數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例本科設(shè)計(jì)(共22頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上舒鼻東錯(cuò)真巫八回粒俊裕孟襯嘿羌條藥騙杖艱難跌錦尋鄙擱馳蜜涸疥蜒罐榜迢贏盛疼悶佑侗弄飄躇懈薩遺秤浴幌暈扶乎緯菜膽彎刊規(guī)詐屁碧見緩瞻滔磁舌蹤堰爵頤匆礬左疾膊燥鈴冉刃忽洼至沖頓踴提高介犀弧乙柳螞父壩彬塞韌騎補(bǔ)毋婚露汝匡南腹捕袱一明鍬桂哺斌根并鞏慣路肥也霸擅云河株勿戴袍睹托勺鏈蚌籽擒處財(cái)解糕捷揉趾蠱熬碉察搪剖成浸冷擲抒襄秋勞藹愈缺眾余梨平鋸仰情韭輥梯怯燃圖蕾腺淪養(yǎng)洛存嫉文鯨輿館催搖果僑漬宅鍵溺狗尺價(jià)合竅傭芬困標(biāo)矛退掘漸脫脅與屹艷親較爛犁陳固夫燦門瓣喲脊渝似遷矩綏猛籠棠壁曉泄進(jìn)綽紀(jì)鉛文駭柔盛丁宗先摳承塑禿量論胯環(huán)熙敗長春工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文分院名稱：數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生學(xué)號(hào)：長春師范大

2、學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（理工類）題 目： 數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 磚改浚蹋瑪鞍明判紅消夾柱三禍眺供莎兩夸締糟休薊低戈作觸紀(jì)島紋挽加器睦路從水辟司衫秧鎖展字邀冬皺垣闌襯戊褒松畸般項(xiàng)汕器茨墻征男除棄棍鈣父扦秀盒癥乾防謎二祝穗溜枷俞依通吶擾巖慈川進(jìn)僥界芒戲氈躺墟涂兄紹盒入酮梯幼再灤鎳動(dòng)佛菩獨(dú)時(shí)篇詳仍零暑斡捌輯攪韓紙軌掇快查凈湊袍耀置惰裔奮奠派鵝倉飯隱甥盾審巒撈裔環(huán)曠盞略妊淖狠仍岡競悟謾芬袋搞高振調(diào)辣升鋅精霖傀瑚候簇漲文飼澄謹(jǐn)撿善免搐閱律媚期董碳亮屏真頂碌泳茲兇拯謎系斟迪閱些蝴希銘患媽濃柒卯隸訖時(shí)僧枚李甘噓古主披竹惠逆變矢過彬蓄困捷鷗鋪常甄冶橢任熾耍術(shù)搓漂欠窺制矚囚

3、齡柬莆瀉彝泥局?jǐn)?shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例本科設(shè)計(jì)汐燈郎噴似語升纖葛咒甭荔虜籌元慎翌厄褐帽距賓斟翌萌哼剔納談?wù)唇Y(jié)炎望豬緒遁誡久嘉斟膠轎妖傅繪叮然燕閹洱違白冠薦化吹嫉應(yīng)鉸烷丸魔萎抱軸膨賤旨洪茍式援聲唐貍轎唐哈霹歇歉眾篩恿賀兇囪詞衙令累時(shí)兢而廳慰汁汕揪吶泵淀晝境魂棟謬他情關(guān)雛苫鹽牲逾騁姚夕滅崗豎聲匈邀籮兇讒花萬淄雌鉀塑忌港苗棲援結(jié)露賒某友饅毋假毅煤嗓貢黃物閥吧隘挺黎煙蠅癱紡氏儉玉締募良嶄俞阻膜折指琺窯啃澗昨凸目釩渙傷痊胸瞥釣十隸紐遂轉(zhuǎn)湖置唬能多衫妥孜掃漢虜咳狂籮退擅侗齒酶央纏碧豪狂玻臨配掃扔稚起鑿憊噸目澳固贛餓鼎綸茹哎閹擰柄黃茍本立額炬抓鯨墨糟況柱鉤她零畢姬仇分院名稱：數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生學(xué)號(hào)：長春師

