小學思維數(shù)學講義：計數(shù)之對應法-帶答案解析

1、計數(shù)之對應法教學目標前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時已經穿插講解了計數(shù)中的一些常用的方法，比如枚舉法、樹 形圖法、標數(shù)法、捆綁法、排除法、插板法等等，這里再集中學習一下計數(shù)中其他常見的方法，主要有歸納 法、整體法、對應法、遞推法.對這些計數(shù)方法與技巧要做到靈活運用.例題精講將難以計數(shù)的數(shù)量與某種可計量的事物聯(lián)系起來，只要能建立一一對應的關系，那么這兩種事物在數(shù)量 上是相同的.事實上插入法和插板法都是對應法的一種表現(xiàn)形式.模塊一、圖形中的對應關系,一共有多少種不同的方法?例1 在8X8的方格棋盤中，取出一個由三個小方格組成的L”形（如圖）【考點】計數(shù)之圖形中的對應關系【難度】3星【題型】解

2、答10【解析】注意：數(shù) 不規(guī)則幾何圖形”的個數(shù)時，常用對應法.A點，它是棋盤上橫線與豎線的4個不同的取法（L”形的角第1步：找對應圖形 每一種取法，有一個點與之對應，這就是圖中的 交點，且不在棋盤邊上.第2步：明確對應關系從下圖可以看出，棋盤內的每一個點對應著在2X2正方形的不同 角”上）.第3步：計算對應圖形個數(shù)由于在8X8的棋盤上，內部有 7X7=49 （個）交叉點，第4步：按照對應關系，給出答案故不同的取法共有49X4=196 （種）.評注:通過上面兩個范例我們知道，當直接去求一個集合元素的個數(shù)較為困難的時候，可考慮采用相等的原則，把問題轉化成求另一個集合的元素個數(shù).【答案】196【例2

3、】 在8X8的黑白相間染色的國際象棋棋盤中，以網(wǎng)格線為邊的、恰包含兩個白色小方格與一個黑色小方格的長方形共有多少個?【考點】計數(shù)之圖形中的對應關系【解析】首先可以知道題中所講的1父3長方形中間的那個小主格為黑色，這是因為兩個白格不相鄰，所以不能在中間.顯然，位于棋盤角上的黑色方格不可能被包含在這樣的長方形中.下面分兩種情況來分析：第一種情況，一個位于棋盤內部的黑色方格對應著兩個這樣的1父3長方形（一橫一豎）；第二種情況，位于邊上的黑色方格只能對應一個儼3長方形.由于在棋盤上的 32個黑色方格中，位于棋盤內部的18個，位于邊上的有12個，位于角上的有 2個，所以共有18x2+12 = 48個這樣

4、的長方形.本 題也可以這樣來考慮：事實上，每一行都有6個1父3長方形，所以棋盤上橫、豎共有1x3長方形6 88 22 =96個.由于棋盤上的染色具有對稱性，因此包含兩個白色小方格與一個黑色小方格的長方 形正好與包含兩個黑色小方格與一個白色小方格的長方形具有一一對應關系，這說明它們各占一半，因此所求的長方形個數(shù)為 96+2 = 48個.【答案】48【鞏固】 用一張如圖所示的紙片蓋住【考點】計數(shù)之圖形中的對應關系【難度】3星【題型】解答6M6方格表中的四個小方格，共有多少種不同的放置方法?【解析】如圖，將紙片中的一個特殊方格染為黑色，下面考慮此格在6M6方格表中的位置.易見它不能位于四個角上；若黑

5、格位于方格表中間如圖淺色陰影所示的4X4正方形內的某格時，紙片有 4種不同的放法，共計4父4父4=64種；若黑格位于方格表邊上如圖深色陰影所示的方格中時，紙片的位置隨之 確定，即只有1種放法，此類放法有 4M4=16種.所以，紙片共有64 +16 =80種不同的放置方法.【答案】80種 例3 圖中可數(shù)出的三角形的個數(shù)為 .【考點】計數(shù)之圖形中的對應關系【難度】4星【題型】填空【解析】這個圖不像我們以前數(shù)三角形那樣規(guī)則，粗看似乎看不出其中的規(guī)律，不妨我們取出其中的一個三 角形，發(fā)現(xiàn)它的三條邊必然落在這個圖形中的三條大線段上，而每三條大線段也正好能構成一個三 角形，因此三角形的個數(shù)和三條大線段的取

