2013年高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)專題專練 2-7空間向量與立體幾何 理

1、高考專題訓(xùn)練(七)空間向量與立體幾何時間：45分鐘分值：75分一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在括號里1在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，的值為()A.B.C. D.解析以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建系，設(shè)正方體棱長為1，則C(0,1,0)，M，D1(0,0,1)，N，cos，sin，.故選B.答案B2已知直二面角l，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則D到平面ABC的距離等于()A. B.C. D1解析由2()222222

2、21|21，所以|CD|.過D作DEBC于E，則DE面ABC，DE即為點(diǎn)D到平面ABC的距離在RtBCD中，BC2BD2CD23，BC.DEBCBDCD，DE.答案C3在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn)，ABAC1，PA2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析以A為原點(diǎn)，AB、AC、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由ABAC1，PA2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F(xiàn)，(0,0,2)，設(shè)面DEF的法向量為n(x，y，z)，則由得取

3、z1，則n(2,0,1)，設(shè)直線PA與平面DEF所成角為，則sin，直線PA與平面DEF所成角為arcsin，故選C.答案C4如圖所示，AC1是正方體的一條體對角線，點(diǎn)P、Q分別為其所在棱的中點(diǎn)，則PQ與AC1所成的角為()A. B.C. D.解析如圖，設(shè)底面中心為O，在對角面ADC1B1中，取AB1的中點(diǎn)為T，TDPQ，從而TD與AC1所成的角為所求由相似可得AMD，故選D.答案D5如下圖所示，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面MBD的距離是()A.a B.aC.a D.a解析點(diǎn)A到面MBD的距離由等積變形可得VAMBDVBAMD.易求da.答案D

4、6已知平面與所成的二面角為80，P為，外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與，所成的角都是30，則這樣的直線有且僅有()A1條 B2條C3條 D4條解析如上圖，點(diǎn)過P作面、的垂線PC、PD，其確定的平面與棱l交于Q，過面P的直線與面、分別交于A、B兩點(diǎn)，若二面角為80，直線AB與平面、成30，則CPD100，直線AB與PD、PC成60，因此問題轉(zhuǎn)化為過P點(diǎn)與直線PD、PC所成角為60的直線有幾條60，60，這樣的直線有4條答案D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上7已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面A

5、EF與面ABC所成的二面角的正切值等于_解析如圖，以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的邊長為3.A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(xiàn)(0,3,2)(0,3,1)，(3,3,2)設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，令y1，z3，x1，n(1,1，3)又(0,0,3)為面ABC的一個法向量，設(shè)平面AEF與平面ABC所成的二面角為cos|cosn，|sintan.答案8已知l1，l2是兩條異面直線，、是三個互相平行的平面，l1、l2分別交、于A、B、C和D、E、F，AB4，BC12，DF10，又l1與成30角，則與間的距離是_；DE_.解析由直線與平面所成角的定義

6、及平行平面距離定義易得與間距離為6.由面面平行的性質(zhì)定理可得，即.DE2.5.答案62.59坐標(biāo)平面上有點(diǎn)A(2,3)和B(4，1)，將坐標(biāo)平面沿y軸折成二面角AOyB，使A，B兩點(diǎn)的距離為2，則二面角等于_解析如圖，ADBC，BCCD，BC平面ACD，BCAC，AB2，BC4，AC2，AD2，CD4，cos.答案12010已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則直線DA1與AC間的距離為_解析設(shè)n是A1D和AC的公垂線段上的向量，則n()()10，1.又n()()0，1.n.故所求距離為d.答案三、解答題：本大題共2小題，共25分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟11(12分)(

7、2012山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值解(1)因為四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，ADBD，又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解法一：由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB1，

8、則C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(xiàn)(0,0,1)，因此，(0，1,1)設(shè)平面BDF的一個法向量為m(x，y，z)，則m0，m0，所以xyz，取z1，則m(，1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一個法向量，則cosm，所以二面角FBDC的余弦值為.解法二：取BD的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，由于CBCD，因此CGBD，又FC平面ABCD，BD平面ABCD，所以FCBD.由于FCCGC，F(xiàn)C，CG平面FCG，所以BD平面FCG，故BDFG，所以FGC為二面角FBDC的平面角在等腰三角形BCD中，由于BCD120，因此CGCB，又CBCF，所以GFCG，故cosFGC，因此二面角FBDC的

9、余弦值為.12(13分)(2012福建)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(diǎn)(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長解(1)以A為原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此時(0，1，z0)，又設(shè)平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一個法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在點(diǎn)P，滿足DP平面B1AE，此時AP.(3)連接A1D，B1C，由長方體ABCDA1B1C1D1及A