1991考研數(shù)三真題及解析

1、1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題（本題滿分15分，每小題3分.把答案填在題中橫線上.）(2)設(shè)曲線f （x ）=x3+ax與g（x）=bx2+c都通過點(diǎn)（1,0）,且在點(diǎn)（1,0）有公共切線,處取極小值設(shè) f (x) = xex,則 f C x)在點(diǎn)(4)設(shè)A和B為可逆矩陣，X =0IB為分塊矩陣，則X設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0, 0.4, F(x)=PX«x= a, .1，x -1,-1 _ x : 1,1< x :二 3,x_3.則X的概率分布為二、選擇題（本題滿分15分,每小題 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)3分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

2、合題目要求，.）卜列各式中正確的是(2)(4)(A) |，+1x )0 x(C) lim 11-x 4.xj=1(B)(D)lim1 1 "xf.x二e11-設(shè)0 Wan W（n =1,2，）則下列級數(shù)中肯定收斂的是nCO(A)ann =1QO (C)n 1(B)(D)(-1)nann 1(-1)na2n 1. . .一 . . _ . . *設(shè)A為n階可逆矩陣，九是A的一個(gè)特征根，則A的伴隨矩陣A(A)A(B)(C)(D)的特征根之一是（）設(shè)A和B是任意兩個(gè)概率不為零的不相容事件,則下列結(jié)論中肯定正確的是（）(A) A與B不相容(B)A與B相容(C) P AB = P A P B(

3、D)P A - B = P A 對于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X和Y,若E(XY) = E(X) ,E(Y),則()(A) D(XY) =D(X) D(Y) (B)D(X Y) = D(X) D(Y)(C) X和Y獨(dú)立(D)X和Y不獨(dú)立三、(本題滿分5分)1,'ex + e2x + + enx、x 求極限lim e一e- ，其中n是給定的自然數(shù).四、(本題滿分5分)計(jì)算二重積分I = JJydxdy,其中D是由x軸，y軸與曲線 D域，a 0,b 0.五、(本題滿分5分)求微分方程xy曳=x2 + y2滿足條件y x - = 2e的特解. dxx=e六、(本題滿分6分)假設(shè)曲線L1 ： y=1-

4、x2(0<x<1)> x軸和y軸所圍區(qū)域被曲線 L2： y = ax2分為面積相等的兩部分，其中a是大于零的常數(shù)，試確定a的值.七、(本題滿分8分)某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場銷售，售價(jià)分別為和p2 ；銷售量分別為q1和q2；需求函數(shù)分別為 q =24 0.2p1和q2 =100.05P2,總成本函數(shù)為C =35 + 40(q+q2 )試問：廠家如何確定兩個(gè)市場的售價(jià)，能使其獲得的總利潤最大？最大利潤為多少？八、(本題滿分6分)1 V一試證明函數(shù)f(x)=(1+一)x在區(qū)間(0,+*)內(nèi)單調(diào)增加.x九、(本題滿分7分) 設(shè)有三維列向量1十九- 1 1- 1 1一01%

5、=1,32 二1十兒03二1,p =九1 1i1 11+（1 月問九取何值時(shí),(1) P可由5,S3線性表示,且表達(dá)式唯一 ？(2) P可由% ,«2,«3線性表示,且表達(dá)式不唯一 ？(3) P不能由% ,也 ,«3線性表示？ 十、(本題滿分6分)2 一 2 一 2考慮一次型f =x1 +4x2 +4x3 +2兒x1x2 -2x1x3 +4x2x3.問九取何值時(shí)，f為正定次型.十一、(本題滿分6分)試證明n維列向量組«1,«2；" ,an線性無關(guān)的充分必要條件是二0,其中a：表示列向量叫的轉(zhuǎn)置，i =1,2,，n.十二、(本題滿分5分

6、)一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號燈的路口 ，每個(gè)信號燈為紅或綠與 其他信號燈為紅或綠相互獨(dú)立 ，且紅綠兩種信號顯示的時(shí)間相等 ，以X表示該汽車首次遇到 紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù) .求X的概率分布.十三、(本題滿分6分)222假設(shè)隨機(jī)變量X和Y在圓域x +y <r上服從聯(lián)合均勻分布(1)求X和Y的相關(guān)系數(shù)P ;(2)問X和Y是否獨(dú)立？十四、(本題滿分5分)設(shè)總體X的概率密度為p（x；'）=a-1 一 xaax e0,x 0,x - 0,其中0>0是未知參數(shù)，a a0是已知常數(shù).試根據(jù)來自總體 X的簡單隨機(jī)樣本Xi,X2，Xn,求九的最大似然估計(jì)量 幺.1991

