n階線性微分方程

1、第3章 n階線性微分方程一、本章主要內容1n階線性微分方程： (1)其初始條件記為 (2)當(1)式中的在區(qū)間I上恒等于零，則有 (3)稱為n階線性齊次微分方程 (或簡稱n階齊次方程)而(1)式稱為n階線性非齊次微分方程(或簡稱n階非齊次方程) n階線性微分方程與一階線性微分方程組有著密切的關系，通過適當變換，可以把n階線性微分方程化成一階線性微分方程組，而且它們是等價的因此，我們可以把前者作為后者的特例加以處理在方程(1)中，令,(1)式就可以化成一階方程組 (4)(4)可以寫成向量形式 (5)其中 , 方程組(5)的初始條件可記為Y(x0)=Y0其中 經過這樣變換處理，由引理41知道，方程

2、(1)與方程組(4)是等價的，也就是說，如果是方程(1)在區(qū)間I上的解，那么，是方程組(4)在區(qū)間I上的解，反之也成立通過把n階線性微分方程化成等價的一階線性微分方程組，得到n階線性微分方程的基本理論和解的基本性質2n階線性微分方程解的存在惟一性定理如果方程(1)的系數(shù)(k=1,2,，n)及其右端函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義且連續(xù)，則對于I上的任一及任意給定的，方程(1)的滿足初始條件(2)的解在I上存在且唯一在理解n階線性微分方程解的存在惟一性定理時，要注意：（1）定理的條件是：系數(shù)及右端函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義且連續(xù)；（2）解在存在區(qū)間上的整體存在性3n階線性齊次微分方程的所有解構成一

3、個線性空間· 要了解n階線性齊次微分方程的解的結構，首先要有朗斯基(Wronski)行列式的概念：設函數(shù)組，中每一個函數(shù)均有n-1階導數(shù)，則稱行列式為已知函數(shù)組的朗斯基行列式· 有了朗斯基行列式的概念，我們就能較好地理解下面一些定理：定理42 齊次方程(3)的n個解，在其定義區(qū)間I上線性無關(相關)的充要條件是在I上存在點x0，使得它們的朗斯基行列式W(x)0 (W(x)0)由此可以得到n階線性齊次微分方程的通解基本定理定理43 如果，是方程(3)的n個線性無關解，則y = + (6)是方程(3)的通解，其中為n個任意常數(shù)如果引進基本解組（n階線性齊次微分方程的定義在區(qū)間I

4、上的n個線性無關解稱為它的基本解組）的概念，n階線性齊次微分方程的通解基本定理又可敘述為：方程(3)的通解為它的基本解組的線性組合通解基本定理表明，齊次方程(3)的所有解的集合是一個n維線性空間· 那么齊次方程(3)的解與它的系數(shù)之間有什么關系呢？下面的定理明確回答了 定理46 設，是方程(411)的任意n個解，W(x)是它們朗斯基行列式，則對區(qū)間I上的任一x有W(x)=W(x) （7）上述關系式稱為劉維爾(Liouville)公式由公式(7)可以再次看出齊次方程(3)的朗斯基行列式的兩個重要性質：性質方程(3)解的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上某一點為零，則在整個區(qū)間I上恒等于零性

5、質 方程(3)解的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上某一點不等于零，則在整個區(qū)間I上恒不為零· 這里，我們還要提醒大家記住兩個結論：結論1 n階齊次方程(3)的線性無關解的個數(shù)不超過n個結論2 n階齊次方程(3)總存在定義在區(qū)間I上的基本解組 4n階非齊次方程通解的結構由于n階非齊次方程(1)等價于一階非齊次方程組(4)，由第三章的定理310可以得到： n階線性非齊次方程(1)的通解等于它對應的齊次方程的通解與它本身的一個特解之和由此可見，求方程(1)的通解問題，就歸結為求(1)的一個特解和對應齊次方程的一個基本解組的問題了 5求一般非齊次線性方程解的常數(shù)變易法 設是方程(1)的對應齊次

