè)外角等于這個(gè)三角形的兩

7、個(gè)內(nèi)角的和C三角形的外角中，至少有兩個(gè)鈍角D三角形的外角中，至少有一個(gè)鈍角5若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D無(wú)法確定6若一個(gè)三角形的一個(gè)外角大于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D無(wú)法確定7如果等腰三角形的一邊長(zhǎng)是5cm，另一邊長(zhǎng)是9cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是_.8三角形三條邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且三角形的周長(zhǎng)不大于18，則這個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是_.9如圖，在ABC中，A42°，B與C的三等分線，分別交于點(diǎn)D、E，則BDC的度數(shù)是_.10如圖，光線l照射到平面鏡上，然后在平面鏡

8、、之間來(lái)回反射，已知55，75°，_.11如圖，點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn)，且SEFC1，則SABC_.12如圖，已知: 12，34，BAC63°，則DAC_.13如圖，已知點(diǎn)D、E是BC上的點(diǎn)，且BEAB，CDCA，DAEBAC，求BAC的度數(shù)培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)1在ABC中，2A3B，且C30°A+B，則ABC是()A銳角三角形B鈍角三角形C有一個(gè)角是30°的直角三角形D等腰直角三角形BC 2已知三角形的三邊a、b、c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且abc，如果b7，則這樣的三角形共有()A21個(gè)B28個(gè)C49個(gè)D54個(gè)3在ABC中，A50&#

9、176;，高BE、CF交于O點(diǎn)，則BOC_.4在等腰ABC中，一腰上的高與另一腰的夾角為26°，則底角的度數(shù)為_.5如圖，BP平分ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分ADC交AB于點(diǎn)E，若A40°，C38°，則P _.6如圖，已知OABC是一個(gè)長(zhǎng)方形，其中頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0，a)和(9，a).點(diǎn)E在AB上 ，且AEAB點(diǎn)F在OC上 ，且OFOC，點(diǎn)G在OA上，且使GEC的面積為16，試求的值.7如圖，已知四邊形ABCD中，A+DCB180°，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別交于P、Q兩點(diǎn)，P、Q的平分線交于M，求證PMQM.第二講 全等三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·

10、;方法·破譯1能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；2全等三角形性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；全等三角形對(duì)應(yīng)高、角平分線、中線相等；全等三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)相等，面積相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對(duì)于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法；4證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個(gè)三角形滿足判定方法中的三個(gè)條件，具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對(duì)它們進(jìn)行證明；5證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)條件，有時(shí)能直接進(jìn)行證明，有時(shí)要證的兩個(gè)三角形

11、并不全等，這時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長(zhǎng)線中線、截取等等.經(jīng)典·考題·賞析【例】如圖，ABEFDC,ABC90°,ABCD，那么圖中有全等三角形（ ）BACDEFA5對(duì)B4對(duì)C3對(duì)D2對(duì)【變式題組】1（武漢2011）下列判斷中錯(cuò)誤的是（ ）A有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等AFCEDB2（黃岡）已知命題：如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，且ADBE，AFDE，則ABCDEF.判

12、斷這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明.3(上海)已知線段AC與BD相交于點(diǎn)O, 連接AB、DC，E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，連接EF（如圖所示）.添加條件AD，OEFOFE，求證：ABDC；ABCDOFE分別將“AD”記為，“OEFOFE”記為，“ABDC”記為，添加、，以為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條件、，以為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是_命題，命題2是_命題（選擇“真”或“假”填入空格）.ACEFBD【例】已知ABDC，AEDF，CFFB. 求證：AFDE.【變式題組】1如圖，AD、BE是銳角ABC的高，相交于點(diǎn)O，若

13、BOAC，BC7，CD2，則AO的長(zhǎng)為（ ）A2B3C4D5AE第1題圖ABCDEBCDO第2題圖2.如圖，在ABC中，ABAC，BAC90°，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，AECE于E，BDAE于D，DE4cm，CE2cm，則BD_.3（孝感2013）已知：如圖，在ABC中， ACB90°，CDAB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CEBC，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 求證：ABFC.AFECBD【例】如圖，ABCDEF，將ABC和DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合，把DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.當(dāng)DEF旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn)B（E）、C、D在同一直線上時(shí)，A

