四、平行軸定理

1、四、平行軸定理前例中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉動慣量， JA表示相對通過棒端的軸的轉動慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡?22231411212mLmLmLLmJJCA推廣上述結論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉動慣量為J，則有：這個結論稱為平行軸定理。2CJJmd例：右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量如何計算？(棒長為L、球體半徑為R）2131LmJLL225ooJm R2002dmJJL22212()35LooJm Lm Rm LR作業(yè)： P150 4-8 4-9LomoRLmzz解： 棒繞zz軸的轉動慣量：球體繞球心O的轉動慣量：利用平行軸定理：五、剛體定

2、軸轉動的轉動定律的應用例、一個質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。解：如圖所示，M、m的受力圖得知：: mmg TmaaR21 2MMTR JJMR：MmMgmgTTNaT TMmmghRRv241例2、一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉的轉速轉動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？ 242MmmghahvgMmma2解方程得：F0解：飛輪制動時有角加速度t020rad/s9 .20

3、s5 0 rad/s7 .104min/ r1000t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。2mRJNRRfMr2mRNRN784mRN0Nfr例3、一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。 棒上取質(zhì)元dm,當棒處在下擺角時，重力矩為：xdmggxdmM XOdmgdmxCmxxdm 據(jù)質(zhì)心定義CmgxM 重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。cos21lxccos21mglM lgmlmglJM2cos331cos212

4、mgCdmgXOdmxc ddJdtdddJdtdJJM cos21mglM代入dJdmglcos2100cos21dJdmgl221sin21JmgllgJmglsin3sin dJMd 作業(yè)：P151 4-10 4-14角動量、角動量守恒定律1、質(zhì)點的角動量vmrPrL討論力矩對時間的累積作用，得出角動量定理和角動量守恒定律。一、質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律mvLL rrmv設質(zhì)量為m的質(zhì)點在時刻t以速度 運動，它對所取參考點O的角動量定義：v其方向：右手法則確定；sinLrmv大?。鹤⒁猓嘿|(zhì)點的角動量是與位矢、動量、參考點0的選擇有關。因此在講述質(zhì)點的角動量時，必須指明是對哪一點的角

5、動量。例：若質(zhì)點在半徑為r的圓周上運動，在某一時刻，質(zhì)點位于點A速度為 。v以圓心0為參考點，那么，rv質(zhì)點繞oz軸做圓周運動角動量為：2Lrmvmr2、質(zhì)點的角動量定理()dm vFd t質(zhì)點的角動量定義、牛頓定律導出。()drFrm vd t因為：()()()dddrrmvrmvmvdtdtdt設質(zhì)量為m的質(zhì)點，在合外力 作用下，其運動方程為：F質(zhì)點對參考點O的位矢為 ，故以 叉乘上式兩邊，有：rr()0drmvvvdt其中：所以：()drFrmvdt作用于質(zhì)點的合力對參考點O的力矩，等于質(zhì)點對該點O的角動量隨時間的變化率。這與牛頓第二定律在形式上是相似的，MF上式還可寫成：MdtdL合力

6、 對參考點0的合力矩：FMrF()ddLMrmvdtdtLP力矩與作用時間的乘積，叫做沖量矩2121ttMdtLLL 質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理： 對同一參考點0，質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量。Lr mvC 3、質(zhì)點的角動量守恒定律若質(zhì)點所受合力矩為零，即 ，則有：0M當質(zhì)點所受對參考點O的合力矩為零時，質(zhì)點對該參考點O的角動量為一恒矢量。質(zhì)點的角動量守恒定律注意：0M有兩種情況：0F0F通過參考點O，即F/F r單位： 千克二次方米每秒； 量綱： 。1. 定軸轉動剛體的角動量2iiiormL 即o對 的角動量：imiiiiovmrL方向：沿大?。?iiiiiioiormvmrL