7、年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題滿分15分，每小題3分.)【答案】esinxy cosxy (ydx + xdy )7 一 ：7方法一：先求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 二和三，然后再寫出全微分dz ,-z sin xy一 二e二 x二 x二 ysin xycosxy y = ye cosxysin xycosxy x = xe cosxy所以zzsinxysinxydz = dx dy = ye cosxydx xe cosxydy 二 x二 y-es1nxy cosxy(ydx xdy).方法二：利用一階全微分形式不變性和微分四則運(yùn)算法則直接計(jì)算dz.sin xy sin xys

8、in xysin xydz=d e e d sinxy =e cosxydxy=e cosxy ydx xdy .(2)【答案】a = 1, b = 1, c=1【解析】由于曲線f(x盧g(x)都通過點(diǎn)(1,0),則I f -1 - -1-a=0g -1 = b c = 0又曲線f (x戶g(x詐點(diǎn)(1,0)有公切線，則f11 )=g11即x=1 =-2b,f 7-1 )=(3x2 +a =3 + a=g'(1)=2bx x=1、 -亦即 3 + a = 2b ,解之得 a = 1, b = 1, c = 1.【答案】x = (n+1)； -e】n*)n【解析】由高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式

9、(uv f)= £ C：u(k v(n")可知,k =0f(n)(x)=C；x(ex) C：x(ex)(nq Cxley) C：x(n)ex: xex nex 00 = (x n)ex.對函數(shù) g(x)= fC 'x)求導(dǎo)，并令g'(x) = 0，得g x = f(n " (x) = (x n 1)ex = 0 ,解之得駐點(diǎn)x = -(n+1),且M(x)(axMT"1),函數(shù)g(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減；g'(x) 0,x %(n+1),函數(shù)g(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增;故x = (n +1 )是函數(shù)g(x)= f(nx )的極小值點(diǎn)，極小值為

10、g(-n-1) = f(n)(-n-1) = (-n-1n)eH，=3,(4)【答案】【解析】利用分塊矩陣，按可逆矩陣定義有E 00 E,0 A”X 田0人X由對應(yīng)元素或塊相等'AX3ax4BX1=E, =0, =0,0ABX2 = E.從A和B均為可逆矩陣知 X3 = a,X4 =0,Xi =0,X2 =B.故應(yīng)填x-113PX =x0.40.40.2【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量 X的分布函數(shù)F(x)在各區(qū)間上的解析式都與自變量x無關(guān)，所以在F (x)的連續(xù)點(diǎn)，PX = x = 0 ,只有在F (x)的間斷點(diǎn)處X取值的概率才大于零，且PX =x =PX <x -PX <x =F

11、(x) F(x0)，則PX - -1 =F(-1) -F(-1 -0) =0.4,PX =1 =F(1)-F(1-0) =0.8-0.4 =0.4,PX =3 = F(3) -F(3 -0) =1-0.8 =0.2.二、選擇題(本題滿分【答案】(A)因此X的概率分布為x-113PX =x0.40.40.215分,每小題3分.)【解析】由重要極限1 x - lim(1 +-)=e 可知,x1) x1.(-0-x (V)1e e-x1: lim(1-)- xx ()4二e而極限lim(1x 0lim ln(1 1) x 0;x=e "lim xln(1 1)_ x_0 _x二e &quo

12、t;1lim x ln(1 ): Jim一ln(1 t)、，-1曾嗎商11lim xln(1 -)-所以lim(1 )x = ex 0 x = e = 1.x-o x故選項(xiàng)(A)正確.qQ£ (1)na2絕對收斂n 1(2)【答案】(D)【解析】因?yàn)?-1)na2 =a2工，由9 4收斂及比較判別法可知 n n 4 n即(D)正確.1oO oo.一 . an 二、nn4,2:1V J2 n7 7_ n2另外，設(shè)an =(n =1,2),則可知 2n二丁 11 二 1(A)an ='、. 一一 一, (C)n 1n 1 2n2 n 4 n都不正確.1 ,設(shè)a2n_1 =o,a2