14、FD與DCA的數(shù)量關(guān)系是_;當(dāng)DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由_.B（E）OCF圖FABCDEFAB(E)CDDA圖圖【變式題組】1（紹興2013）如圖，D、E分別為ABC的AC、BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若CDE48°，則APD等于（ ）A42°B48°C52°D58°2如圖，RtABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到DEF，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）AABCDEFBDEF90°C ACDF DECCFEFBABPDEC第1題圖ACDG第2題圖3一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪開，

15、得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上.求證：ABED；若PBBC，找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并證明.BFACENMPDDACBFE【例】（第21屆江蘇競(jìng)賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是ABC的邊A C和AB邊上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線，BPAC，點(diǎn)Q在CE上，CQAB. 求證： APAQ；APAQ21ABCPQEFD【變式題組】ABCDFE1如圖，已知ABAE，BE，BAED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：AFCD.2（湖州市競(jìng)賽試題）如圖，在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時(shí)梯子的傾斜角為75

16、°，如果梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面的墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45°，這間房子的寬度是（ ）ABCbmDamAECBA75°C45°BNM第2題圖第3題圖D3 如圖，已知五邊形ABCDE中， ABCAED90°，ABCDAEBCDE2，則五邊形ABCDE的面積為_演練鞏固·反饋提高1（海南2011）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則度數(shù)是（ ）A72°B60°C58°D50°第3題圖第1題圖CAODBP第2題圖ACA/BB/acca50°b72°58

17、°2如圖，ACBA/C/B/， BCB/30°，則ACA/的度數(shù)是（ ）A20°B30°C35°D40°3尺規(guī)作圖作AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP，由作法得OCPODP的根據(jù)是（ ）ASASBASACAASDSSS4（武漢2012）如圖，已知ABAD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定ABCADC的是（ ）A. CBCD B.BACDACC. BCADCA D.BD90°E21NABDC第5題圖ABCDEABCD第

18、4題圖第6題圖M5有兩塊不同大小的等腰直角三角板ABC和BDE，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，如圖，當(dāng)A、B、D不在一條直線上時(shí)，下面的結(jié)論不正確的是（ ）A. ABECBD B. ABECBDC. ABCEBD45° D. ACBE6如圖，ABC和共頂點(diǎn)A，ABAE，12，BE. BC交AD于M，DE交AC于N，小華說(shuō)：“一定有ABCAED.”小明說(shuō)：“ABMAEN.”那么（ ）A. 小華、小明都對(duì) B. 小華、小明都不對(duì)C. 小華對(duì)、小明不對(duì) D.小華不對(duì)、小明對(duì)7如圖，已知ACEC, BCCD, ABED,如果BCA119°，ACD98&

19、#176;,那么ECA的度數(shù)是_.8如圖，ABCADE，BC延長(zhǎng)線交DE于F，B25°,ACB105°，DAC10°，則DFB的度數(shù)為_.9如圖，在RtABC中，C90°, DEAB于D, BCBD. AC3，那么AEDE_第10題圖ABCDE第9題圖EABCDABCDEFOCAEBD第7題圖第8題圖10如圖，BAAC, CDAB. BCDE，且BCDE，若AB2, CD6，則AE_.11如圖, ABCD, ABCD. BC12cm，同時(shí)有P、Q兩只螞蟻從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行時(shí)間t為多少

20、時(shí)，APBQDC. DAC.QP.BDBACEF12如圖, ABC中，BCA90°，ACBC，AE是BC邊上的中線，過(guò)C作CFAE，垂足為F，過(guò)B作BDBC交CF的延長(zhǎng)線于D.求證：AECD；若AC12cm, 求BD的長(zhǎng). AEBFDC13（吉林）如圖，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，AD等于AE，AB平分DAE交DE于點(diǎn)F, 請(qǐng)你寫出圖中三對(duì)全等三角形，并選取其中一對(duì)加以證明.14如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線l上，從另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E.BDEClA找出圖中的全等三角形，并加以證明；若DEa，求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補(bǔ)形法）15如