7、Lo轉軸 角速度剛體上任一質(zhì)點 轉軸與其轉動平面交點 繞 圓周運動半徑為 imzimoirivimor轉動轉動平面平面zi二、剛體的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉動的特點： (1) 質(zhì)點均在垂直于轉軸的轉動平面內(nèi)，作半徑不 同的圓周運動； (2) 各質(zhì)點的角速度 大小相等，且均沿軸向。定義：質(zhì)點 對 點的角動量的大小，稱為質(zhì)點對轉軸的角動量。imo2iiiiizrmvmrL剛體對 z 軸的總角動量為：JrmrmLLiiiiiiiizz22式中iiirmJ2剛體對軸的轉動慣量2、剛體的角動量定理對 個質(zhì)點 組成的質(zhì)點系，由NNmmm,21tLFrMdd可得內(nèi)外內(nèi)外內(nèi)外NNNMMtLMMtL

8、MMtLdddddd222111兩邊求和得iiiiiiMMtLLt內(nèi)外dddd于是：外外iiFrMtLidd質(zhì)點系總角動量的時間變化率等于質(zhì)點系所受外力矩的矢量和 (合外力矩 )iiiiiiMMtLLt內(nèi)外dddd注意： 合外力矩 是質(zhì)點系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。外M由圖可知0iiM內(nèi)1212f21f1m2m1r2rdo在定軸轉動中，可用標量表示：JdtdJJdtdLdtdM)(剛體定軸轉動的轉動定律實質(zhì)是角動量定理的沿固定軸方向的分量式的一種特殊形式。積分：221121tLtLM dtdLLLL 對某個固定軸的外力矩的作用在某段時間內(nèi)的積累效果，稱為沖量矩右邊為剛體對同一轉動軸

9、的角動量的增量。當轉軸給定時，作用在物體上的沖量矩等于角動量的增量。叫做角動量定理12JJLJ也改變時,1122JJLJ不變時,3、角動量守恒定律0., 0 LLMdtdLM即常量則中，若在L不變的含義為：剛體：J不變 非剛體：J不變注意：0M有兩種情況：0F0F通過參考點O，即F/F r 但它與軸平行，對定軸轉動沒有作用，則剛體對此軸的角動量依然守恒。0M0043)(mvvvmfdt子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：Jdtflldtf因, 由兩式得ff200314943MlJMlmvJlmv 這里解:以 代表棒對子彈的阻力,對子彈有:f例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于

10、頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為 ,質(zhì)量為 。Ml014vv0,m vf Ml例2.已知：兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉動，求：接觸且無相對滑動時202,2101,1,;,RmRm?21.o1m1R1.o2R2m21020o1.o2.12解一：因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸 ，外力矩為零，則：J1 + J2 系統(tǒng)角動量守恒 ，以順時針方向為正： 12211202101JJJJ接觸點無相對滑動： 22211RR又： 3212111RmJ 4212222RmJ 聯(lián)立1、2、3、4式求解，對不對？ o2F2o1.F1f1f212分別以m1 , m2 為研究對象，受力如圖：o

11、2F2o1.F1f1f20 )2(0 )1 (1221FFMoMo為軸為軸系統(tǒng)角動量不守恒！解二解二：分別對m1 , m2 用角動量定理列方程設：f1 = f2 = f ， 以順時針方向為正12問題：(1) 式中各角量是否對同軸而言？ (2) J1 +J2 系統(tǒng)角動量是否守恒？m1對o1 軸：111110d,R f tJJm2對o2 軸：222220d,R f tJJ 接觸點：2211RR聯(lián)立各式解得：221202210112121202210111RmmRmRmRmmRmRm211112Jm R222212Jm R作業(yè)： P152 4-17一、力矩作功一、力矩作功|cosrdFrdFdW力矩