13、n =(n =1,2)，則可知(B)不正確.4n【答案】(B).【解析】由 九為A的特征值可知，存在非零向量 X ,使得AX =?“X .* . . * . *兩端同時(shí)乘以=A AX ,由公式A A= A得到KA X = A X .于按特征值定義知 人A是伴隨矩陣A*的特征值.故應(yīng)選(B).【相關(guān)知識點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè) A是n階矩陣，若存在數(shù)九及非零的n維 列向量X使得AX = KX成立，則稱人是矩陣A的特征值，稱非零向量 X是矩陣A的特征 向量.(4)【答案】(D)【解析】A B = aUb ,如果aUb=C，則A B=0 ,即A與B互不相容；如果aU B ,則A B # 0

14、 ,即A與B相容.由于A、B的任意性，故選項(xiàng)(A)(B)均不正確.任何事件 A一定可以表示為兩個(gè)互不相容事件AB與AB的和.又因AB =0 ,從而A - B = AB = A,另外要注意區(qū)分獨(dú)立與互不相容兩個(gè)概念，不要錯誤地把 A、B互不相容等同于A、B相互獨(dú)立而錯選(C).A, B不相容，P(A), P(B)均不為零，因此P AB )；=P：Q )=0, P AB ; P A P B .即(C)不正確.用排除法應(yīng)選(D).事實(shí)上，PA-B=PA-PAB=PA.(5)【答案】(B)【解析】由于E(XY) = E(X)E(Y),因此有cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) =0,

15、 D(X Y) =D(X) 2cov(X,Y) D(Y) = D(X) D(Y).故應(yīng)選(B).【相關(guān)知識點(diǎn)】若兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y的方差都大于零，則下面四個(gè)命題是等價(jià)的:1) E(XY) =E(X)E(Y)；2) D(X +Y) =D(X) + D(Y);3) cov(X,Y)=0;4) X和Y不相關(guān)，即X和Y的相關(guān)系數(shù)P = 0.三、(本題滿分5分)limx_01%x +e2x +enx、xn /【解析】方法一：這是10c型未定式極限ex e2x；：f-：；enx -x1 ex e2x : :enxln lim-n x 0x n=lim e= ex )0limln(ex 產(chǎn)enx)nn=ex

16、 0x其中指數(shù)上的極限是0型未定式，由洛必達(dá)法則，有0ln(exe2xenx) - ln nlimx0x所以limx 0x 2x . nxe 2e ne方法二：由于n n(n 1)x 2xnxe e e2nixx 2xe e e1 nx xx 2x . nx e e e . -1x 2x . nxe e e記y =1,則當(dāng)xt 0時(shí)y t 0,從而n/ x . 2x . nxe +e +e=li=lim：x_xxlD而 limQ(1y)=e,所以lilim (x-t0 -1(1 y)yyx lim y=ex 0x./ x2xnx(e -1) (e -1)：；+(e -1)nx所以 limx0/

17、 x . 2x . ie +e +e2x .e -1+xn 1=e 2四、（本題滿分5分）【解析】積分區(qū)域 D如圖陰影部分所示.L Lf L '2由A*"得卜ab 1 _ x-a因此 I = ydxdy = dxDnxe -1a 1 2ydy = 0dx -y令 t =1 一，有 x = a(1 t)2, dx= -2a(1 -t)dt,故b2I 二2b2一 dx 二一a 2,2 =ab1. co0(t -t )dt =ab通(1十2+n) = =n0 4,4t 2a(t-1)dtt5 t6 yab230五、（本題滿分5分）【解析】將原方程化為dy = dxxy1y1x一,由

18、此可見原方程是齊次微分方程 y x1 u2dy令y=ux,有=-=u dxdu ，、一 x,將其代入上式dxdydu，得二u . x二dxdx八口 du 1dx 、-1 2化間付x =一,即udu =.積分得 一u = ln x + C.dx ux2=y代入上式，得通解y2 x= 2x2(ln x C).由條件 y_ =2e,即 4e2 =2e2(ln e+C)求得 C=1.所以y2 =2x2(ln x +1)所求微分方程的特解六、(本題滿分6分)【解析】先求出曲線 L和L2的交點(diǎn)，然后利用定積分求出平面圖形面積s和弓,如圖:.2 -.y =1 -x 0 _ x _12y = ax a 0得a