21、圖，ACBC, ADBD, ADBC，CEAB，DFAB，垂足分別是E、F.求證：CEDF.AEFBDC培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)1如圖，在ABC中，ABAC，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AEAF，BF、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則圖中全等三角形有（ ）A4對(duì)B5對(duì)C6對(duì)D7對(duì)F第6題圖21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1題圖B第2題圖第3題圖2如圖，在ABC中，ABAC，OCOD，下列結(jié)論中：AB DECE，連接DE, 則OE平分AOB，正確的是（ ）ABCD3如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且ACCE , 1=2=3, 則DE的長(zhǎng)等于（）AD

22、C B. BC C. AB D.AEAC4下面有四個(gè)命題，其中真命題是（ ）A兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等B兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C. 有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D. 兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等5在ABC中，高AD和BE所在直線相交于H點(diǎn),且BHAC，則ABC_.6如圖，EB交AC于點(diǎn)M, 交FC于點(diǎn)D, AB交FC于點(diǎn)N，EF90°，BC, AEAF. 給出下列結(jié)論：12；BECF; ACNABM; CDDB，其中正確的結(jié)論有_.（填序號(hào)）7如圖，AD為在ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F,且有BFA

23、C，F(xiàn)DCD.求證：BEAC；AEFCDB若把條件“BFAC”和結(jié)論“BEAC”互換，這個(gè)命題成立嗎？證明你的判定.8 如圖，D為在ABC的邊BC上一點(diǎn)，且CDAB，BDABAD，AE是ABD的中線. 求證：AC2AE. ABEDC9如圖，在凸四邊形ABCD中，E為ACD內(nèi)一點(diǎn)，滿足ACAD，ABAE, BAEBCE90°, BACEAD.求證：CED90°. AEBDCADEGCHB10如圖，ABAD，ACAE，BADCAE180°. AHAH于H，HA的延長(zhǎng)線交DE于G. 求證：GDGE. 第三講 角平分線的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·方法·破譯1角平

24、分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2角平分線的判定定理：角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.3有角平分線時(shí)常常通過(guò)下列幾種情況構(gòu)造全等三角形. 經(jīng)典·考題·賞析【例】如圖，已知OD平分AOB，在OA、OB邊上截取OAOB，PMBD，PNAD.求證：PMPN【變式題組】1如圖，CP、BP分別平分ABC的外角BCM、CBN.求證：點(diǎn)P在BAC的平分線上.2如圖，BD平分ABC，ABBC，點(diǎn)P是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PMAD，PNCD.求證：PMPN【例】（天津競(jìng)賽題）如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于點(diǎn)E，且AE(ABAD)，如果D

25、120°，求B的度數(shù)【變式題組】1如圖，在ABC中，CD平分ACB，AC5，BC3.求 2(河北競(jìng)賽)在四邊形ABCD中，已知ABa，ADb.且BCDC，對(duì)角線AC平分BAD，問(wèn)a與b的大小符合什么條件時(shí)，有BD180°，請(qǐng)畫圖并證明你的結(jié)論. 【例】如圖，在ABC中，BAC90°,ABAC，BE平分ABC，CEBE.求證：CEBD【變式題組】1如圖，已知ACBD，EA、EB分別平分CAB、DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：ABACBD. 2如圖，在ABC中，B60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F.請(qǐng)你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系

26、，并說(shuō)明理由；求證：AECDAC.演練鞏固·反饋提高1如圖，在RtABC中，C90°，BD平分ABC交AC于D，若CDn，ABm，則ABD的面積是（ ）AmnBmnC mnD2 mn2如圖，已知ABAC，BECE，下面四個(gè)結(jié)論：BPCP；ADBC；AE平分BAC；PBCPCB.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)A1B2C3D43如圖，在ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PRAB，PSAC，垂足分別是R、S.若AQPQ，PRPS，下列結(jié)論：ASAR；PQAR；BRPCSP.其中正確的是（ ）ABCD4如圖，ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分別是E