12、對轉動物體作的功等于相應力矩和角位移的乘積。稱為力矩的功。稱為力矩的功。rdF cos MrFrFcoscosMddW xOrvFPdrd力矩作功 剛體繞定軸轉動的動能定理00Wd WMdM如果力矩的大小和方向都不變，則即恒力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功，等于力矩的大小與轉過的角度的乘積。2211Wd WM d如果作用在繞定軸轉動的剛體上的力矩是變化的，則二、二、 力矩的功率力矩的功率d WdPMMd td t設剛體在恒力矩作用下繞定軸轉動時，則力矩的功率：即剛體繞定軸轉動的轉動動能等于剛體的轉動慣量與角速度二次方的乘積的一半。2211()()22KiiiiiiEm vmr剛體上所有質(zhì)元的動能

13、之和為：22221)(21Jrmiii四、四、 剛體繞定軸轉動的動能定理剛體繞定軸轉動的動能定理三、轉動動能三、轉動動能將定軸轉動的轉動定律兩邊乘以d 再同時對 積分，有:21222121JJ21dJddtdJ2121Md合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的功等于剛體的轉動動能的增量。12KKEEW上式即為：這個結論稱為定軸轉動的動能定理。這個結論稱為定軸轉動的動能定理。iighm五、剛體的重力勢能五、剛體的重力勢能hhihcxOmCm一個質(zhì)元：iiiPhgmE重ciiimghhmg)(整個剛體：一個不太大的剛體的重力勢能相當于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時所具有的勢能。六、機械能守恒六、機械能

14、守恒對于含有剛體的系統(tǒng),如果在運動過程中只有保守內(nèi)力作功,則此系統(tǒng)的機械能守恒。P139 表4-3 質(zhì)點運動與剛體定軸轉動對照表一質(zhì)量為M，半徑R的圓盤，盤上繞由細繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度為多大？mgTMm解得：2201122T RJJ2201122m ghT hm vm vhRvR2000,0,2vJM Ralov3030一長為l，質(zhì)量為M的桿可饒支點o自由轉動。一質(zhì)量為m，速度為v的子彈射入距支點為a的棒內(nèi)。若棒偏轉角為30。問子彈的初速度為多少。2213m vaM lm a2221 11 cos301 cos302 32lMlmamgaMg 22123

15、236gvMlmaMlmama系統(tǒng)機械能守恒：系統(tǒng)：桿、子彈，角動量守恒：例3.如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度ho ，令它自靜止狀態(tài)下垂,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達到的高度h 。(1)mlholchchh=3h0/2(2)解:碰撞前單擺擺錘的速度為:002 ghv令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v。由角動量守恒，有在彈性碰撞過程中機械能也是守恒的:lvvv23,200二式聯(lián)立解得：201,3m lvm lvJJm l式 中2220111222mvmvJ按機械能守恒，碰撞后擺錘達到的高度

16、為40hh而桿的質(zhì)心達到的高度滿足:cmghJ2212320hhhc得:作業(yè)： P153 4-23 4-28 剛體的質(zhì)心被限制在一平面上運動，則這種剛體的運動就稱為剛體的平面平行運動。一、定義：一、定義：ccdvFmamdt剛體的平面平行運動二、研究方法：二、研究方法：剛體運動：質(zhì)心的平動、剛體繞質(zhì)心的轉動的合成。質(zhì)心的平動：zcccdMJJdt剛體繞質(zhì)心的轉動：PcEmgh剛體的動能：剛體質(zhì)心的平動動能剛體繞質(zhì)心的轉動動能221122kccEmvJ剛體的勢能視為是質(zhì)心的勢能，即：TcPFma例1(P140)一繩索纏繞在半徑為R、質(zhì)量為m的均勻圓盤的圓周上，繩的另一端懸掛在天花板上(圖4-32

