多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、科學(xué)出版社第四節(jié)一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第八八章 科學(xué)出版社一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則ddddddyyuxuxxxufuufyd)()(d)(d微分法則科學(xué)出版社)(),(ttfz定理定理1. ,)(, )(可導(dǎo)在點(diǎn)ttvtu),(vufz 在對應(yīng)點(diǎn)（u, v）可微, 在點(diǎn) t 可導(dǎo), ddddddzfufvtutvtz則復(fù)合函數(shù)證證:ffzuvuv )()(22vu)(o則相應(yīng)中間變量且有鏈法則（見右邊的樹圖）vutt有增量u ,v , 由于 f 可微，所以上式兩端同時(shí)除

2、以t ，得到一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t若函數(shù)設(shè) t 為t 的增量,科學(xué)出版社,0t令,0,0vu則有to)(導(dǎo)數(shù)，zfufvtutvtto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時(shí),根式前加“”號)tvtvtutudd,ddddddddzfufvtutvtddddddzzuzvtutvt為了與偏導(dǎo)數(shù)區(qū)別, 稱為全全導(dǎo)數(shù)還可以寫成:科學(xué)出版社若定理中 注注: ),(),(vuvuf在點(diǎn)如如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但不可微（驗(yàn)證），此時(shí)復(fù)合函數(shù)),(ttfz 21ddtztvvztuu

3、zdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz可微減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu則定理結(jié)論不一定成立.科學(xué)出版社推廣推廣:1) 中間變量多于兩個(gè)的情形. , ),(wvufz 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzddzvuyxtuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu例如,yx定理定理2. 設(shè)( , )zf u v在對應(yīng)點(diǎn)可微xzyzxuuzxvvzyuuzyvvz( , )vx y( , )ux y，則zwvuttt偏導(dǎo)數(shù)都存在，科學(xué)出版社例例1. 設(shè) 243zx yxy，其中 e ,sintxyt，求 d.dzt解解:ddd

4、dzzxtxt4(23)etxyy4(2e sin3sin)etttt23(12)cosxxyt23(e12e sin)costttt代入解法二，所以 ddzt24e sin3e sinttztt，先代入，變成一元函數(shù)的求導(dǎo).因?yàn)?3e sin12e sin costtttt222e sine costtttddzyyt解法一，科學(xué)出版社例例2. ,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx設(shè)科學(xué)出版社例例3

5、. 22()xyzxy的偏導(dǎo)數(shù). 解解:有了多元函數(shù)的鏈法則，就不需要用對數(shù)求導(dǎo)法了. 22()xyzxy由 vzu，22uxy和vxy復(fù)合而成， 于是 12vvuxzzuz vxuxv x lnvuu y222222()ln()xyx yxyyxy同理可得12lnvvzvuyuu xy22222222()ln()xyxyxxyxy22xy求這是一個(gè)冪指函數(shù)，科學(xué)出版社例例4. 設(shè) ,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù),etu ,costv 解解:tusintcos注意：驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到, 下列幾個(gè)例題有

6、助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.求導(dǎo)口訣求導(dǎo)口訣 :分段用乘, 分叉用加. 多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與科學(xué)出版社,zf x y，( , )xs t，( )yt求復(fù)合函數(shù) ( ( , ),( )zfs tt的偏導(dǎo)數(shù). 例例5. 都具備可微條件， zxyts t解解:,zz xsx s zz xtxt 注：ddzyyt有時(shí)會出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)的某些中間變量本身又是復(fù)合函數(shù)的自變量的情況，這時(shí)要注意防止記號的混淆. 如左圖，有在應(yīng)用鏈法則時(shí)，設(shè)科學(xué)出版社如,( , ),( , )zf x yyx t當(dāng)它們都具有可微條件時(shí), 有zxztfz xxt注意注意: 這里xzxfxz表示 復(fù)

7、合函數(shù)f ( x, ( x, t ) )固定 t 對 x 求導(dǎo)xf表示f ( x, y )固定 y 對 x 求導(dǎo)fxfyyxfyyt與不同,y科學(xué)出版社例例6. 設(shè) ( , , ),( , ),( , ),uf x y zyx t tx z都有一階求 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，.uuxz和解解:( , ( ,( , ), )uf xxx zzuxyztxzxufxxfyx fytx ufzzfytz 代入中間變量，得到復(fù)合函數(shù)科學(xué)出版社為簡便起見 , 引入記號2112,ffffuu v 1(,)fxyz xyz例例7. f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvz

8、yxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11f2fyz2(,)yz fxyz xyz則zxw2111f21112222()fy xz fxy z fy f12fxy2y f zy211f22fxy12,ff 設(shè)科學(xué)出版社二、一階全微分形式不變性二、一階全微分形式不變性設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性

9、質(zhì)叫做一階全微分形式不變性.科學(xué)出版社利用這個(gè)性質(zhì)，容易證明，無論 u, v 是自變量還是中間變量，d()dduvuvd()dduvv uu v2ddduv uu vvv用鏈法則求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，和中間變量. 有了一階全微分形式不變性，考慮這種區(qū)別，使計(jì)算變得方便。 可以不再首先要分清自變量都有下面的微分法則：科學(xué)出版社221()xyxy xy例例 8.的全微分和偏導(dǎo)數(shù). 解解:22()uxydddzzzuvuv22222222() (ln()xyzx yxyyxyxxy22222222() (ln()xyzxyxyxxyyxyvxy1dln dvvvuuuu v222222() ()dxyx yxyxxy求22()xyzxy則vzu2222() ln()xyxyxy22222222() (ln()dyxyxyxyxxyxy所以(2 d2 d )x xy y( dd )y xx y22ln()yxy設(shè)科學(xué)出版社例例 9.都可微, 求d z.解解:ddddfffuxyzxyz.設(shè)( , , ),( , ),( , )uf x y zyx ttx zddffxzxzdddffffxxzxyxytzdfffxxyxytx ddfxtyxtddxzxzdffz