27、、F，則下列四個(gè)結(jié)論中：AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等；AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；ADBC且BDCD；BDECDF.其中正確的是（ ）ABCD5如圖，在RtABC中，ACB90°，CAB30°，ACB的平分線與ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，則AEB的度數(shù)為（ ）A50°B45°C40°D35°6如圖，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，給出下列結(jié)論：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；點(diǎn)P是ABC三條角平分線的交點(diǎn).其中正確的序號(hào)是（ ）ABCD7如圖，點(diǎn)P是ABC兩個(gè)外角

28、平分線的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（ ）A點(diǎn)P到ABC三邊的距離相等B點(diǎn)P在ABC的平分線上CP與B的關(guān)系是：PB90°DP與B的關(guān)系是：BP8如圖，BD平分ABC，CD平分ACE，BD與CD相交于D.給出下列結(jié)論：點(diǎn)D到AB、AC的距離相等；BAC2BDC；DADC；DB平分ADC.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)9如圖，ABC中，C90°AD是ABC的角平分線，DEAB于E，下列結(jié)論中：AD平分CDE；BACBDE； DE平分ADB；ABACBE.其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）A3個(gè)B2個(gè)C1個(gè)D4個(gè)10如圖，已知BQ是ABC的內(nèi)角平分線，CQ是ACB的外角平分

29、線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，則QM、QN、QK的關(guān)系是_11如圖，AD是BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC.求證：BECF12如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F.求證：ADEF.培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)1如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（ ）A一處B二處C三處D四處 2已知RtABC中，C90°，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BD:CD9:7，則D到AB邊的距離為（ ）A18B

30、16C14D12 3如圖，ABC中，C90°，AD是ABC的平分線，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng).已知：DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP的長(zhǎng)為x(cm)，那么x的范圍是_4如圖，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分別為E、F、G，且PFPGPE，則BPD_5如圖，已知ABCD，O為CAB、ACD的平分線的交點(diǎn)，OEAC，且OE2，則兩平行線AB、CD間的距離等于_6如圖，AD平分BAC，EFAD，垂足為P，EF的延長(zhǎng)線于BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.求證：G(ACBB)7如圖,在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分線,P為AC上任意一點(diǎn).求證:ABACDBDC8如圖，在

31、ABC中，BAC60°，ACB40°，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別為BAC、ABC的角平分線上.求證：BQAQABBP第四講 軸對(duì)稱及軸對(duì)稱變換考點(diǎn)·方法·破譯1軸對(duì)稱及其性質(zhì)把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線叫對(duì)稱軸.軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì)：關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.2線段垂直平分線線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關(guān)

32、系：位置關(guān)系垂直；數(shù)量關(guān)系平分.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.3當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高（或垂線）、或求幾條折線段的最小值等情況時(shí)，通?？紤]作軸對(duì)稱變換，以“補(bǔ)齊”圖形，集中條件.經(jīng)典·考題·賞析【例】（蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對(duì)折兩次，然后在上面打3個(gè)洞，則紙片展開后是（ ）【變式題組】1將正方形紙片兩次對(duì)折，并剪出一個(gè)菱形小洞后鋪平，得到的圖形是（ ）2（荊州）如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)G上，點(diǎn)D落在點(diǎn)H上；然后再沿虛線G

33、H折疊，使B落在點(diǎn)E上，點(diǎn)C落在點(diǎn)F上，疊完后，剪一個(gè)直徑在BC上的半圓，再展開，則展開后的圖形為（ ）【例2】（襄樊）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，將ABC向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得到ABC，則與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A（0，1） B（1，1） C（2，1） D（1，1）【變式題組】1若點(diǎn)P（2，3）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a、b的值分別是（ ）A2，3 B2，3 C2，3 D2，32在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（3，2），點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，將點(diǎn)Q向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)R，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是_.3（荊州）已知點(diǎn)P（a1，2a1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍為

