繪制根軌跡的一般規(guī)則

1、第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 純粹用試驗點的辦法手工作圖，工作量純粹用試驗點的辦法手工作圖，工作量是十分巨大的，而且對全貌的把握也很困難，是十分巨大的，而且對全貌的把握也很困難，于是人們研究根軌跡圖的基本規(guī)則，以便使于是人們研究根軌跡圖的基本規(guī)則，以便使根軌跡繪圖更快更準。概括起來，根軌跡繪圖更快更準。概括起來， 以開環(huán)以開環(huán)增益增益K為參變量的根軌跡圖主要有下列基本為參變量的根軌跡圖主要有下列基本規(guī)則：規(guī)則： 第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 如果以系統(tǒng)的其他參量為參變量時，經(jīng)如果以系統(tǒng)的其他參量為參變量時，經(jīng)過適當變換，以下規(guī)則仍能適用。過適當變換，以下規(guī)則仍能適用。一一.（規(guī)則（規(guī)則1）根軌

2、跡分支數(shù)）根軌跡分支數(shù) 根軌跡在根軌跡在s平面的分支數(shù)等于閉環(huán)特征平面的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)方程的階數(shù)n，也就是總分支數(shù)等于開環(huán)傳，也就是總分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù)。遞函數(shù)的極點數(shù)。0)()(11imijnjzskps第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 根軌跡的每一條分支表示當根軌跡的每一條分支表示當k 變化時，閉變化時，閉環(huán)極點在環(huán)極點在s平面的運動軌跡，所以有幾個閉環(huán)平面的運動軌跡，所以有幾個閉環(huán)極點就應(yīng)有幾條分支。當極點就應(yīng)有幾條分支。當n m時，特征方程時，特征方程的階次等于開環(huán)極點數(shù)的階次等于開環(huán)極點數(shù)n，而，而n階特征方程就階特征方程就對應(yīng)有對應(yīng)有n個特征根或個特征根或n個

3、閉環(huán)極點，所以其根個閉環(huán)極點，所以其根軌跡的分支數(shù)就等于開環(huán)極點數(shù)軌跡的分支數(shù)就等于開環(huán)極點數(shù)n。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則二二.（規(guī)則（規(guī)則2）根軌跡對稱性）根軌跡對稱性,連續(xù)性連續(xù)性 根軌跡各分支對稱于實軸。因為閉環(huán)系根軌跡各分支對稱于實軸。因為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式的系數(shù)都是實數(shù)，故特征方統(tǒng)的特征方程式的系數(shù)都是實數(shù)，故特征方程式的根只能是實數(shù)或復(fù)數(shù)。實數(shù)必位于實程式的根只能是實數(shù)或復(fù)數(shù)。實數(shù)必位于實軸上，復(fù)數(shù)則一定共軛成對出現(xiàn)，所以當軸上，復(fù)數(shù)則一定共軛成對出現(xiàn)，所以當k從從0到無窮變化時，根軌跡必對稱于實軸，到無窮變化時，根軌跡必對稱于實軸，且連續(xù)變化。因此一般繪制根軌跡的一半即且連

4、續(xù)變化。因此一般繪制根軌跡的一半即可?？?。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 三（規(guī)則三（規(guī)則3）根軌跡的起點和終點）根軌跡的起點和終點 根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。如果如果nm ，則有（，則有（n-m）條根軌跡終止于無）條根軌跡終止于無窮遠處。窮遠處。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則般情況下，為系統(tǒng)的開環(huán)零點。一，使等式成立，必有時是根軌跡的終點，為當幾個開環(huán)極點。故根軌跡起始于系統(tǒng)的為系統(tǒng)的開環(huán)極點，。而必有使等式成立，時是根軌跡的起點，為當證明：iijjnjjmiizmizskpnjpskkpszs2 , 12 , 10111第三節(jié) 繪制根軌跡的一般

5、規(guī)則叫無限零點。處，把無窮遠處的零點條根軌跡終止于無窮遠其余時方程左邊，當時，方程右邊趨近于零根軌跡，又因當）條個有限零點，還剩下（條根軌跡終止于條根軌跡中個有限零點，所以階系統(tǒng)只有，mnssspszsskmnmmnmnmnmnsnmsnjjmii01limlimlim11第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 TTTTsssksssKsTssKTsssKsGTTsssKsG111111110,11寫成：解：將開環(huán)傳遞函數(shù)改及起點、終點。數(shù)試確定根軌跡的的分支系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例：已知單位反饋控制第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則處。，另一條終止于無窮遠軌跡終止于，其中一條根，根軌跡起始于開環(huán)極點開環(huán)零點，