6、法是一一對應的關系，圖中一共有8條大線段，因此有C3 =56個三角形.【答案】56個三角形例4如圖所示，在直線 AB上有7個點，直線CD上有9個點.以AB上的點為一個端點、 CD上的點為 另一個端點的所有線段中，任意3條線段都不相交于同一個點，求所有這些線段在AB與CD之間的交點數(shù).【考點】計數(shù)之圖形中的對應關系【難度】4星【題型】解答【解析】常規(guī)的思路是這樣的：直線AB上的7個點，每個點可以與直線CD上的9個點連9根線段，然后再分析這些線段相交的情況.如右圖所示，如果注意到下面這個事實：對于直線AB上的任意兩點M、N與直線CD上的任意兩點P、Q都可以構成一個四邊形 MNQP ,而這個四邊形的

7、兩條對角線 MQ、NP的交點恰好是我們要計數(shù)的點，同時，對于任意四點（AB與CD上任意兩點）都可以產生一個這樣的交點，所以圖中兩條線段的交點與四邊形有一一對應的關系.這說明，為了計數(shù)出有多少個交 點，我們只需要求出在直線 AB與CD中有多少個滿足條件的四邊形MNQP就可以了！從而把問題轉化為：在直線 AB上有7個點，直線CD上有9個點.四邊形 MNQP有多少個？其中點 M、N位于 直線AB上，點P、Q位于直線CD上.這是一個常規(guī)的組合計數(shù)問題，可以用乘法原理進行計算： 由于線段 MN有C72 =21種選擇方式，線段 PQ有C2 =36種選擇方式，根據(jù)乘法原理，共可產生 21 乂36 =756個

8、四邊形.因此在直線 AB與CD之間共有756個交點.【答案】756個交點模塊二、數(shù)字問題中的對應關系【例5 有多少個四位數(shù)， 滿足個位上的數(shù)字比千位數(shù)字大，千位數(shù)字比百位大， 百位數(shù)字比十位數(shù)字大？【考點】計數(shù)之數(shù)字問題中的對應關系【難度】4星【題型】解答【解析】由于四位數(shù)的四個數(shù)位上的數(shù)的大小關系已經非常明確，而對于從09中任意選取的4個數(shù)字，它們的大小關系也是明確的，那么由這4個數(shù)字只能組成1個符合條件的四位數(shù)(題目中要求千位比百位大，所以千位不能為 0,本身已符合四位數(shù)的首位不能為0的要求，所以進行選擇時可以把0包含在內)，也就是說滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)與從09中選取4個數(shù)字的選法是一一

9、對應的關系，那么滿足條件的四位數(shù)有 C： = 10父9父8父7 =210個. 4 3 2 1【答案】210個【鞏固】 三位數(shù)中，百位數(shù)比十位數(shù)大，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)有多少個？【考點】計數(shù)之數(shù)字問題中的對應關系【難度】4星【題型】解答【解析】 相當于在10個數(shù)字中選出3個數(shù)字，然后按從大到小排列.共有10X9X8 + (3X2X1) =120種.實際上， 前鋪中每一種劃法都對應著一個數(shù).【答案】120種【例6】 數(shù)3可以用4種方法表示為一個或幾個正整數(shù)的和，如3, 1+2, 2+1, 1+1+1.問：1999表示為一個或幾個正整數(shù)的和的方法有多少種？【考點】計數(shù)之數(shù)字問題中的對應關系【難度】4

10、星【題型】解答【解析】我們將1999個1寫成一行，它們之間留有 1998個空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填 上午”號.例如對于數(shù) 3,上述4種和的表達方法對應：1 1 1, 1+1 1, 1 1+1, 1+1+1. 可見，將1999表示成和的形式與填寫 1998個空隙處的方式之間是一一對應的關系，而每一個空隙 處都有填號和不填 4”號2種可能，因此 1999可以表示為正整數(shù)之和的不同方法有2 乂 24川 乂21 =21998種. 1998個2相乘答案21998種【例7】請問至少出現(xiàn)一個數(shù)碼 3,并且是3的倍數(shù)的五位數(shù)共有多少個？【考點】計數(shù)之數(shù)字問題中的對應關系【難度】4星【題型】解

11、答【關鍵詞】小學數(shù)學競賽【解析】五位數(shù)共有90000個，其中3的倍數(shù)有30000個.可以采用排除法，首先考慮有多少個五位數(shù)是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼 3.首位數(shù)碼有8種選擇，第二、三、四位數(shù)碼都有9種選擇.當前四位的數(shù)碼確定后，如果它們的和除以余數(shù)為0,則第五位數(shù)碼可以為 0、6、9;如果余數(shù)為1,則第五位數(shù)碼可以為2、5、8;如果余數(shù)為2,則第五位數(shù)碼可以為 1、4、7.可見只要前四位數(shù)碼確定了，第五位 數(shù)碼都有3種選擇，所以五位數(shù)中是 3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼 3的數(shù)共有8M9M9M9M3=17496個. 所以滿足條件的五位數(shù)共有 30000 -17496 =12504個.【答案】12504個模塊

