分布擬合檢驗（共24）.PPT

1、 在實際問題中，有時不能預(yù)知總體服從什么類型的分布,則需要根據(jù)樣本來檢驗關(guān)于分布假設(shè).本講我們學(xué)習(xí)c c2 2檢驗法檢驗法 和和“ (一一)c c2 2檢驗法檢驗法 在總體分布為未知時,根據(jù)樣本x1, x2 ,xn來檢驗關(guān)于總體分布假設(shè) H0 : 總體x的分布函數(shù)為F(x), (1) H1 : 總體x的分布函數(shù)不是F(x), 若總體x為離散型, 則假設(shè)(1)相當(dāng)于 H0 : 總體x的分布律為Px=ti=pi , i=1, 2, (2)若總體x為連續(xù)型, 則假設(shè)(1)相當(dāng)于 H0 : 總體x的概率密度為f(x). (3) 在用c2檢驗法檢驗假設(shè)H0時,若在假設(shè)H0下F(x)的形式已知,但其參數(shù)值

2、未知,這時需要先用極大似然估計法估計參數(shù),然后再作檢驗. c c2 2檢驗法的思想: 將隨機試驗可能結(jié)果的全體 分為k個互不相容的事件A1,A2 ,Ak(Ai=, AiAj=. ,ij,i,j=1,2,k).于是在假設(shè)H0下,我們可以計算pi=P(Ai), i=1, 2, ,k. 在n次試驗中, 事件Ai出現(xiàn)的頻率 fi/n 與pi往往有差異, 但一般來說,若H0為真, 且試驗的次數(shù)又較多時, 則這種差異不應(yīng)很大.基于這種想法,皮爾遜使用kiiiinpnpf122)(c(4) )(122kiiiipnpnfc或作為檢驗假設(shè)的統(tǒng)計量, 并證明了以下定理 定理定理 若n充分大(n50)，則當(dāng)H0為

3、真時(不論H0中的分布屬什么分布),統(tǒng)計量總是近似地服從自由度為k- r- 1的c2分布。其中r是被估計參數(shù)的個數(shù)。 于是，在假設(shè)H0下計算(4)，有. c2 ca2 (k-r-1)，則在顯著性水平a下拒絕H0 ，否則接受H0。 使用時必須注意n要足夠大，以及npi不太小。n不小于50, 以及每個npi都不小于5，而且npi最好在5以上，否則應(yīng)適當(dāng)?shù)睾喜i，以滿足這個要求。kiiiinpnpf122)(c 例1 在一實驗中，每隔一定時間觀察一次由某種鈾所放射的到達(dá)計數(shù)器上的a粒子數(shù)，共觀察了100次，得結(jié)果如下表所示：其中fi是觀察到有i個a粒子的個數(shù)。從理論上考慮x應(yīng)服從泊松分布 i 0

4、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0 Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 問(6)式是否符合實際(a=0.05)？ 即在水平0.05下檢驗假設(shè) H0 ： 總體服從泊松分布, 2 , 1 , 0 ,!iieixPi 解 因在H0 中參數(shù) 未具體給出，所以先估計 .由極大似然估計法得 .可將試驗可能結(jié)果的全體分2 . 4 x為兩兩不相容的事件A0, A1 , , A11 , A12 ,則Px=i有估計, 2 , 1 , 0 ,!iieixPi(6)., 1 , 0

5、i ,!2 . 42 . 4ieixPpii,015. 002 . 40exPp,185. 0! 32 . 4332 . 43exPp例如.002. 011211012iipxPp例1 的c2檢驗計算表iiiiiiiiipnpnfpnfnppfA/)( 2 A0 1 0.015 1.5 -1.8 0.415 A1 5 0.063 6.3 A2 16 0.132 13.2 2.8 0.594 A6 9 0.114 11.4 -2.4 0.505 A7 9 0.069 6.9 2.1 0.639 A8 2 0.036 3.6 -0.5 0.0385 A12 0 0.002 0.2 6.2185得每