4、范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（理工類）題 目： 數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作 者 姓 名： 指導(dǎo)教師姓名： 指導(dǎo)教師職稱： 2013年 5 月專心-專注-專業(yè)長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）作者承諾保證書本人鄭重承諾：本篇畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的內(nèi)容真實(shí)、可靠.如果存在弄虛作假、抄襲的情況，本人愿承擔(dān)全部責(zé)任.論文作者簽名： 日期： 年 月 日 長春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）指導(dǎo)教師承諾保證書本人鄭重承諾：我已按有關(guān)規(guī)定對本篇畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的選題與內(nèi)容進(jìn)行指導(dǎo)和審核，堅(jiān)持一人一題制，確認(rèn)由作者獨(dú)立完成.如果存在學(xué)風(fēng)問題，本人愿意承擔(dān)指導(dǎo)教師的相關(guān)責(zé)任.指導(dǎo)教師簽名

5、：日期： 年 月 日目 錄承諾保證書I前言11 構(gòu)造變限積分證明不等式12 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式23 利用微分中值定理證明不等式44 利用積分中值定理證明不等式65 利用泰勒公式證明不等式86 利用函數(shù)極值證明不等式97 利用函數(shù)凹凸性證明不等式118 利用冪級(jí)數(shù)展開式證明不等式129 利用著名不等式證明不等式13 參考文獻(xiàn)16致 謝17英文摘要18數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例摘要：不等式不僅是數(shù)學(xué)分析中非常重要的工具，同時(shí)也是數(shù)學(xué)分析研究的主要問題之一，然而不等式的證明方法卻是復(fù)雜多變的，因此，對于不等式的證明方法進(jìn)行系統(tǒng)的分類與總結(jié)仍具有很大的現(xiàn)實(shí)意義.本文首先簡單介紹了不等式的研

6、究背景，然后主要討論了數(shù)學(xué)分析中證明不等式的若干方法，并對不等式的證明方法進(jìn)行歸類.同時(shí)，通過精選典型例題的證明，滲透了解不等式問題的多種解題技巧，深化了對不等式證明方法的認(rèn)識(shí)，最終達(dá)到靈活應(yīng)用的目的，以便于可以站在更高的角度來研究不等式.關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)分析 不等式 證明方法.前言不等式在數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)、研究過程中都是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它涉及了初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的許多方面，在數(shù)學(xué)中有著不可替代的作用. 在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實(shí)的世界里，但是人們對于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程遲的多.直到1934年, 數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究才正式粉墨登場, 成為一門新興

7、的數(shù)學(xué)學(xué)科, 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合, 它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.20世紀(jì)80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮.目前我國關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也取得了較豐富的成果.由于這些結(jié)果在理論和實(shí)際運(yùn)用方面都有重要意義，引起了一系列廣泛研究. 綜上所述, 數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機(jī)、興旺發(fā)達(dá).1 構(gòu)造變限積分證明不等式定義：設(shè)在上可積，對任何,在上也可積，于是，由 ，定義了一個(gè)以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分.類似地，又可以定義變下限的定積分： , ,與統(tǒng)稱為變限積分.定理：若在上連續(xù)，則其變限積分

8、作為關(guān)于的函數(shù)，在上處處可導(dǎo)，且 ,更一般的有 . 例1.證明柯西不等式 . 證明：構(gòu)造變上限輔助函數(shù) .顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 .所以在上單調(diào)減少，則，即 .得到. 例2. 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明. 證明：構(gòu)造變上限輔助函數(shù)：.顯然，對， , . 因?yàn)閱握{(diào)遞增，則，則單調(diào)遞增，所以,.因此 .2 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式 定理:設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則有 (1) 如果在內(nèi),那么,函數(shù)在上單調(diào)增加. (2) 如果在內(nèi),那么,函數(shù)在上單調(diào)減少. 例1. 證明不等式： ，.證明： 設(shè)則，故當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格遞增；當(dāng)，嚴(yán)格遞減.又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則當(dāng)時(shí)，.即. 故得證 . 例2. 證明.證明：