12、三、對應與階梯型標數(shù)法【例8】 游樂園的門票1元1張，每人限購1張.現(xiàn)在有10個小朋友排隊購票，其中5個小朋友只有1元的鈔票，另外5個小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準備零錢.問有多少種排隊方法，使售票 員總能找得開零錢？【考點】計數(shù)之對應與階梯型標數(shù)法【難度】5星【題型】解答2元錢的小朋友前面的【解析】與類似題目找對應關系.要保證售票員總能找得開零錢，必須保證每一位拿若干小朋友中，拿 1元的要比拿2元的人數(shù)多，先將拿 1元錢的小朋友看成是相同的，將拿 2元錢1元錢的小朋友,的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型.在下圖中，每條小橫線段代表每條小豎線段代表 2元錢的小朋友，因為從 A點沿

13、格線走到 B點，每次只能向右或向上走，無論到 途中哪一點，只要不超過斜線，那么經過的小橫線段都不少于小豎線段，所以本題相當于求下圖中 從A到B有多少種不同走法.使用標數(shù)法，可求出從A到B有42種走法.但是由于10個小朋友互不相同，必須將他們排隊，可以分成兩步，第一步排拿2元的小朋友，5個人共有5! =120種排法；第二步排拿到 1元的小朋友，也有120種排法，所以共有5 乂5 =14400種排 隊方法.這樣，使售票員能找得開零錢的排隊方法共有42M14400=604800（種）.【答案】604800種【例9】 學學和思思一起洗 5個互不相同的碗（順序固定），思思洗好的碗一個一個往上摞，學學再從

14、最上 面一個一個地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學學一邊拿，那么學學摞好的碗一共有 種不同的摞法.【考點】計數(shù)之對應與階梯型標數(shù)法【難度】5星 【題型】解答【關鍵詞】學而思杯，5年級，第7題【解析】方法一：如下所示，共有 42種不同的摞法：5-4-3-2-1 , 4 -5 -3 -2 -1, 3-5-4-2-1,5-3-4-2-1 ,3-4-5-2-1,5-4-2-3-1 ,4 -5-2 -3-1 , 2-5-4-3-1, 5-2-4-3-1,2-4-5-3-1 ,5-2-3-4-1,2-5-3-4-1 ,2 -3-5 -4-1 , 2 -3 -4 -5 -1, 5-4-3-1 -2,4-

15、5-3-1-2,5-3-4-1 -2,3-5-4-1-2 ,3-4 -5 -1 -2 , 5-4-1-3-2, 4-5-1 -3 -2,1-5-4-3-2,5-1 -4-3-2,1 -4-5-3-2 ,5-1 -3-4-2 , 1-5 -3-4-2,1 -3-5-4-2 , 1-3-4-5-2, 5-4-1-2-3, 4-5-1-2-3, 1 -5-4 -2-3, 5-1 -4-2 -3,1 -4 -5-2-3, 1-2-5-4-3, 5-1 -2-4-3, 1 -5-2-4-3, 1 -2 -4 -5-3,1 -2 -3 -5-4,1 -2 -5 -3-4,1 -5-2 3 4,5 -1 -

16、2 -3-4 , 1 -2-3-4 -5。方法二：我們把學學洗的5個碗過程看成從起點向右走5步（即洗幾個碗就代表向右走幾步），思思拿5個碗的過程看成是向上走5步（即拿幾個碗就代表向上走幾步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到達終點最短路線的方法.由于洗的碗要多余拿的碗，所以向右走的路線要多余向上走的路線，所以我們用下面的斜三角形進行標數(shù)，共有42種走法，所以共有 42種不同的摞法?！敬鸢浮?2種【鞏固】 學學和思思一起洗 4個互不相同的碗（順序固定），思思洗好的碗一個一個往上摞，學學再從最上面一個一個地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學學一邊拿，問學學摞好的碗一共有種不同的摞法。【考點