34、_.【例3】如圖，將一個(gè)直角三角形紙片ABC（ACB90°），沿線段CD折疊，使點(diǎn)B落在B1處，若ACB170°，則ACD（ ）A30° B20° C15° D10°【變式題組】1（孝感）如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D、C的位置.若EFB65°，則AED等于（ ）A70° B65° C50° D25°2如圖，ABC中，A30°，以BE為邊，將此三角形對(duì)折，其次，又以BA為邊，再一次對(duì)折，C點(diǎn)落在BE上，此時(shí)CDB82°，則原三角形中B_.【

35、例4】如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：BCAF【變式題組】1如圖，點(diǎn)D在ABC的BC邊上，且BCBDAD，則點(diǎn)D在_的垂直平分線上2如圖，ABC中，ABC90°，C15°，DEAC于E，且AEEC，若AB3cm，則DC_cm3如圖，ABC中，BAC126°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則EAG_4.ABC中，ABAC，AB邊的垂直平分線交AC于F，若AB12cm，BCF的周長(zhǎng)為20cm，則ABC的周長(zhǎng)是_cm【例5】（荊州）如圖，在3×3的正方形格點(diǎn)圖中，有格點(diǎn)ABC和

36、DEF，且ABC和DEF關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谙旅娴膫溆脠D中畫出所有這樣的DEF【變式題組】1如圖，在2×2的正方形格點(diǎn)圖中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的ABC，請(qǐng)你找出格點(diǎn)圖中所有與ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有_個(gè)2如圖甲，正方形被劃分成16個(gè) 全等的三角形，將其中若干個(gè)三角形涂黑，且滿足下列條件：涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；涂黑部分成軸對(duì)稱圖形。如圖乙是一種涂法，請(qǐng)?jiān)趫D13中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法（在所設(shè)計(jì)的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙）【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家

37、，試問(wèn)在何處飲水，所求路程最短？【變式題組】1（山西）設(shè)直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站向P、Q兩地供水現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案，圖中的實(shí)線表示輔設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（ ）2若點(diǎn)A、B是銳角MON內(nèi)兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贠M、ON上確定點(diǎn)C、點(diǎn)D，使四邊形ABCD周長(zhǎng)最小，寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點(diǎn)演練鞏固·反饋提高1（黃岡）如圖，ABC與ABC關(guān)于直線l對(duì)稱，且A78°，C48°，則B的度數(shù)是（ ）A48° B54° C74° D78°

38、2（泰州）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（ ）A正三角形 B正方形 C正五邊形 D正六邊形3圖1是四邊形紙片ABCD，其中B120°，D50°，若將其右下角向內(nèi)折出PCR，恰使CPAB，RCAD，如圖2所示，則C（ ）A80° B85° C95° D110°4如圖，陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的圖形又是關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的圖形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，3），則

39、點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是（ ）AM（1，3），N（1，3） BM（1，3），N（1，3） CM（1，3），N（1，3） DM（1，3），N（1，3）5點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，5），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A（3，5） B（5，3） C（3，5） D（5，3）06已知M（1a，2a2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)在第二象限，則a的取值范圍是（ ）A1a1 B1a1 Ca1 Da17如圖，鏡子中號(hào)碼的實(shí)際號(hào)碼是_8如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，則圖中陰影部分的面積為_cm2.9已知點(diǎn)A（2a3b，2）和B（8，3a2b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則ab_.10如圖，在ABC中，OE、O

40、F分別是AB、AC中垂線，且ABO20°，ABC45°，求BAC和ACB的度數(shù)11如圖，C、D、E、F是一個(gè)長(zhǎng)方形臺(tái)球桌的4個(gè)頂點(diǎn)，A、B是桌面上的兩個(gè)球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請(qǐng)畫出A球經(jīng)過(guò)的路線，并寫出作法12如圖，P為ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn)，PMBC于M，PNBA的延長(zhǎng)線于N求證：ANMC13（荊州）有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個(gè)正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個(gè) ，且使每個(gè)正方形圖案都是軸對(duì)稱圖形，在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖（畫出的兩個(gè)圖案不能全等）培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)