6、組均有的組予以適當(dāng)合并，使其中有些5 ipn計但因在計算概率時，估此處并組后, 8. 5kpni。的自由度為，故了一個參數(shù)61182c故在水因 ,281. 6592.12)6() 1(205. 02ccark平0.05下接受H0 。即認(rèn)為樣本來自泊松分布總體。也就是說認(rèn)為理論上的結(jié)論是符合實際的。 例2 自1995年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界記錄到里氏震級4級和4級以上地震計162次，統(tǒng)計如下0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40 50 31 26 17 10 8 6 6 8相繼兩次地震相隔天數(shù)x出現(xiàn)的天數(shù)試檢驗相繼

7、兩次地震的天數(shù)x服從指數(shù)分布(a0.05). 解 需檢驗假設(shè) H0 : x的概率密度為 .0 , 0, 0,1)(/xxexfx先由極大似然估計法求得的估計為.77.131622231 xx為連續(xù)型隨機變量，將0, )分為k=9個互不重疊的子區(qū)間ai ,ai+1), i=1, 2, , , 9。如表所列，取Ai=aixai+1, i=1, 2, , , 9。若H0為真，x的分布函數(shù)的估計為.0 , 0, 0,1)(77.13/xxexFx由上式可得概率pi =P(Ai)的估計).()()(11iiiiiiaFaFaxaPAPp5 .95 .4)( 22xPAPp例如.2196.0)5 .4()

8、5 .9(FF.0568.0)(1)( 8199iiAPAPp而結(jié)果列表如下例2 的c2檢驗計算表iiiiiiiiipnpnfpnfnppfA/)( 2A1: 0 x4.5 50 0.2788 45.1656 -4.844 0.5176A2: 4.5x9.5 31 0.2196 35.5752 4.5752 0.5884A3: 9.5x14.5 26 0.1527 24.7374 -1.2626 0.0644 . .A7:2 9.5x34.5 6 0.0358 5.7996 -0.2004 0.0069A8:34.5x39.5 6 0.0248 4.0176 A9: 39.5x0.5633,故

9、在水平0.05下接受H0，認(rèn)為x服從指數(shù)分布。 0.0461 7808. 0 例3 下面列出了84個伊特拉斯坎人男子的頭顱的最大寬度(mm), 試檢驗這些數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體(取a=0.1). 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 140 137 152 145 先作直方圖： 1. 把樣本值x1,x2, xn進行分組。 找出最小值,最大值分別為126，158。 取a,b, 得124.5, 159

10、.5,并7等分區(qū)間，小區(qū)間長度=(b-a)/m=5, 稱為組距，小區(qū)間端點稱為組限。 用唱票方法，數(shù)出樣本值落在每個區(qū)間(ti , ti+1)中的頻數(shù)，記為fi 。1)(iittdxxf 2. 計算 ri= fi /n , (n=84,I=1, 2, , 7 ).詳見下頁表。由于n個樣本獨立， 則ri近似于樣本落入?yún)^(qū)間(ti , ti+1)的概率。即 riPti xiti+1 i=0, 1, 2, ,m.問題是如何去估計f (x).組限 頻數(shù)fi 頻率 fi/n 積累頻率124.5129.5 1 0.0119 0.0119129.5134.5 4 0.0476 0.0595134.5139.5

11、 10 0.1191 0.1786139.5144.5 33 0.3929 0.5715144.5149.5 24 0.2857 0.8572149.5154.5 9 0.1071 0.9524154.5159.5 3 0.0357 1 3. 在xoy平面上，從左自右依次做以(fi/n)/為高的小矩形，即得直方圖。 易見，這種小矩形的面積等于數(shù)據(jù)落在該小區(qū)間的頻率fi/n.因頻率近似于概率, 因而一般來說每一個小區(qū)間上的小矩形面積接近于概率密度曲線之下該小區(qū)間上的曲邊梯形的面積，故直方圖的外廓曲線接近于總體x的概率密度曲線f(x). 從本例看，單峰對稱，近似正態(tài)總體。 作c2檢驗如下，檢驗假設(shè)