17、)。設繩的質(zhì)量忽略不計，求：(1)圓盤質(zhì)心的加速度；(2)繩的張力。質(zhì)心的平動：212TcF RJmR剛體繞質(zhì)心的轉動： 解解1 1 用轉動定律求解：作用在圓盤上的力有重力 和繩索的張力 ,建立坐標 。PTFymRcPmgTFy圓盤質(zhì)心相對天花板的加速度通過圓盤質(zhì)心的轉軸的角加速度caRa圓盤滾動時，繩索相對于圓盤質(zhì)心的加速度：代入上式：212cTaF RmRR12TcFma即：所以：13TFmg23cag 解解1 1 用功能原理求解：系統(tǒng)：繩索、圓盤、地球。221122ccEmvJmgy 恒量系統(tǒng)滿足機械能守恒定律，有：對t求導，有：cccdvdydmvJmgdtdtdt 0其中：,cccc

18、dvdydavdtdtdt23cag,ccaRvR且：作業(yè)： P155 4-34經(jīng)典力學的成就和局限性經(jīng)典物理：伽利略時期19世紀末 經(jīng)過300年發(fā)展，到達全盛的“黃金時代”形成三大理論體系1. 機械運動: 以牛頓定律和萬有引力定律為基礎的 經(jīng)典力學2. 電磁運動: 以麥克斯韋方程組為基礎的經(jīng)典電磁學3. 熱運動：以熱力學三定律為基礎的熱力學宏觀理論 分子熱運動為基礎的統(tǒng)計物理學微觀理論 在牛頓定律基礎上建立的力學理論體系稱為牛頓力牛頓力學學或經(jīng)典力學經(jīng)典力學。成就：經(jīng)典力學是物理學中較早地發(fā)展成為理論嚴密、體系完整、應用廣泛的一門學科，并且還是經(jīng)典電磁學和經(jīng)典統(tǒng)計力學的基礎。促進了蒸汽機和電

19、機的發(fā)明，為產(chǎn)業(yè)革命和電力技術革命奠定了基礎?？茖W技術的發(fā)展，如智能技術、信息技術、材料科學、生命科學等技術，經(jīng)典力學還是極為重要的基礎之一。質(zhì)點力學和剛體力學流體力學、彈性力學、結構力學等多門工程力學學科均屬于牛頓力學或經(jīng)典力學的范疇?？梢钥隙?，在科學技術今后的發(fā)展中，它仍將發(fā)揮其不可替代的作用。局限性：物理學家感到自豪而滿足，兩個事例：物理學家感到自豪而滿足，兩個事例：在已經(jīng)基本建成的科學大廈中，后輩物理學家只要做一些零碎的修補工作就行了。也就是在測量數(shù)據(jù)的小數(shù)點后面添加幾位有效數(shù)字而已。 開爾芬（1899年除夕）理論物理實際上已經(jīng)完成了，所有的微分方程都已經(jīng)解出，青年人不值得選擇一種將來

20、不會有任何發(fā)展的事去做。 約利致普朗克的信正當物理學家們?yōu)榻?jīng)典物理學的成就感到滿意的時候，一些新的實驗事實卻給經(jīng)典物理學以有力的沖擊，這些沖擊主要來自以下三個方面。1887年的邁克耳孫莫雷實驗否定了絕對參考系的存在；1900年瑞利和金斯用經(jīng)典的能量均分定理來說明熱輻射現(xiàn)象時，出現(xiàn)了所謂的“紫外災難”；1896年貝克勒爾首次發(fā)現(xiàn)放射性現(xiàn)象，說明原子不是物質(zhì)的基本單元，原子是可分的。 經(jīng)典物理理論無法對這些新的實驗結果作出正確的解釋，從而使經(jīng)典物理處于非常困難的境地，也使一些物理學家深感困惑。 1905年愛因斯坦建立了狹義相對論、1925年前后建立了量子理論對實驗結果作出正確的解釋。一、經(jīng)典力學只

21、適用于處理物體的低速運動問題，一、經(jīng)典力學只適用于處理物體的低速運動問題，而不能用于處理高速運動問題而不能用于處理高速運動問題1.牛頓力學的相對性原理和伽利略變換研究的問題: 在兩個慣性系中考察同一物理事件實驗室參考系運動參考系牛頓力學的絕對時空：長度和時間的測量與參照系無關。在不同的慣性系中，考察同一物理事件。開始兩個參考系對表開始兩個參考系對表問題：問題：P與與重合時，重合時，oo0ttSoyxoS y xurr,xxyyzzvvu vv vv（一）伽利略變換（一）伽利略變換 Galilean transformationt時刻，物體到達P點S,rxyz t, ,vx y z taS ,r