6、開環(huán)極點，故根軌跡分支數(shù)為分母多項式的最高階次110, 1, 211022121TmnzTppn第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則四四.（規(guī)則（規(guī)則4）實軸上的根軌跡）實軸上的根軌跡 實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。 s平面上有四個開環(huán)極點，平面上有四個開環(huán)極點，p1、p2、p3、 p4和三個和三個開環(huán)零點開環(huán)零點z1、 z2 、 z3的的 一種情況，其中一種情況，其中p2、p3是一是一對共軛極點，對共軛極點， p3、 z1、 p4 、z2 、z3分別是實數(shù)極點分別是實數(shù)極點和零點。和零點。 為在實軸上確定屬于根

7、軌跡的線段，首先在實軸極為在實軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在實軸極點點p4 和實軸零點和實軸零點z2 之間任選一個實驗點之間任選一個實驗點s0。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 點和零點。取決于實軸上的開環(huán)極實軸上的根軌跡僅沒有影響對實軸上根軌跡的位置復(fù)數(shù)極點和零點即開環(huán)傳遞函數(shù)的共軛相角條件的所規(guī)定的存在并不影響說明或的相角之和為到開環(huán)共軛極點.,18012,:3600,111323121132njjmiihpszspppspsspp第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 極點。慮它左側(cè)的實數(shù)零點、必考軸上根軌跡時，可以不極點。因此，在繪制實點左側(cè)的開環(huán)實數(shù)于這一判斷同樣適用于位件的所規(guī)定的相角條的存在

8、并不影響，這說明左側(cè)實數(shù)零點的左方，則向量位于如果實數(shù)開環(huán)零點1113113,1801202shpszszssznjjmii第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 奇數(shù)。零、極點個數(shù)之和應(yīng)為數(shù)區(qū)段的右側(cè)，其開環(huán)實因此，實軸上的根軌跡角。，即奇數(shù)個相角的總和應(yīng)為向量的與開環(huán)零、極點構(gòu)成的根據(jù)相角條件，根軌跡，則向量的右方，位于，開環(huán)極點如果實數(shù)開環(huán)零點12,31121111121hpszszsspzz第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則五（規(guī)則5）根軌跡的分離點和會合點這是一個某系統(tǒng)的根軌跡圖。由開環(huán)極點p1， p2出發(fā)的兩條根軌跡，隨K的增大在實軸上a點相遇后，即 分離進入復(fù)平面。隨著k的繼續(xù)增大，兩條根軌跡又

9、在實軸上的b點相遇 并分別沿實軸的右左兩方運動，最終一條終止于開環(huán)零點，另一條終止于無窮遠處。bap2p1z1第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 根軌跡與實軸有兩個交點根軌跡與實軸有兩個交點a和和b，分別稱為根，分別稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。軌跡在實軸上的分離點和會合點。1.實軸上分離點和會合點的判別實軸上分離點和會合點的判別（1）若實軸上相鄰開環(huán)極點之間是根軌跡，則相）若實軸上相鄰開環(huán)極點之間是根軌跡，則相鄰開環(huán)極點之間必有分離點。鄰開環(huán)極點之間必有分離點。（2）若實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮）若實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮大零點）之間是根軌跡，則相鄰開環(huán)零點之間大零點）

10、之間是根軌跡，則相鄰開環(huán)零點之間必有會合點。必有會合點。（3）如果實軸上的根軌跡在開環(huán)零點和開環(huán)極點）如果實軸上的根軌跡在開環(huán)零點和開環(huán)極點之間，則它們中若有分離點、會合點，則一定之間，則它們中若有分離點、會合點，則一定成對出現(xiàn)，即有一個分離點一定會有一個會合成對出現(xiàn)，即有一個分離點一定會有一個會合點，也可能既無分離點也無會合點。點，也可能既無分離點也無會合點。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則2.分離點和會合點的計算。介紹按重根法求分離點分離點和會合點的計算。介紹按重根法求分離點和會合點的方法。和會合點的方法。 無論分離點還是會合點，都表示特征方程式在該無論分離點還是會合點，都表示特征方程式在該點