12、： H0 : x的概率密度為. , 21)(222)(xexfx個分為由極大似然估計法得7 .0 .6, 8 .14322x的概率密度的估計為為真若如下表取小區(qū)間xHAi, . .0 , 621)(2262)8.143(xexf按上式查標(biāo)準(zhǔn)分布表可得p(Ai)的估計. 如5 .1345 .129)(22xPAPp)65 .1435 .129()68 .1435 .134()38. 2()55. 1(例3的c2檢驗計算表iiiiiiiiipnpnfpnfnppfA/)( 2A1: x129.5 1 0.0087 0.73 A2:129.5x134.5 4 0.0519 4.36 A3:134.5

13、x139.5 10 0.1752 14.72 -4.72 1.51A4:139.5x144.5 33 0.3120 26.21 6.79 1.76A5:145.5x149.5 24 0.2811 23.61 0.39 0.01 A6:149.5x154.5 9 0.1336 11.22 A7:154.5x 3 0.0375 3.15 3.67.0519. 0 0.00 09. 0 0.39 37. 2) 1(21 . 0rkc因故在水平0.1下接受H0 ,即認(rèn)為數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布總體.隨機變量的偏度、峰度指的是x的標(biāo)準(zhǔn)化變量)()(xDxEx 的 三階中心矩和四階中心矩)()(31xDxExEv

14、)()(42xDxExEv) 125(21 . 0c605. 4)2(21 . 0c,67. 3,)()(2/33xDxExE,)()(24xDxExE當(dāng)隨機變量x服從正態(tài)分布時, v1 = 0 且 v2 = 3.設(shè)x1, x2 , xn是來自總體x的樣本,則v1 ,v2的 矩估計分別為./ ,/22422/3231BBgBBg其中Bk(k=2, 3, 4)是樣本k階中心矩, 分別稱g1, g2為樣本偏度和樣本峰度。 若總體x為正態(tài)變量，則可證當(dāng)n充分大時，近似地有),)3)(1()2(6 , 0(1nnnNg).)5)(3() 1()3)(2(24,163(22nnnnnnnNg 設(shè)x1,

15、x2 , xn是來自總體x的樣本, 現(xiàn)在來檢驗假設(shè) H0：x為正態(tài)總體. , )3)(1()2(61nnn記, )5)(3() 1()3)(2(2422nnnnnn./ )( ,/ ,16322221112gugun 當(dāng)H0為真且n充分大時，近似地有 u1 N(0, 1), u2 N(0, 1).由第六章知樣本偏度g1、g2分別依概率收斂于總體偏度v1和總體峰度v2. 因此當(dāng)H0為真且n充分大時,一般來說, g1與v1=0的偏度不應(yīng)太大，而g2與v2=3的偏離不應(yīng)太大. 故從直觀來看當(dāng)|u1|或|u2|過大時就拒絕H0. 取顯著水平為a, H0的拒絕域為 |u1|k1 或 |u2|k2 ,其中

16、k1, k2由下式確定.2|; 2|221100aakuPkuPHH即有 k1=Za/4，k2=Za/4 .于是拒絕域為 |u1|Za/4 或 |u2|Za/4 下面驗證當(dāng)n充分大時，上述檢驗近似滿足顯著性水平a的要求。 事實上，n充分大時有 |00為真拒絕HHP.22|4/24/100aaaaazuPzuPHH)|(|)|4/24/10aazuzuPH 例4 試用偏度、峰度檢驗法檢驗例3中的數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體(取a=0.1). 檢驗假設(shè) H0：數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體. .4892. 0) 5)(3() 1() 3)(2(2422nnnnnn,2579. 0) 3)(1() 1( 61nnn=0.1, n=84, 2=3-6/(n+1)=2.27294,階中心矩計算得為由kxnAnikik11.3840 , 5 .28 ,22