22、xyz t ,vxyz t a分量式,xxut yy zz tt,xxutyy zz tt正變換逆變換速度變換,xxyyzzvvu vv vv正變換逆變換drvdtdrvdt加速度變換,xxyyzzduaaaa aadt,xxyyzzduaaaa aadt.uconstxxyyzzaaaaaa 正變換逆變換慣性系在兩個慣性系中aa FmaFma（二）牛頓的相對性原理 Newton Principle of relativity:,SF m a牛頓力學中：牛頓力學中：相互作用是客觀的，分析力與參考系無關。質(zhì)量的測量與運動無關。:,SFm a宏觀低速物體的力學規(guī)律在任何慣性系中形式相同?；?牛頓力

23、學規(guī)律在伽利略變換下形式不變?；?牛頓力學規(guī)律是伽利略不變式。3) 高速運動的粒子001 c與參照系無關與參照系無關牛頓力學的困難：2) 光速C 在哪個參考系中測的? 1) 電磁場方程組不服從伽利略變換1. 伽利略變換不是經(jīng)典電磁定律的對稱操作帶電粒子受力：帶電粒子受力：BvqEqF洛侖茲力電場力 因速度 與參考系有關，所以經(jīng)伽利略變換后洛侖茲力將發(fā)生變化，經(jīng)典電磁定律不具有伽利略變換的不變性。推廣：一切與速度有關的力都不具有伽利略變換的不變性。vsinqvBF 洛侖茲力：垂直于 決定的平面vB,2. 與高速運動(光的傳播)的實驗結果不符真空中的光速： c由經(jīng)典電磁理論-1800sm1031c

24、與參考系選擇無關由伽利略變換速度與參考系選擇有關。彼此矛盾！彼此矛盾！地地對對車車光光對對地地光光對對車車vvvuuc )(uc 雙星觀察實驗槍沿圓周運動，并以恒定速率 u 發(fā)射子彈。對雙星星光的觀測，沒有類似結果！光速與光發(fā)射體的運動無關，不遵從伽利略變換。實驗檢驗：觀察者接收到的子彈密度會呈周期性變化。槍對地槍對地彈對槍彈對槍彈對地彈對地vvv 相對性原理的普遍性（對稱性）伽利略變換（經(jīng)典力學）電磁學定律三者無法協(xié)調(diào)解決困難的途徑： 否定相對性原理的普遍性，承認慣性系對電磁學定律不等價，尋找電磁學定律在其中成立的特殊慣性系。 改造電磁學理論，重建具有對伽利略變換不變性的電磁學定律。 重新定

25、位伽利略變換，改造經(jīng)典力學，尋求對電磁理論和改造后的力學定律均為對稱操作的“新變換”。無一例外遭到失敗，愛因斯坦選擇 取得成功。愛因斯坦的選擇來自堅定的信念： 自然的設計是對稱的，不僅力學規(guī)律在所有的慣性系中有相同的數(shù)學形式，所有的物理規(guī)律都應與慣性系的選擇無關。 實驗結果說明，在所有慣性系中，真空中的光速恒為c ，伽利略變換以及導致伽利略變換的牛頓絕對時空觀有問題，必須尋找新的變換，建立新的時空觀。 “愛因斯坦把方法倒了過來，他不是從已知的方程組出發(fā)去證明協(xié)變性是存在的，而是把協(xié)變性應當存在這一點作為假設提出來，并且用它演繹出方程組應有的形式。” 洛侖茲“我尊敬的邁克爾孫博士，您開始工作時，我還是個孩子，只有1米高，正是您將物理學家引向新的道路，通過您精湛的實驗工作，鋪平了相對論發(fā)