橢圓同步練習(xí)2

1、橢圓的幾何性質(zhì)課時(shí)目標(biāo) 1.掌握橢圓的范圍、 對(duì)稱性、 頂點(diǎn)、 離心率等幾何性質(zhì) .2.明確標(biāo)準(zhǔn)方程中 a， b 以及 c，e 的幾何意義， a、b、c、e之間的相互關(guān)系 .3.能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢 圓的簡(jiǎn)單問(wèn)題221若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 xa2 yb2 1 (a>b>0) (1) 方程中 x、y 的取值范圍分別為 (2) 橢圓關(guān)于 、 和 都是對(duì)稱的，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做 (3) 橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為 2橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 e ，叫做橢圓的離心率，離心率 e的范圍當(dāng) e越接近 1，橢圓，當(dāng)e越接近于 ，橢圓就越

2、接近于圓一、填空題1橢圓 x2my2 1 的焦點(diǎn)在 y 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則 m 的值為 222P 是長(zhǎng)軸在 x 軸上的橢圓 x2y21 上的點(diǎn)， F1、F2 分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的 ab半焦距為 c，則 PF1·PF2 的最大值與最小值之差一定是 3.已知 F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) .滿足MF1·MF 20的點(diǎn) M 總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率 的取值范圍為 4設(shè) 0<k<9 ，則橢圓5如圖所示，2A、B、22222為橢圓 xa2 yb2 1 (a>b>0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若ABC 90°，則該橢圓的離心率為56已知橢圓的中

3、心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，離心率為 5 ，且過(guò)點(diǎn) P( 5,4)，則橢圓的方程為 227直線 x2y 2 0 經(jīng)過(guò)橢圓 xa2yb2 1 (a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)， 則該橢圓的 離心率為 228橢圓上 x9 2y51 上到兩個(gè)焦點(diǎn) F1， F2距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是 二、解答題9.22如圖，已知 P 是橢圓 xa2 yb2 1 (a>b>0) 上且位于第一象限的一點(diǎn)， F是橢圓的右焦點(diǎn)， a2O 是橢圓中心， B 是橢圓的上頂點(diǎn)， H 是直線 x c (c 是橢圓的半焦距 )與 x 軸的交點(diǎn)， c若 PFOF，HB OP，試求橢圓的離心率 e.10.已知橢圓

4、 4x2 y2 1 及直線 yx m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程能力提升11若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為12已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1( 3，0)，且右頂點(diǎn)為 D(2,0) 設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 1，12 .(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段 PA的中點(diǎn) M 的軌跡方程1橢圓的范圍實(shí)質(zhì)就是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些存在性和 判斷性問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用2橢圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形橢圓的對(duì)

5、稱性在解決直線與橢 圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，往往能起到化繁為簡(jiǎn)的作用3橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個(gè)量，通過(guò)解方程或不等式可以求得離心 率的值或范圍4在與橢圓有關(guān)的求軌跡方程的問(wèn)題中要注意挖掘幾何中的等量關(guān)系2 2.2 橢圓的幾何性質(zhì)知識(shí)梳理1(1)a，a、b，b (2)x 軸 y 軸 原點(diǎn) 橢圓的中心 (3)A 1(a,0)、A2(a,0)、 B1(0， b)、B2(0， b) 2a 2b2.c 0<e<1 越扁 0a作業(yè)設(shè)計(jì)11.14解析 由題意可得2c22× 2，解得 m1.4.解析 由橢圓的幾何性質(zhì)得 PF1a c，ac，PF1PF22a

6、，所以 PF1·PF2PF1 PF2 2 2PF1 2 2a2，當(dāng)且僅當(dāng) PF1PF2 時(shí)取等號(hào)2 PF1·PF2PF1(2aPF1) PF122aPF1 (PF1 a)2 a2 c2a2b2， 所以 PF1·PF2 最大值與最小值之差為 a2b2c2. 3. 0， 22 解析 MF1·MF 20，M 點(diǎn)軌跡方程為 x2y2 由題意知橢圓上的點(diǎn)在圓 設(shè)點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)，則 由橢圓性質(zhì)知 OP b，其中 b>c， c2<b2a2c2， c 2<1， ec< 2. a <2， ea< 2 . 又 0<e<

7、;1， 0<e< 22.c2，其中 F1F2 為直徑，4焦距x2y2c2 外部， OP>c 恒成立， b 為橢圓短半軸長(zhǎng)， 22a >2c ，2 x 解析 由 0<k<9 ，知 0<9 k<25 k，橢圓9 k 25 k2y 1 焦點(diǎn)在 y 軸上，焦距為 8.而22橢圓 x y 1 的焦點(diǎn)在 x 軸上，焦距也為 8. 25 9 1 55. 2解析 由 (a c)2a22b2 c2，得 b2 ac，又b2a2c2，c2aca20，c 2 1 5 e ， e e 1 0， ea226.4x53y6145 36解析 設(shè)橢圓的方程為2x2 a又離心率 e

8、 ca525 ，即 e2 22x y 1. 45362yb21 (a>b>0)，將點(diǎn) (5,4)代入得 2a52 1b62 1，222c2 a b 1 2 2 2 2 ，解之得 a2 45，b2 36，a a 5故橢圓的方程為257.255解析 由題意知橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，又直線 x2y20與 x 軸、y軸的交點(diǎn)分別為 (2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)， 所以 b1，c2，從而 a 5，eca255.a58( ±3,0)解析 設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為 P，由橢圓定義可知PF1 PF2 2a 10 ，所以 PF1× PF2PF1 PF225，當(dāng)且僅當(dāng)

9、 PF1PF2 時(shí)取等號(hào)；PF1PF210；由PF1PF2.解得 PF1PF25a，此時(shí)點(diǎn) P 恰好是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，即 9解 依題意知 H ac ，0 ，F(xiàn)（c,0），B（0，b）設(shè) P（xP，yP），且 xP c，代入到橢圓的方程，b2 .a.得 y P ba . P c，HBOP， kHB kOP，b2b 0 a 2 即2 . ab c2.ac0cP(±3,0)cb e ，ac e e 1 0.22e2a2c22 c2 e21. 0<e<1， e512.4x2y21，25.10解 （1） 由yxm，得 5x 2 2mx m21 0.因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)， 所以 4m220(m2 1)0.解得 25 m 25. 故 m 的取值范圍為 25， （2）設(shè)直線與橢圓交于 A（x 1，y1）、B（x 2，y2）， 由（1）知， 5x22mxm210， 2m 1 2 x1 x2 5 ， x1x25（m 1）設(shè)弦長(zhǎng)為 d，且 y1y2（x1m）（x2m） x1x2，d x1x2 2 y1y2 2 2 x1 x2 2 2 x1 x2 24x1x2 5 10 8m .當(dāng) m0時(shí)，d 最大，此時(shí)直線方程為 yx.311.5解析 由題意知 2b ac，又 b2 a2 c2， 4（a2c2）a2 c22ac. 3a 2ac 5c 0. 5c 2ac 3a