17、】計數(shù)之對應與階梯型標數(shù)法【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，3年級，第7題【解析】按思思洗碗的順序將這 4個碗依次標號為1、2、3、4,則學學摞好的碗一共有如下14種擺法：1234,1243, 1324, 1342, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2431, 3214, 3241, 3421, 4321。【答案】14【例10一個正在行進的8人隊列，每人身高各不相同，按從低到高的次序排列，現(xiàn)在他們要變成并列的2列縱隊，每列仍然是按從低到高的次序排列，同時要求并排的每兩人中左邊的人比右邊的人要矮， 那么，2列縱隊有種不同排法.【考點】計數(shù)之對應與階梯型標而【

18、難度】5星【題型】填空【關鍵詞】第七屆，走美杯【解析】首先，將8人的身高從低到高依次編號為1、2、& 4、5、6、7、8 ,現(xiàn)在就相當于要將這 8個數(shù)填到一個4x2的方格中，要求每一行的數(shù)依次增大，每一列上面的要比下面的大.12345而這個正好是 階梯型標數(shù)”題型的基本原則.于是，我們可以把原題轉化成:在這個階梯型方格中，橫格代表在第一行的四列，縱格代表第二行的四列，那么此題所有標數(shù)的方 法就相當于從A走到B的最短路線有多少條.例如，我們選擇一條路線：它對應的填法就是:14 B【答案】14種【鞏固】將112這12個數(shù)填入到2行6列的方格表中，使得每行右邊比左邊的大, 共有多少種填法？【

19、考點】計數(shù)之對應與階梯型標數(shù)法【難度】5星【題型】解答【解析】根據(jù)對應關系，再運用階梯型標數(shù)法畫圖如下：每一列上面比下面的大,共有132種填法.【答案】132種7張選票。在將7張選票種不同的情況?！纠?1】在一次小組長選舉中，錚錚與昊昊兩人作為候選人參加競選，一共得了 逐一唱票的過程中，昊昊的得票始終沒有超過錚錚。那么這樣的唱票過程有【考點】計數(shù)之對應與階梯型標數(shù)法【難度】5星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，6年級，1試，第14題【解析】標數(shù)法(1) 7張全是錚錚，1種；(2) 6張錚錚，1張昊昊，6種；(3) 5張錚錚，2張昊昊，14種；(4) 4張錚錚，3張昊昊，14種。一共35種?！敬鸢?/p>

20、】35種模塊四、不完全對應關系10個點沒有涂色，以這些點為【例12圓周上有12個點，其中一個點涂紅，還有一個點涂了藍色，其余頂點的凸多邊形中，其頂點包含了紅點及藍點的多邊形稱為雙色多邊形；只包含紅點（藍點）的多邊形稱為紅色（藍色）多邊形.不包含紅點及藍點的稱無色多邊形.試問，以這12個點為頂點的所有凸多邊形（邊數(shù)可以從三角形到 12邊形）中，雙色多邊形的個數(shù)與無色多邊形的個數(shù)，哪一種較多？多多少個？【考點】計數(shù)之不完全對應關系【難度】4星【題型】解答【解析】從任意一個雙色的 N邊形出發(fā)（N25時），在去掉這個雙色多邊形中的紅色頂點與藍色頂點后，將得到一個無色的N 2邊形；另一方面，對于一個任意

21、的無色的M邊形，如果加上紅色頂點和藍色頂點，就得到一個雙色的 M +2邊形，所以無色多邊形與雙色多邊形中的五邊形以上的圖形是一一對 應的關系，所以雙色多邊形的個數(shù)比較多，多的是雙色三角形和雙色四邊形的個數(shù).而雙色三角形 有10個，雙色四邊形有 C0=45個，所以雙色多邊形比無色多邊形多10 + 45 =55個.【答案】雙色多邊形比無色多邊形多10 +45 =55個【例13】有一類各位數(shù)字各不相同的五位數(shù)M ,它的千位數(shù)字比左右兩個數(shù)字大，十位數(shù)字也比左右兩位數(shù)字大.另有一類各位數(shù)字各不相同的五位數(shù)W ,它的千位數(shù)字比左右兩個數(shù)字小，十位數(shù)字也比左右兩位數(shù)字小.請問符合要求的數(shù)M與W,哪一類的個數(shù)多？多多少？【考點】計數(shù)之不完全對應關系【難度】5星【題型】解答【解析】M與W都是五位數(shù)，都有千位和十位與其它數(shù)位的大小關系，所以兩類數(shù)有一定的對應關系.比如有一個符合要求的五位數(shù)M =ABCDE （A不為0）,那么就有一個與之相反并對應的五位數(shù)（9 A）（9 B）（9 C）（9 D）（9 E）必屬于4類，比如13254為M類，則與之對應的 86754為W類. 所