浙江省高中數(shù)學競賽試題及詳細解析答案

1、2011年浙江省高中數(shù)學競賽試卷一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）1. 已知，則可化簡為（ ）A B. C. D. 2如果復數(shù)的模為4，則實數(shù)a的值為（ ）A. 2 B. C. D. 3. 設(shè)A ，B為兩個互不相同的集合，命題P：， 命題q：或，則p是q的（ ）A. 充分且必要條件 B. 充分非必要條件 C. 必要非充分條件 D. 非充分且非必要條件4. 過橢圓的右焦點作傾斜角為弦AB，則為（ ）A. B. C. D. 5. 函數(shù)，則該函數(shù)為（ ）A. 單調(diào)增加函數(shù)、奇函數(shù) B. 單調(diào)遞減函數(shù)

2、、偶函數(shù)C. 單調(diào)增加函數(shù)、偶函數(shù) D. 單調(diào)遞減函數(shù)、奇函數(shù)6. 設(shè)有一立體的三視圖如下，則該立體體積為（ A ）223122122 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖（圓和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+7某程序框圖如右圖所示，現(xiàn)將輸出（值依次記為：若程序運行中輸出的一個數(shù)組是 則數(shù)組中的（ ） A64 B32 C16 D88. 在平面區(qū)域上恒有，則動點所形成平面區(qū)域的面積為（ ）A. 4 B.8 C. 16 D. 329. 已知函數(shù)在上有兩個零點，則m的取值范圍為（ ）A. B C. D. 10. 已知，則的解為（ ）A.或 B.或 C.或 D.二、填空題（本大題共有7小題，將

3、正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11. 函數(shù)的最小正周期為_。12. 已知等差數(shù)列前15項的和=30，則=_.13. 向量，則的取值范圍為。14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分別為，上的動點（含端點）,D為BC邊上的中點，且。則直線的夾角為_。15設(shè)為實數(shù)，則_。16. 馬路上有編號為1，2，3，2011的2011只路燈，為節(jié)約用電要求關(guān)閉其中的300只燈，但不能同時關(guān)閉相鄰兩只，也不能關(guān)閉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法共有_種。（用組合數(shù)符號表示）17. 設(shè)為整數(shù)，且，則_。 三、解答題（本大題共 3 小題，每小題 17 分，共計 51 分）18. 設(shè)，求在上的最大值

4、和最小值。19. 給定兩個數(shù)列，滿足， 。證明對于任意的自然數(shù)n，都存在自然數(shù)，使得 。20. 已知橢圓，過其左焦點作一條直線交橢圓于A，B兩點，D為右側(cè)一點，連AD、BD分別交橢圓左準線于M,N。若以MN為直徑的圓恰好過 ，求 a的值。 2011年浙江省高中數(shù)學競賽參考解答與評分規(guī)范1解答：因為，所以=。正確答案為D。2解答：由題意得。正確答案為C。3解答：P是q的充分非必要條件。正確答案為B。4. 解答：橢圓的右焦點為（1，0），則弦AB為代入橢圓方程得。正確答案為C。5. 解答：由單調(diào)性和奇偶性定義知道函數(shù)為單調(diào)增加的奇函數(shù)。正確答案為A。6.解答：該幾何體是一個圓柱與一個長方體的組成，

5、其中重疊了一部分（），所以該幾何體的體積為。正確答案為A。7. 答案 經(jīng)計算。正確答案為 B。8. 解答：平面區(qū)域的四個邊界點（1，1），（1，1），（1，1），（1，1）滿足，即有,由此計算動點所形成平面區(qū)域的面積為4。正確答案為 A。9. 解答：問題等價于函數(shù)與直線在上有兩個交點，所以m的取值范圍為。正確答案為C。10. 解答：不等式的左端看成的一次函數(shù)，由或。正確答案為C。11. 解答：最小正周期為4。12.解答：由，而。13. 解答：= ，其最大值為3，最小值為1，取值范圍為1，3。14. 解答：因為平面ABC平面，ADBC，所以AD平面，所以ADPE，又PEPD，PE平面APD，所以

6、PEPD。即夾角為。15. 解答：16. 解答：問題等價于在1711只路燈中插入300只暗燈，所以共有種關(guān)燈方法。17. 解答：將代入得到，因為都是整數(shù)，所以前兩個方程組無解；后兩個方程組解得。所以3或57。18. 解答：當 當由此可知 。 當；當；當。19. 解答：由已知得到：為等比數(shù)列，首項為2，公比為2， 所以。 又由已知，由， 所以取即可。 20. 解答：。設(shè)，由得設(shè)。由M、A、D共線。又，得=整理得 。 2010年浙江省高中數(shù)學競賽試卷說明：本試卷分為A卷和B卷：A卷由本試卷的22題組成，即10道選擇題，7道填空題、3道解答題和2道附加題；B卷由本試卷的前20題組成，即10道選擇題，

