(完整版)隨機變量及其分布知識點整理

1、隨機變量及其分布知識點整理、離散型隨機變量的分布列般地，設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,，為，xn,X取每一個值xi(i 1,2, ,n)的概率P(X x) r ,則稱以下表格XXiX2XiXnPp1p2Ppn為隨機變量X的概率分布列，簡稱 X的分布列.離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質(zhì)：(1) Pi > 0,i 1,2, , n p1p2pn11 .兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1-pp則稱X服從兩點分布，并稱 p=P(X=1)為成功概率.2 .超幾何分布一般地，在含有 M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件 X k發(fā)生的概率為:k n kP(

2、X k) M_N M ,k 0,1,2,3,.,mCN則隨機變量X的概率分布列如下:X0imPCm Cn m cNC 1 C n 1CmCn mcNc m c n mCm Cn mcN其中 m min M , n，且n N, M N,n,M,N N。注：超幾何分布的模型是不放回抽樣二、條件概率般地，設(shè)A,B為兩個事件，且P(A) 0,稱P(B|A) P(AB)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條P(A)件概率.0W P(B| A)w 1如果 B和 C互斥，那么 P(BUC)|A P(B| A) P(C|A)三、相互獨立事件設(shè)A, B兩個事件，如果事件A是否發(fā)生對事件 B發(fā)生的概率沒有影響(即

3、P(AB) P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立。 即A、B相互獨立P(AB) P(A)P(B)般地，如果事件 Ai,A2,An兩兩相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即 P(A1A2.An) P(A)P(A2).P(An).注：(1)互斥事件：指同一次試驗中的兩個事件不可能同時發(fā)生；(2)相互獨立事件：指在不同試驗下的兩個事件互不影響.四、n次獨立重復試驗一般地，在相同條件下，重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗.在n次獨立重復試驗中，記 A是“第i次試驗的結(jié)果”，顯然，P(A4 An) P(A)P(A2) P(An)“相同條件下”等價于 各次試驗的結(jié)

4、果不會受其他試驗的影響注：獨立重復試驗?zāi)Ｐ蜐M足以下三方面特征第一：每次試驗是在同樣條件下進行；第二：各次試驗中的事件是相互獨立的；第三：每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生n次獨立重復試驗的公式： 一般地，在n»：獨立重復試驗中，設(shè)事件 A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件A發(fā)生的1率為p,那么在n次 獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X k) Ckpk(1 p)nk Ckpkqnk,k 0,1,2,., n.(其中 q 1 p),而稱 p 為成功概率.五、二項分布一般地，在n次獨立重復試驗中，用 X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則_

5、 k kn kP(X k) Cnp (1 p) , k 0,1,2, ,nX01knPC00 nCn p q八 11 n 1Cnp q八 k k n kCn p qxn n 0Cnp q此時稱隨機變量 X服從二項分布，記作 X B(n, p),并稱p為成功概率六、離散隨機變量的均值(數(shù)學期望)一般地，隨機變量 X的概率分布列為XX1X2XiXnPp1p2pipn則稱 E(X) X1Pl X2p2XpiXnpn為X的數(shù)學期望或均值，簡稱為期望 .它反映了離散型隨機變量取值的平均水平1.若Y aX b,其中a, b為常數(shù)，則丫也是變量YaX1 baX2 bax baXn bPp1p2pipn則 EY aE(X) b ,即 E(aX b) aE(X) b2 . 一般地，如果隨機變量 X服從兩點分布，那么E(X)=1 p 0 (1 p) p即若X服從兩點分布，則 E(X) p3 .若 X B(n, p),則 E(X) np七、離散型隨機變量取值的方差和標準差般地，若離散型隨機變量x的概率分布列為XXiX2XiXnPp1p2pipn則稱DX (Xi E(X)2Pi (X2 E(X)2P2(Xn E(X)2Pn為隨機變量 X的方差.并稱VD