11、出現(xiàn)重根，只要找到這些重根就可以確定分離點出現(xiàn)重根，只要找到這些重根就可以確定分離點和會合點的位置。點和會合點的位置。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 0011. 010011skNsDsDskNsDsDsNksHsGsDsNksHsGsHsGxfxxf即為求其重根，令，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，則必然同時滿足具有重根若代數(shù)方程第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 求導(dǎo)，對特征方程便于記憶，這個方程怕記混淆，為跡的分離點和會合點。顯然解方程可求出根軌必須滿足征方程有兩個重實根，根據(jù)代數(shù)定理，如果特0110000sHsGdssHsdGsDsNsDsNsDsNksDskN第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 式計算簡單。，因

12、此用的階次高于22011010122sNsDsNsDdsdsNsDkdsdsHsGdsdsDskNsHsGsHsGsHsGdsdsHsGdsdsDsDsNsDsNkdssHsGddssHsGd第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 026323211212578. 1422. 00263023263211212232122232sssssdsdsssdsdsNsDdsdsNssssDsssssssssssskdsdsHsGdsdsssksHsG式求用式求解：用分離點。試求根軌跡在實軸上的傳遞函數(shù)例：已知控制系統(tǒng)開環(huán)第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 注意：注意：1、判斷哪一個是分離點，根據(jù)我們前面介紹判斷哪一

13、個是分離點，根據(jù)我們前面介紹方法，若相鄰開環(huán)極點之間是根軌跡，則相方法，若相鄰開環(huán)極點之間是根軌跡，則相鄰開環(huán)極點之間必有分離點。鄰開環(huán)極點之間必有分離點。S1是分離點，是分離點， S2 不在根軌跡上，不是分離點。不在根軌跡上，不是分離點。2、必須驗證是否在根軌跡上、必須驗證是否在根軌跡上六（規(guī)則六（規(guī)則6）根軌跡的漸近線）根軌跡的漸近線 當當nm時，有時，有n-m條根軌跡隨著條根軌跡隨著k的增大的增大而趨向無窮，這些趨向無窮遠處的根軌跡，而趨向無窮，這些趨向無窮遠處的根軌跡，將隨著將隨著k的無限增大而接近于的無限增大而接近于n-m條直線，條直線，這些直線稱為根軌跡的漸近線。漸近線的位這些直線

14、稱為根軌跡的漸近線。漸近線的位置由以下兩個參數(shù)確定，即漸近線傾角和漸置由以下兩個參數(shù)確定，即漸近線傾角和漸近線與實軸的交點。近線與實軸的交點。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 分代入即可。的極點，零點的實數(shù)部式計算時，只需把必須為實數(shù)。用互相抵消，所以的虛部可以實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。它們由于極點和零點必須為漸近線與實軸的交點條。故獨立漸近線只有現(xiàn)，增大時，傾角值重復(fù)出時，漸近線傾角最小，當漸近線傾角sHsGmnzzzpppmnhhhmnhamnaaaa11. 20, 2, 1, 012. 12121第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則0jw62ckj62ckj-2-1 條漸近線有解：面上的位置。平試確定根軌跡漸

15、近線在傳遞函數(shù)為環(huán)例：已知控制系統(tǒng)的開3. 2, 1, 00, 3,21321mnpppmnssssksHsG第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則30018012221803180318012160318018002, 1, 031212132102212121mnhmnhmnhhhmnhmnzzzpppamna時，時，時，漸近線與實傾角漸近線與實軸交點第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則七.（規(guī)則7）根軌跡的起始角和終止角o當開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點或零點時，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點或進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題, 先給出定義如下： 起始角 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處在切線

16、方向與實軸正方向的夾角。參看圖4-8（a）中的 和 。 終止角 根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。參看圖4-8（b）中的 和 。1p2p1z2z第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則j3P2P1P0s1p2p第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則js1z2z1p2p1z2z0第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 根軌跡起始角：起始于開環(huán)極點的根軌跡在起始點處的切線和水平線正方向的夾角。 根軌跡終止角：終止于開環(huán)零點的根軌跡在終點處的切線與水平線正方向的夾角。1ps1p1z1p221pp 31pp p311zpjw第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則njjmiinjjmiipzzzhzppzphpppppzph