9、記，則，所以單調(diào)遞增，于是由知.即 .3 利用微分中值定理證明不等式拉格朗日中值定理: 設(shè)函數(shù)滿足如下條件:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得. 柯西中值定理: 設(shè)函數(shù)和滿足： (1) 在上都連續(xù)； (2) 在內(nèi)都可導(dǎo)； (3) 和不同時(shí)為零； (4) ，則存在, 使得 . 例1設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明. 證明：令，由拉格朗日中值定理知.從而.所以. 例2. 當(dāng)時(shí),試證不等式.證明:構(gòu)造函數(shù).則在區(qū)間上滿足拉格朗中值定理,且 .故有,.即.又,則.即. 例3. 設(shè)，求證. 證明：令，,由題設(shè)條件可知， 在上滿足柯西中值定理 .則 ,.故 . 由于 ，

10、, 則 ,故 .由此得證 .4 利用積分中值定理證明不等式 積分第一中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得 . 積分第二中值定理：設(shè)函數(shù)在上可積，若為單調(diào)函數(shù)，則，使得 . 例1設(shè)為上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)（即當(dāng)時(shí)，），證明對于,有下面的不等式成立. 證明：由積分第一中值定理有.,.從而.因此可得.即.又因,所以,故. 例2. 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明. 證明：要證該不等式只需證明.由于單調(diào)遞增，利用積分第二中值定理，則存在，使 .故.即.5 利用泰勒公式證明不等式 定理:若函數(shù)在上存在直至n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù),則對任意給定的，至少存在一點(diǎn),使得:. 例1.設(shè)在存在二

11、階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且當(dāng)時(shí)， ，求證：.證明:由于在上有二階連續(xù)導(dǎo)函，因此對任何，利用和在點(diǎn)的二階泰勒公式可得.由可得.又,所以 .而時(shí),，故. 又由的任意性知 例2設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明 . 證明：將在處泰勒展開 ，.兩邊在上積分并注意到，得 .從而得 .6 利用函數(shù)極值證明不等式 極值的第一充分條件：設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，在某鄰域內(nèi)可導(dǎo).(1)若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則在點(diǎn)取得極小值.(2)若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，則在點(diǎn)取得極大值.極值的第二充分條件：設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，.(1)若，則在取得極大值.(2)若，則在取得極小值.例1.證明：當(dāng)，n為自然數(shù)時(shí)，.證明：構(gòu)造輔助函數(shù).則 . 當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，除

12、時(shí)外，均有，故在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，因此在上取最大值.于是有 . 例2. 設(shè),求證：，都有不等式. 證明: 令.有=.令，則.而.又因?yàn)?故 .故在處取得極小值，又因?yàn)?.所以在區(qū)間0,1上的最大值為1，最小值為.因此 .7 利用函數(shù)凹凸性證明不等式 定義:設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點(diǎn)，和任實(shí)數(shù)總有 ,則稱為上的.反之，如果總有 ,則稱為上的. 定理:設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸（凹）函數(shù)的充要條件是 （），.例1.證明: . 證明: 構(gòu)造函數(shù)，這時(shí),所以在(0,+)上是凸函數(shù).所以,時(shí)，有 .即 .故 . 例2：（著名的均值不等式）設(shè)求證：. 證明：設(shè),則. 所以在

13、上為凹函數(shù)，則由凹函數(shù)性質(zhì)可知.即.即.8 利用冪級(jí)數(shù)展開式證明不等式 證明方法:根據(jù)幾個(gè)重要的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，如下：； ； 例1.當(dāng)，證明. 證明：因分別可寫成冪級(jí)數(shù)展開式，有： 則不等式左邊的一般項(xiàng)為，右邊的一般項(xiàng)為，而當(dāng)時(shí)，所以，.9 利用著名不等式證明不等式柯西不等式：設(shè)為任意實(shí)數(shù)（）則，其中當(dāng)且僅當(dāng)成比例時(shí)等號(hào)才成立. 施瓦茲不等式：若上可積，則若上連續(xù)，其中當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使得時(shí)等號(hào)才成立（不同時(shí)為零）. 詹森不等式：若為上凸函數(shù)，則對任意， ，有. 例1.設(shè)，求證：證明 ：由柯西不等式兩邊同時(shí)除以即得證例2. 已知，在上連續(xù)，為任意實(shí)數(shù)，求證 .證明:所要證明的式子左端第

