線性變換的矩陣表示

1、5 線性變換的矩陣表示線性變換的矩陣表示線性變換的矩陣線性變換的矩陣線性變換在不同基下的線性變換在不同基下的 矩陣之間的關(guān)系矩陣之間的關(guān)系線性變換的秩線性變換的秩為了將線性變換的討論轉(zhuǎn)化為矩陣的討論，為了將線性變換的討論轉(zhuǎn)化為矩陣的討論，我們必須建立線性變換與矩陣之間的聯(lián)系。我們必須建立線性變換與矩陣之間的聯(lián)系。.)()(,10示示能能用用這這樣樣的的關(guān)關(guān)系系式式來來表表中中任任何何一一個個線線性性變變換換都都我我們們自自然然希希望望中中的的一一個個線線性性變變換換簡簡單單明明了了地地表表示示出出關(guān)關(guān)系系式式中中上上節(jié)節(jié)例例nnnRRRxAxxT .)(,)(), 2 , 1()(),(,21

2、2211為為列列向向量量應(yīng)應(yīng)以以那那么么矩矩陣陣有有關(guān)關(guān)系系可可見見如如果果線線性性變變換換即即為為單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量考考慮慮到到為為此此iiinnneTAAxxTTnieTaeeeAeaAeaAea 線性變換的矩陣線性變換的矩陣.),()(,),()()()(),()(),2, 1()(,1111111AxxaaxeTxeTeTxeTxexexTxeeTxTTniaeTTnnnnnnnnii 必必滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式那那么么使使如如果果一一個個線線性性變變換換反反之之).(,),(,)()(,1nnneTeTARxAxxTTR 其其中中表表示示都都能能用用關(guān)關(guān)系系式式中中任任何何線線性

3、性變變換換總總之之)5(,),(),(),(,),(),(),(,)(,)(,)()(,7212121212211222211221221111121ATTTTTaaaTaaaTaaaTTVVTnnnnnnnnnnnnnnnnn 式式可可表表示示為為上上記記為為用用這這個個基基線線性性表表示示下下的的象象如如果果這這個個基基在在變變換換中中取取定定一一個個基基在在中中的的線線性性變變換換是是線線性性空空間間設(shè)設(shè)定定義義.,21212222111211矩矩陣陣下下的的在在基基就就稱稱為為線線性性變變換換那那么么其其中中nnnnnnnTAaaaaaaaaaA .)(,),(),(,21唯唯一一決決

4、定定由由基基的的象象矩矩陣陣顯顯然然nTTTA :.,21滿滿足足的的關(guān)關(guān)系系式式必必須須推推導(dǎo)導(dǎo)變變換換保保持持線線性性關(guān)關(guān)系系的的特特性性來來面面根根據(jù)據(jù)變變換換下下下下的的象象換換也也就就給給出出了了這這個個基基在在變變下下的的矩矩陣陣在在基基作作為為線線性性變變換換如如果果給給出出一一個個矩矩陣陣TTTTAn nnnnniiiniiiniiinxxxAxxxTTTTxxTxV21212121111,)(,),(),()(, 有有中中的的任任意意元元素素記記為為 )6(,21212121 nnnnxxxAxxxT 即即這個關(guān)系式唯一地確定一個變換這個關(guān)系式唯一地確定一個變換 T ，可以驗(yàn)

5、證所確定，可以驗(yàn)證所確定的變換的變換 T 是以是以 A 為矩陣的線性變換，總之，以為矩陣的線性變換，總之，以 A 為為矩陣的線性變換矩陣的線性變換 T 由關(guān)系式由關(guān)系式(6) 唯一確定。唯一確定。 定義定義7及以上討論表明，在及以上討論表明，在Vn 中取定一個基以后，中取定一個基以后，由線性變換由線性變換T可唯一地確定一個矩陣可唯一地確定一個矩陣A，由一個矩陣，由一個矩陣A也可以唯一地決定一個線性變換也可以唯一地決定一個線性變換T。 這樣，在線性變換與矩陣之間就有一一對應(yīng)的關(guān)這樣，在線性變換與矩陣之間就有一一對應(yīng)的關(guān)系。系。.)(,)(,:,)()6(212121 ATxxxATxxxTnnn

6、 有有即即按按坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示標(biāo)標(biāo)分分別別為為下下的的坐坐在在基基與與可可見見由由關(guān)關(guān)系系式式例例11., 1,4322313的的矩矩陣陣求求微微分分運(yùn)運(yùn)算算取取基基中中在在DpxpxpxpxP 解解 ,00000,10001,02002,00303432144321343212432121ppppDpppppDpppppxDpppppxDp 0100002000030000AD在在這這組組基基下下的的矩矩陣陣為為所所以以例例12.,)2(;,)1(,)(,3的的矩矩陣陣求求取取基基為為的的矩矩陣陣求求取取基基為為即即性性變變換換平平面面的的線線將將向向量量投投影影到到表表示示中中在在Tkji