17、pppspspshpspspszsssp112112111131211111111111312111111111212,12.,12.,跡終止角公式計算開環(huán)零點處的根軌計算起始角的公式一般情況下故即為起始角這時的向量引向極點各開環(huán)零的向量就變成了極點引向則各開環(huán)零點時無限靠近當根據(jù)相角條件即是根軌跡上的點取點靠近起點在圖所示的根軌跡上第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 根軌跡起始角和終止角取條漸近線有為根軌跡段，）和，實軸上（開環(huán)零點：解：開環(huán)極點試繪制系統(tǒng)的根軌跡。開環(huán)傳遞函數(shù)例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的)3(2225 . 15 . 25 . 05 . 00340,1803412121)2(5 . 25

18、. 10) 1 (2, 5 . 1, 5 . 2, 5 . 15 . 0, 05 . 15 . 05 . 15 . 05 . 2225 . 131413,2143,21iijjaazphhmnhjzzpjppjsjsssjsjssksGnjjmiinjjmiipzzzhzppzphp11211211111212,跡終止角公式計算開環(huán)零點處的根軌計算起始角的公式一般情況下第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則05 .1495 .32912901175 .631211991531212790791011237905 .10859195 .56121232124122342123122hhhzzpzhzphh

19、hppzphpiiijjjjjii由根軌跡對稱性，第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則八.（規(guī)則8）根軌跡與虛軸交點 .,010101101, 1.,:,1值增益還可以求出對應(yīng)的臨界的坐標得到根軌跡與虛軸交點解出或?qū)懗傻玫酱腴]環(huán)特征方程中將與虛軸的交點有兩種方法求出根軌跡狀態(tài)此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定特征方程含有純虛根即閉環(huán)點閉環(huán)系統(tǒng)有共軛虛數(shù)極表明根軌跡與虛軸相交kwjwHjwGjIjwHjwGRjwHjwGjIjwHjwGRjwHjwGjwsjwsmeme第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 jkkwkkwwwwkkjwwjwkjwjwjwjwsksssksssksssksHsGc26626,20203023

20、023023211,21. 233232323，交點為時，根軌跡與虛軸相交所以當，為故根軌跡與虛軸的交點代入令閉環(huán)特征方程為：）由開環(huán)傳遞函數(shù)可得解：（。臨界增益與虛軸的交點及對應(yīng)的求根軌跡遞函數(shù)例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳利用勞斯表求第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則為虛軸的交點。即，行的輔助方程求得，根據(jù)根軌跡與虛軸的交點可，令特征方程式）利用勞斯表求（jssskkkkkkkkkskkkskssksss20636036363636036336363321321023222012323第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則九.（規(guī)則9）根之和 011101112121111011101110111011111, 0

21、asasasbsbsbskpspspszszszskpszsksHsGAsAssssAsAsAsbsbsbskasasaszskpsmnnnnmmmnmnjjmiinjjnnjjjnjjnnnmmmnnnmiinjj，的關(guān)系有根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)閉環(huán)特征根。的情況下，可以表示為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在njjnjjnnjjnjjmmmnnnnnjjnjjnnnpsasmnssbsbsbskasasasaPpsasasas所以：時，當閉環(huán)特征方程開環(huán)特征方程11011101111101112)(00第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則的大致形狀。一點有助于確定根軌跡之和保持不變，明確這閉環(huán)極點根軌跡向右移動，

22、以便左方移動，必有另一些變化時，一些根軌跡向，隨著表明：在繪制根軌跡時值無關(guān)。是與常數(shù)，下，閉環(huán)特征根之和為在開環(huán)極點確定的情況kk第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 001011101111011110111101110111011121211100kbAsbsbsbsksasasassasasassasasasbsbsbsasasassbsbsbspspspsszszszskpsszsksHsGnjjmmmrrnrnnrrnrnnrrnrnnmmmrnrnrnrmmmrnrmrnjjrmii閉環(huán)特征方程開環(huán)特征方程上的積分環(huán)節(jié)也就是說開環(huán)有一個以當開環(huán)有零值極點時，miimnjjnnjjnjjm

23、imiimmimnjnjjnnjnimijnjzkpssszszskpspszskpssD111111111111) 1() 1()()(0) 1() 1()()()(n個閉環(huán)極點之積為個閉環(huán)極點之積為第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 6322133223332102, 0, 0,2,21321003210121332132111021jjssskbbkssskbsjjssssssppppskjssssksHsGccnjjnjjnjj，由于閉環(huán)第三個特征根為閉環(huán)特征根之和為解：由式極點。值及對應(yīng)的第三個閉環(huán)，求交點處的臨界交點為根軌跡與虛軸函數(shù)例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞，第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 開