19、y 二所以112S=s s = ydx= (1-x2)dx-0- 0x -x一 311§ 二 01a g：1 -x2 ?-ax2 dx = 01 a 1 - 1 a x2 dx11 a 31a2=x -x =IL 303,1 a又因?yàn)镾 =2§,所以2 =2 =:,即J1 +a =2,解得a =3. 33.1 a七、(本題滿分8分)【解析】方法1 :總收入函數(shù)為22R = Rq1 P2q2 =24p1-0.2p1 10 P2 -0.05p2 ,總利潤函數(shù)為L = R-C =：r仰 p?q2 )-135 40 q q?22二32Pl -0.2r2 12P2-0.05p22 -

20、1395.由極值的必要條件，得方程組%L 一一 一=32 0.4 P1 = 0,；:L= 12-0.1p2 =0,即 Pi =80, P2 -120.因駐點(diǎn)的唯一，目由問題的實(shí)際含義可知必有最大利潤.故當(dāng)r =80,P2 =120時(shí)，廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為P1 的PH20 = (32P1 -0.2P12 12P2 -0.05P22 - 1395)。叱。=605方法2:兩個(gè)市場的價(jià)格函數(shù)分別為P1 =120-5q1,p2 = 200-20q2,總收入函數(shù)為R= Rq P2q2 = 120-5q1 q1200 - 20q2 q2,總利潤函數(shù)為-1|35 40 q1 q2L = R-

21、C =(120-5% q1200 -20q2 q22280q - 5q1 . 160q2 - 20q? - 35.由極值的必要條件，得方程組=8010q1 =0,-8,q2 - 4.珥：L- q1、=160-40q2 =0,.二 q2因駐點(diǎn)的唯一，且由問題的實(shí)際含義可知必有最大利潤.故當(dāng) q1 =8,q2 = 4,即 p1 二80,q1 =605.P2 =120時(shí)，廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為八、（本題滿分6分）一一.一1 V【解析】因?yàn)閤W（0,收），所以f（x）=（1+）x >0.x，1 xf (x) = (1) = exxln（1 ）x ,兩邊對x求導(dǎo)，得xln(11)f

22、 (x) = e1 xln(1 -) x,1，ln(1 +_) x人11令g(x) =ln(1+ )，為證函數(shù)f(x)為增函數(shù)，只需f'(x)0在(0,+*)上成 x 1 x立,，即 g (x) >0, x w (0,也).方法一：利用單調(diào)性-1_12 二2(1 x) x(1 x)1由于g(x)=ln(11一代=1x一一.1且xw (0,十比)，故g (x) = 0 0，所以函數(shù)g (x)在(0, 十比)上單倜減少x(1 x)2一11又 lim g(x) = limln(1 +) =0,于是有 g(x) >0, x w (0,).從而x : x 1 x1 Vf (x) =(

23、1)xg(x) 0, x (0,二)，x于是函數(shù)f (x)在(0,十無)單調(diào)增加.方法二：利用拉格朗日中值定理.人1 x 1令 ln(1 ) = ln() = ln(1 x) -ln x = u(x 1) - u(x),x x所以在區(qū)間(x, x+1)存在一點(diǎn) 之使得.1u(x1)-u(x)=u( )(x1-x)=u()=一,11.111 ,即ln(1 +)=2.又因?yàn)?cxe - <1 + x ,所以< < -,所以x1 x x11”(1 才-1:一.x1 v 11故對一切 x w (0,)，有 f (x) =(1 + )xln(1 +)>0 .函數(shù) f (x)在(0