41、1（浙江競(jìng)賽試題）如圖，直線l1與直線l2相交，60°，點(diǎn)P在內(nèi)（不在l1l2上）小明用下面的方法作P的對(duì)稱點(diǎn)：先以l1為對(duì)稱軸作點(diǎn)P關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P1,再以l2為對(duì)稱軸作P1關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P2，然后再以l1為對(duì)稱軸作P2關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P3，以l2為對(duì)稱軸作P3關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P4，如此繼續(xù)，得到一系列P1、P2、P3Pn與P重合，則n的最小值是（ ）A5 B6 C7 D82（宜昌）已知：如圖，AF平分BAC，BCAF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，PB分別與線段CF、AF相交于P、M求證：ABCD；若BAC2MPC，請(qǐng)你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由3在ABC中，B

42、AC90°，點(diǎn)A關(guān)于BC邊的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)B關(guān)于AC邊的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)C關(guān)于AB邊的對(duì)稱點(diǎn)為C，若SABC1，求SABC4小王同學(xué)在小組數(shù)學(xué)活動(dòng)中，給本小組出了這樣一道“對(duì)稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線l，在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B，使線段AB長(zhǎng)a厘米，并關(guān)于直線l對(duì)稱，在圖中P1處有一粒跳棋子，P1距A點(diǎn)b厘米、與直線l的距離C厘米，按以下程序起跳：第1次，從P1點(diǎn)以A為對(duì)稱中心跳至P2點(diǎn)；第2次，從P2點(diǎn)以l為對(duì)稱軸跳至P3點(diǎn)；第3次，從P3點(diǎn)以B為對(duì)稱中心跳至P4點(diǎn)；第4次，從P4以l為對(duì)稱軸跳至P1點(diǎn)；畫出跳棋子這4次跳過(guò)的路徑并標(biāo)注出各點(diǎn)字母；（畫圖工具不限）

43、棋子按上述程序跳躍2011次后停下，假設(shè)a8，b6，c3，計(jì)算這時(shí)它與A的距離是多少？5.（孝感）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（4，1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p_時(shí)，PAB的周長(zhǎng)最短；若C（a，0），D（a3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a_時(shí) ，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短；設(shè)M、N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m_，n_（不必寫解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由第五講 等腰三角形考點(diǎn)·方法·破譯1等腰三角形及其性質(zhì)有兩條邊相等的三角形叫做

44、等腰三角形，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，因此它的性質(zhì)有：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（即等邊對(duì)等角）；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）2等腰三角形的判定證明一個(gè)三角形是等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個(gè)三角形有兩條邊相等；從角入手，證明一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，依據(jù)是等腰三角形判定定理；等角對(duì)等邊3構(gòu)造等腰三角形的常用方法角平分線平行線等腰三角形 角平分線垂線（或高）等腰三角形線段中垂線構(gòu)造等腰三角形 將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形經(jīng)典·考題·賞析【例】 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400，則這個(gè)等腰三角形的底

45、角為_.【變式題組】1（黃岡）在等腰ABC中，ABAC，一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（ ）A.7 B.11 C.7或11 D7或102.（黃岡）在ABC中，ABAC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500，則B_度3.（襄樊）在ABC中，ABAC12cm，BC6cm,D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BAC的方向運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，那么當(dāng)t_秒時(shí)，過(guò)D、P兩點(diǎn)的直線將ABC的周長(zhǎng)分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2倍【例】 如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D在AC上，ADBDBC，求A的度數(shù)【變式題組】1如圖，在ABC中，ABAC，BDBC,ADDEEB，求A的度數(shù)2如圖，在ABC中，ABAC，BCBD EDEA，求A的大小【例】 已知坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（2，2），B是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)若AOB是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)B一共有（ ）個(gè)A4 B5 C6 D8【變式題組】1(海南競(jìng)賽試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知A（3，3），點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，則使AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有（ ）A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，），點(diǎn)C