6、方程的n個線性無關解，則函數(shù)y = Cy+Cy+Cnyn是方程(1)的對應齊次方程的通解，其中C，C，Cn是任意常數(shù)現(xiàn)在設一組函數(shù)，使 (8)成為非齊次方程(1)的解由于，滿足下面的非齊次方程組=它是關于變量的線性代數(shù)方程組，由于它的系數(shù)行列式恰是齊次方程的n個線性無關解的朗斯基行列式W(x)，故它恒不為零，因此，上述方程組關于有唯一解 解出后再積分，并代入到(8)中，便得到(1)的一個特解 6求常系數(shù)齊次線性方程基本解組的待定指數(shù)函數(shù)法常系數(shù)線性齊次方程y(n)+ay(n-1)+an-1y+any = 0 （9）其中a1，a2，an為實常數(shù). 假設方程(8)有形如y = ex （10）的解，

7、其中是待定常數(shù).把(10)式代入(9)式中得到 (n+an-1+an+ an)ex= 0 因為ex0，所以有P()=n+an-1+an+ an = 0 （11）稱(11)式為方程(9)的特征方程，它的根稱為特征根.因此，y = ex是方程(9)的解，當且僅當是特征方程(11)的根.（1）特征根都是單根若特征方程(11)有n個互異根1，2，n，則是方程(9)的一個基本解組. 而且方程(9)的通解為： y = + （12）其中為n個任意常數(shù) 若特征方程(11)有復根，它的復根一定是共軛成對地出現(xiàn).即當k = a + ib，(a, b為實數(shù))，則k+1= a-ib也是(11)式的根.而且這兩個特征根

8、所對應的解是實變量復值函數(shù)yk= e(a+ib)x= eaxcosbx+ ieaxsinbx yk1=e(a-ib)x= eaxcosbxieaxsinbx我們也可以把這兩個復值解實值化，即取其實部eaxcosbx和虛部eaxsinbx作為這兩個根所對應的解，并且它們與其余的特征根所對應的解仍然是線性無關的. （2）特征根有重根 設是特征方程(11)的重根，則方程(9)有形如的k個特解.一般地，如果方程(9)有互異的特征根1，2，p，它們的重數(shù)分別為m1，m2，m p，m i 1，且m1m2m pn，則與它們對應的(9)式的特解是 (13)且(13)式構成(9)式在區(qū)間(，)上的基本解組.如果

9、1a+ib是(9)式的m1重特征根，則其共軛aib也是(8)式的m重特征根.那么(13)式中含有如下的2m1個解與單特征根處理復值解的方法相同，在(13)式中用下面的2m1個實值解替換這2m1個復值解.對于其它復根也同樣處理，最后就得到方程(9)的n個線性無關的實解. 7求特殊形非齊次常系數(shù)線性方程解的待定系數(shù)法 n階常系數(shù)線性非齊次方程 （14）的通解等于它的對應齊次方程通解和它本身一個特解之和.由于前面已經介紹了齊次常系數(shù)線性方程通解的求法，下面主要介紹如何求方程(14)的一個特解，即用待定系數(shù)法求方程(14)的一個特解. （1）非齊次項為 設二階方程 （15）因為經過求任意階導數(shù)再與常數(shù)

10、線性組合后，仍是原類型函數(shù)。所以，當不是特征方程2p+q = 0的根時，(15)式有形如y = Aex （16）的特解，其中A為待定常數(shù). 將（16）式代入（15）式，可得。 當是特征方程2p+q = 0的單根時，（15）式有形如y = Axex (17)的特解，將它代入(15)式，解得。 當是特征方程2p+q = 0的重根時，（15）式有形如y = Ax2的特解，將它代入(15)式，得到。上述關于二階方程的結果，可以推廣到n階常系數(shù)線性非齊次方程(14)式 設Pm(x)是m次實或復系數(shù)的多項式，即則有：當不是特征根時，(14)式有形如y1(x)=Qm(x)的特解，其中m(x)=q0xm+q1

11、xm-1+qm-1x+qm當是k(1)重特征根時，(14)式有形如y1(x)=xkQm(x)的特解，其中Qm(x)也是上述的m次多項式.（2）非齊次項為 由歐拉公式得故 其中，,是m次多項式. 當不是特征根時，(14)式有形如 (18)或 (18¢)的特解，其中與是m次多項式； 當是k重特征根時，(14)式有形如 (19)或 (19¢)的特解，其中與是m次多項式. ，的系數(shù)的求法是把y1代入原方程，再比較x的同次冪系數(shù)，即可求得.注意：即使當，中有一個恒為零，方程(14) 仍具有 (18)式和(19)式形狀的特解.即不能當0時，在(18)式或(19)式中就令0；而0時，就令