24、,收)單倜 x x 1 x增加.九、(本題滿分7分)【解析】設(shè)xq +x2a2 +x3% = P,將分量代入得到方程組(1 +九)x +x2 +x3 =0,也+(1+九區(qū)+x3 =九，x1 + x2 + (1 + 九)x3 =九2.對方程組的增廣矩陣作初等行變換第一行分別乘以有(-1)、-(1十九)加到第二行和第三行上,有1 11 01 11011+九 1 3T 一九 九 0：九，111+九九22九一九0)/1再第二行加到第三行上，所以有1 10T 九 九 0 兒九 23 九 0 0-Z2+Z j若九第0且九2十3九#0,即 #0且九# 3,則r(A產(chǎn)r(A ) = 3 ,方程組有唯一解，即P

25、可由巴,62,口3線性表示且表達(dá)式唯一.若九=0,則r(A)=r(A) = 1<3,方程組有無窮多解，P可由%,0(2,0(3線性表示，且表 達(dá)式不唯一.若九=3,則r(A) = 2,r (A) = 3,方程組無解，從而P不能由 '必收線性表示.【相關(guān)知識點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)A是m父n矩陣，線性方程組 Ax = b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣 矩陣A = (Ab)的秩，即是r(A) = r(A)(或者說，b可由A的列向量0tl,4，o(n線表出，亦等同于%,%，”與%,“，ctn,b是等價(jià)向量組).設(shè)A是mn矩陣，線性方程組Ax=b，則(1)有唯一解

26、二r(A) = r(A) = n.(2)有無窮多解二r(A) = r(A):二 n.(3)無解u r(A)+1 =r(A).u b不能由A的列向量豆1p2，un線表出.十、(本題滿分6分)【解析】關(guān)于判定二次型正定這類題目時(shí)用“順序主子式全大于 0”的方法最為簡捷I 1'-1 |二次型f的矩陣為A二九 42 ,其順序主子式為4 =12=1124_二4-九 2,&3= a = -4 兒?4 九 +8.正定的充分必要條件是各階順序主子式都大于0,所以有& >0,A2 = 1 乳=(2-X)(2+M>0,A3 = A =-4(Z-1)(Z+2)>0.九41

27、1解出其交集為(2,1)，故九w(2,1)時(shí)，f為正定二次型.【相關(guān)知識點(diǎn)】二次型的定義：含有n個(gè)變量為，x2，xn的二次齊次多項(xiàng)式(即每項(xiàng)都是二次的多項(xiàng)式)n nf ( x1 , x2 > , xn )=乙乙 aij xi xj ,其中 aij = a ji ,i 4 j 4稱為n元二次型，令x = (x1，x2，xn T , A = (aij ),則二次型可用矩陣乘法表示為f x1,x2,xn =xTAx,其中A是對稱矩陣(AT = A),稱A為二次型f (小區(qū)，xn )的矩陣.卜一、(本題滿分6分)【解析】記A = (%,%,，),則%,%;，%線性無關(guān)的充分必要條件是 A#0.由

28、于h；1 9T1TlT匕1；2,ct =-n J1町TLttna1T：n ：2T：n：n從而取行列式，有D =| AT A = AT| A由此可見，口2,，口口線性無關(guān)的充分必要條件是D:0【相關(guān)知識點(diǎn)】m個(gè)n維向量叫92 rm線性相關(guān)的充分必要條件是齊次方程組一 xjx2_xm有非零解.特別地，n個(gè)n維向量0(1,0：«n線性相關(guān)的充分必要條件是行列式：1, ： 2,，咻=0.十二、(本題滿分5分)【解析】首先確定 X的可能值是0,1,2,3，其次計(jì)算X取各種可能值的概率設(shè)事件A = "汽車在第i個(gè)路口首次遇到紅燈”，i =1,2,3，且A相互獨(dú)立.1P(A 尸P(A 尸

29、事件A發(fā)生表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)為i -1.所以有Pix =0.P A )=12，pix=1PAa=pA1pA2= 122,Pix =2)= PAA2A3= P A PA2PA3=123,Pix =3)= PA；A；a3=p A pA2p a=123.則X的概率分布為x0123PX =x1212T1了121注：此題易犯的一個(gè)錯誤是將 px =3計(jì)算為 %4，這是由于該街道僅有三個(gè)設(shè)有紅綠信 號燈的路口，x = 3僅表示所有三個(gè)信號燈路口均為綠燈，而不存在第四個(gè)有信號燈路口問題.十三、(本題滿分6分)1(x, y) D,(x,y) D,I【解析】二維均勻分布 (x ,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y) =