24、環(huán)無零點。，開環(huán)有四個極點式成繪制根軌跡的標準形解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫試繪制系統(tǒng)的根軌跡。，函數(shù)例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞，42200,4004242202042040005. 0105. 02 . 005. 0105. 005. 012 . 005. 0105. 012 . 005. 0105. 043212222jpppkkjsjssskssssksssskssssksHsGssssksHsG第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 下面按繪制根軌跡的規(guī)則求根軌跡的有關(guān)參數(shù) (1)開環(huán)傳遞函數(shù)有四個極點n=4，故有4 條根軌跡。 （2確定實軸上的根軌跡，在實軸上，（0-20）之間的根軌跡 （3）根軌跡起點 四

25、個開環(huán)極點 根軌跡終點：四條根軌跡終止于無窮遠處。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 45, 4135, 2135, 145, 018041212644242200515040020072440010024141123234aaaaanjmiijahhhhhmnhjjmnzpssssssssdsdsMsNdsdsHsGdsd根軌跡的漸近線試探法求解出根軌跡分離點第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 39039905 .125 .1161212126443231313133343phhpppppphppzphppminjjji根據(jù)對稱性規(guī)則，處的根軌跡起始角極點，需求因開環(huán)有一對共軛復(fù)數(shù)根軌跡起始角，第三節(jié)

26、繪制根軌跡的一般規(guī)則 47. 313911 . 402440001000244001000400100244000400100247324324234234KkwwwkwwwwjkwwkjwjwjwjwjwsKkkssss代入方程中，令其中系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程根軌跡與虛軸的交點第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則2s2s)2s (K) s (H) s (G2r已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解 這是一個二階系統(tǒng)，在S平面上有兩條連續(xù)且對稱于實軸的根軌跡。 由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個開環(huán)實零點 和一對開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極 ,因此，根軌跡的起點為 和 ，其終點為 和無窮遠點 。 由規(guī)則五知

27、，實軸上由-2至-的線段為實軸上的根軌跡。 由規(guī)則六，可求出根軌跡與實軸的交點（分離點）。分離點方程是2z11 j1p2,1)0K(pr1)0K(pr2)K(zr1)K(r02s2s2sdsds2即 解方程可得 不在實軸上的根軌跡上，舍去 ，實際的分離點為 。0242414. 31586. 02586. 0212由規(guī)則七，可求出開環(huán)復(fù)數(shù)極點（根軌跡的起點）的出射角。它們是1p1359045180)pp()zp(180211113512ppjs0-1-2-3)0(1rKP1p)0(2rKP2p414. 311-4rK1-1)(1rKZo由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個開環(huán)極點（實極點或復(fù)數(shù)極點）和一個開環(huán)

28、實零點組成的二階系統(tǒng)，只要實零點沒有位于兩個實極點之間，當開環(huán)根軌跡增益 由零變到無窮大時，復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實零點為圓心，以實零點到分離點的距離為半徑的一個圓（當開環(huán)極點為兩個實極點時）或圓的一部分（當開環(huán)極點為一對共軛復(fù)數(shù)極點時）。4-3 廣義根軌跡的繪制 前面討論系統(tǒng)根軌跡的繪制方法時，是以根軌前面討論系統(tǒng)根軌跡的繪制方法時，是以根軌跡增益跡增益k（或開環(huán)增益（或開環(huán)增益K）為可變參量，這是在實際）為可變參量，這是在實際中最常見的情況。通常將上述以根軌跡增益中最常見的情況。通常將上述以根軌跡增益k為可變?yōu)榭勺儏⒘康母壽E稱為常規(guī)根軌跡。而在實際控制系統(tǒng)參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。而在實際控制系統(tǒng)中，有時需要研究根軌跡增益中，有時需要研究根軌跡增益 k以外的其它參數(shù)，以外的其它參數(shù)，如開環(huán)零點、開環(huán)極點、時間常數(shù)和反饋系數(shù)等對如開環(huán)零點、開環(huán)極點、時間常數(shù)和反饋系數(shù)等對系統(tǒng)性能的影響，這時可繪制以其它參數(shù)為可變參系統(tǒng)性能的影響，這時可繪制以其它參數(shù)為可變參數(shù)的根軌跡，稱為參數(shù)根軌跡，或廣義根軌跡。數(shù)