7、jiTkjij yixkzj yixTxOyTR 解解.000010001),(),(, 0,)1( kjikjiTkTjjTiiT即即 ,)2( jiTjTiT.000110101),(),( kjikjiT即即 由上例可見，同一個線性變換在不同的基下有由上例可見，同一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣。不同的矩陣。.,;,3121212121APPBBATVPVnnnnnn 么么那那和和次次為為在在這這兩兩個個基基下下的的矩矩陣陣依依中中的的線線性性變變換換的的過過渡渡矩矩陣陣為為到到基基由由基基中中取取定定兩兩個個基基線線性性空空間間設(shè)設(shè)定定理理 定理表明定理表明 B 與與 A 相似，且

8、兩個基之間的過渡相似，且兩個基之間的過渡矩陣矩陣 P 就是相似變換矩陣。就是相似變換矩陣。 線性變換在不同基下的矩陣之間關(guān)系線性變換在不同基下的矩陣之間關(guān)系,),(),(,),(),(;,),(),(,212121212121BTATPPnnnnnn 可可逆逆有有按按定定理理的的假假設(shè)設(shè)證證,),(),(),(),(),(),(1212121212121APPAPPTPTTBnnnnnn 于于是是.,121證證畢畢所所以以線線性性無無關(guān)關(guān)因因?yàn)闉锳PPBn 例例13.,1222211211212下下的的矩矩陣陣在在基基求求下下的的矩矩陣陣為為中中的的線線性性變變換換在在基基設(shè)設(shè) TaaaaAV

9、 解解,0110),(),(2112 ,0110 P即即,01101 P易易知知下下的的矩矩陣陣是是于于是是在在基基12, .0110011001101112212212112221222112111 aaaaaaaaaaaaAPPBEx.6.,987654321,213321BA下下的的矩矩陣陣在在基基求求下下的的矩矩陣陣是是在在設(shè)設(shè)線線性性變變換換 解解,010001100),(),(213321 .001100010,0100011001 PP易易知知即即下下的的矩矩陣陣為為在在基基于于是是213, 0100011009876543210011000101APPB 01000110032

10、1987654.132798465 .,)(的的秩秩稱稱為為線線性性變變換換的的維維數(shù)數(shù)的的象象空空間間線線性性變變換換TVTTn.,).(,rnSTrTARTTAT 的的維維數(shù)數(shù)為為的的核核則則的的秩秩為為若若的的秩秩就就是是則則的的矩矩陣陣是是若若顯顯然然線性變換的秩線性變換的秩定義定義8第六章小結(jié)第六章小結(jié) 線性空間作為一般的立體空間的推廣，是一線性空間作為一般的立體空間的推廣，是一個定義了兩種運(yùn)算，并且這兩個運(yùn)算滿足一定規(guī)個定義了兩種運(yùn)算，并且這兩個運(yùn)算滿足一定規(guī)則的集合；線性空間的元素稱為向量，因而可以則的集合；線性空間的元素稱為向量，因而可以定義線性空間的基與維數(shù)，并借助于坐標(biāo)建立

11、一定義線性空間的基與維數(shù)，并借助于坐標(biāo)建立一一對應(yīng)，利用過渡矩陣，在同一線性空間的兩組一對應(yīng)，利用過渡矩陣，在同一線性空間的兩組不同基及坐標(biāo)之間建立聯(lián)系。不同基及坐標(biāo)之間建立聯(lián)系。 線性變換是研究線性空間聯(lián)系的工具，是定線性變換是研究線性空間聯(lián)系的工具，是定義在兩個線性空間之間的保持線性運(yùn)算的變換，義在兩個線性空間之間的保持線性運(yùn)算的變換，借助于線性空間的基，可將線性變換同矩陣建立借助于線性空間的基，可將線性變換同矩陣建立一一對應(yīng)關(guān)系，同一線性變換在不同的基下的矩一一對應(yīng)關(guān)系，同一線性變換在不同的基下的矩陣是相似的。陣是相似的。第六章主要方法第六章主要方法一）如何求向量在某一組下的坐標(biāo)：）如何求向量在某一組下的坐標(biāo)： 1）待定系數(shù)法；）待定系數(shù)法； 2）初等變換法；）初等變換法；二）如何求兩組基之間的過渡矩陣：二）如何求兩組基之間的過渡矩陣： 1）按定義求解；）按定義求解； 2）初等變換法（基為已知向量）；）