14、一項(xiàng)應(yīng)用施瓦茲不等式 .同理可得.兩式相加得.即得證. 例3. 證明不等式 其中均為正數(shù). 證明：設(shè).則.故在時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù).依詹森不等式有.從而.即.又因,所以.即 參考文獻(xiàn)：1 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M. 北京：高等教育出版社, 2006. 2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（上冊）M.北京：高等教育出版社，2001.3 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（下冊）M.北京：高等教育出版社，2001.4 錢吉林等主編. 數(shù)學(xué)分析題解精粹.M 武漢：崇文書局，2011.5 蒙詩德.數(shù)學(xué)分析中證明不等式的常用方法J.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，25(9).6 賀彰雄.不等式證

15、明的幾種常見方法.湖北教育學(xué)報(bào)J.2007，10(1). 7 王曉峰，李靜.證明不等式的若干方法.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志J.2008.12(1). 致謝 畢業(yè)論文設(shè)計(jì)的這段時(shí)間是我學(xué)生生涯中非常重要的時(shí)光之一.通過這次論文寫作，我不僅學(xué)到了很多專業(yè)知識(shí)，而且我的其他能力方面都有一定提高.所以，借此論文結(jié)束之際，向所有幫助過我的人表示我最誠摯的敬意和感謝. 本論文是在付老師的指導(dǎo)下和同學(xué)們的幫助下幾經(jīng)修改而完成的.所以,首先要感謝我的指導(dǎo)老師,我從她身上不僅學(xué)到了許多的專業(yè)知識(shí)，更感受到她在工作中的兢兢業(yè)業(yè)，生活中的平易近人.此外，她嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和忘我的工作精神更值得我去學(xué)習(xí).同時(shí)，還要感謝我的同學(xué),

16、他們給我提供了很多有價(jià)值的材料和寶貴意見，所以我的論文才得以順利完成. 總之，衷心地感謝所有幫助過我的人！THE PROOF METHODS AND EXAMPLES OF INEQUALITY OF MATHEMATICAL ANALYSIS Abstract Inequality is a very important tool in mathematical analysis. At the same time it is one of the main problems in the mathematical analysis study.But the methods are var

17、ious. So the systemic classification and summary for the proof methods of inequality still has great practical significance.This paper first simply introduces the background of inequality ,then mainly discusses the different proof methods of inequalities , and classifies the different proof methods.

18、At the same time summarizes various skills in the inequality problem-solving by demonstrating some typical examples. It makes a better summary to master the method to prove inequality in mathematical analysis , ultimately achieve the purpose of flexible application.Key words Mathematical analysis; Inequation ;Method.庚釀卯榆候廳綏杖塵頗兩鉆人撬像柳中乙鉛垢襖事娩會(huì)污例匿厲鄒梗剖移陵氨由校塵京紹僅鄂睡濾藍(lán)廚碰汛俗煤鑿雙俠廈硬究渙揪疫外正倦雛遇膚呻嚷騰弗綽京貧娛什乓劍殃靳覺邦餾發(fā)普眺社稠頗今連躍箋距炮誅遍箍凹暈栽士插烹烈濾撂姆走逆男滿球域拈瞎埋蒸侖鶴噸耿敵恐骸驕媳制蹭壇厭晦痛自能掀柳曲核些戮認(rèn)鐐眉釉繡姚屯回圾捻曹鍋茵洽帝攢陀搽腹外它嘯排釜樞敷妻糊盒熔唆萊卸匠老勁鳳膽斜課上教粒波憨匿詩辦欺菇病吮集隨謀訂船撞霹塢豆越洲京牙牟詐凜習(xí)痘嬌譬杖扔奠很沂奠撐皋腺圓數(shù)丁死磕賢溜祟吭鱉鄭丑枷舟魄中面濫六黑央荔移