12、 8線性微分方程，特別是二階線性微分方程在電學、力學等實際問題中有著廣泛應用，本章主要介紹了彈簧振動和電振蕩兩個例子通過這兩個例子的學習，要學會利用微分方程解決實際問題的基本方法 二、典型例題 例1 已知方程 （20）其中p(x),q(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，求證：如果(x)是方程(466)定義在(a, b)上的解，且滿足初值條件，則(x)=0在(a, b)上恒成立證明 由已知條件，方程（3）的任一解在區(qū)間(a, b)上存在且惟一，又y(x)0顯然是（20）的解，并且這個零解滿足初值條件，這樣與零解滿足同一初值條件，由解的惟一性y1(x)0，例2 設方程中的p(x)和q(x)在a, b上連

13、續(xù)，且p(x)<0試證：對于方程的任一非零解y = y(x)，函數(shù)為嚴格單調遞增函數(shù)，其中證明 設y = y(x)是該方程的任一非零解，那么由于y = y(x)是非零解，則對定義區(qū)間上任一點x，均不能有同時為零，否則與解的惟一性矛盾，因為原方程顯然有零解又，因此，有成立，即是嚴格單調遞增函數(shù) 例3 試討論下列函數(shù)組在它們的定義區(qū)間上是線性相關的，還是線性無關的？ （1） （2） （3） （4） 解 （1）因為 取t = 0，則 所以，函數(shù)組線性相關 （2）因為 取x = 0，則 所以，函數(shù)組線性相關 （3）因為 取x = 0，則 所以，函數(shù)組線性無關 （4）因為 取t = 0，則 所以，

14、函數(shù)組線性無關例4 試舉一例，說明函數(shù)的朗斯基行列式只是函數(shù)組在某區(qū)間上線性相關的必要條件而非充分條件解 考慮函數(shù)組 顯然 即，對所有x恒有,但y1, y2在（-，+）上是線性無關的為此，只需證明，要使等式 對（-，+）上一切x成立,必需實際上，若取，對有 顯然，它不能在（0，+）上恒等于零，從而不能在（-，+）上恒等于零同樣，對也可類似討論例5 設在方程中，p(x)在區(qū)間I上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩上線性無關解的朗斯基行列式是在區(qū)間I上的嚴格單調函數(shù) 證明 由有 得W(x)為區(qū)間I上的嚴格單調函數(shù)例6 試討論當p, q取什么數(shù)值時，方程的一切解當x+時，都趨于零該題與下面的例7一起考慮

15、例7 試討論，當p, q取什么數(shù)值時，方程的一切解在a, +上有界，其中a是某確定的常數(shù)解 特征方程 特征根 當為相異實根時，通解為 ； 當為重根時，通解為 ； 當為復根時，通解為 。當 時 當 一切解有界例8 在方程中，在a,+上連續(xù)，且,試證明已知方程的任一解y(x)均有證明 先求齊次通解再用常數(shù)變易法求非齊次特解，令是非齊次特解，則滿足解得原方程通解為在通解兩邊取極限，有其中前兩個極限為零，而最后一個極限同樣處理于是，得到例9 已知方程，p(x), q(x)在（a, b）上連續(xù)，如果y1(x), y2(x),是方程的二個線性無關解，且a1, b1是y1(x)的兩個相鄰的零點，（a1 , b1），則y2(x)在（a1 , b1）上有且僅有一個零點證明 不妨設又設則由存在x1(a1, b1)有y2(x1)=0其次證明在（a1, b1）上y2(x)僅存在一個零點采用反證法，假設x1，x2是y2(x)在（a1, b1）上的兩個相鄰零點，且設x1< x2,重復上面討論，對調y1與y2的地位，可知在（x1，x2）內存在一點x*使y1(x*)=0這與a1,b1是y1(x)的兩個相鄰零點矛盾例10 已知方程，p(x),q(x)在a,b上連續(xù)，且q(x)<0，證明方程的任一非零解在a, b上最多只有一個零點證明 用反證法假設非零解y = y(