7、7道填空題和3道解答題。一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）1化簡三角有理式的值為（ ）A1 B CD1+2若，則是的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件3集合P=，則集合為（）A BC D4設(shè),為兩個相互垂直的單位向量。已知=，=，=r+k.若PQR為等邊三角形，則k，r的取值為（ ） ABCD5在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，則CA1與C1B所成的角的大小是（ ）A60°B75°C90°D105°

8、;6設(shè)，分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且，則以下結(jié)論正確的是（ ）A B C D7若的二項式展開式中系數(shù)最大的項為（ ） A第8項 B第9項 C第8項和第9項D第11項8設(shè)，則下述關(guān)系式正確的是（ ）A B C D9下面為某一立體的三視圖，則該立體的體積為（ ）正視圖： 半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖： 半徑為1的圓以及高為1的矩形俯視圖： 半徑為1的圓A B C D10設(shè)有算法如下：如果輸入A=144,B=39,則輸出的結(jié)果是（）A144 B3 C 0 D12二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11滿足方程所有實數(shù)解為。12 函數(shù)的最小正周期為1

9、3設(shè)P是圓上一動點，A點坐標為。當P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡方程為.14設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點D，使得AD把ABC分成兩個等腰三角形，試求ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為 .15設(shè)z是虛數(shù)，且，則z的實部取值范圍為.16設(shè)。如果對任何，都有，則k的最小值為 .17設(shè)，。當函數(shù)的零點多于1個時，在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值為.三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）18設(shè)數(shù)列，問：（1）這個數(shù)列第2010項的值是多少；（2）在這個數(shù)列中，第2010個值為1的項的序號是多少.19設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各10個?，F(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個袋子中

10、，要求每個袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問共有多少種放法。20已知橢圓，以（0，1）為直角頂點，邊AB、BC與橢圓交于兩點B、C。若ABC面積的最大值為，求的值。四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB上的點。記。證明：。22（1）設(shè)，平面上的點如其坐標都是整數(shù)，則稱之為格點。今有曲線過格點（n，m），記對應的曲線段上的格點數(shù)為N。證明：。 （2）進而設(shè)a是一個正整數(shù)，證明：。 （注表示不超過x的最大整數(shù)）參考答案1解答為 A。也可以用特殊值法2解答為 B。p成立，所以p 成立，推不出q一定成立。3

11、解答：D。 畫數(shù)軸，由絕對值的幾何意義可得，。4解答C ，即。5解答：C。建立空間直角坐標系，以所在的直線為軸，在平面上垂直于 的直線為軸，所在的直線為軸。則，。6解答：A。7解答：D，r=10，第11項最大。8解答： D。函數(shù)為偶函數(shù)，在（0，）上，為減函數(shù)，而，所以。9解答：C根據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個1/4的球的組合體。10解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11。解答 變形得，解

12、得。12解答 。13.解答 設(shè)M的坐標為，因為P點在圓上，所以 所以P點軌跡為。1430<x<45或22.5<x<30.解答 如圖，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。ACDB（1）ACDB（2）在（1）中，設(shè)最小的角為x，則2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45；在（2）中，設(shè)最小的角為x，則3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<3015.解答 設(shè)當，無解；當。16.解答 分子，所以k的最小值為。

13、170或q.解答 因為函數(shù)為偶函數(shù)，由對稱性以及圖象知道，在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值0或q。三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）18解（1）將數(shù)列分組：因為1+2+3+62=1953；1+2+3+63=2016，所以數(shù)列的第2010項屬于第63組倒數(shù)第7個數(shù)，即為。 - 10分 （2）由以上分組可以知道，每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1，所以第2010個1出現(xiàn)在第4019組，而第4019組中的1位于該組第2010位，所以第2010個值為1的項的序號為（1+2+3+4018）+2010=809428。 - 17分19解：設(shè)甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為，則有，且 （*1）- 5分即有 。 （*2）于是有 。因此中必有一個取5。不妨設(shè)，代入（*1）式，得到。 -10分此時，y可取1，2，8，9（相應地z取 9，8，2，1），共9種放法。同理可得y=5或者z=5時，也各有9種放法，但有時二種放法重復。因此可得共有9×32 = 25種放法。 -17分20解： 不妨設(shè)的方程，則的方程為。由得：由得：從而有 -5分于是 。令，有 - 10分因為時等號成立。因此當 - 14分令 - 17分四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21證明 由 -5分 。 -