2017北京導(dǎo)數(shù)專題匯編

1、海淀期中文科18.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=注1.e(I)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)當(dāng)a0時，求函數(shù)f (x)在區(qū)間0,1上的最小值.答案18.(本小題滿分14分)x -1解：(I)當(dāng) a=1 時，f(x)=- , xWR ex -2所以 f(x)=-L， 2 分e由 f(x) =0 得 x =2. 1 分f(x), f(x)隨x的變化如下:2+0極大值 2分所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(町2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2, 士與.1分/ 、上ax -1 日(口)由 f(x)得e一ax a 1f(x) =x，xE0,1. 1 分e1令 f (x) =0 ,因為 a 0,斛

2、得 x =1十一1. 1分a1_ 一當(dāng)1+-v0時，即一1va 0對x仁0,1怛成立， a所以f(x)在0,1上單調(diào)遞增， 1分所以 f (x)min =f (0) =T ； 1 分 一. 1當(dāng)0 1 + 1時，即a 1時，f(x), f (x)在0,1上的情況如下: a010+極小值a11 ae a一,1所以 f(X)min =f(1 1) aa綜上，當(dāng) _1va0 時，f(x)min =_1；當(dāng) a4時，函數(shù)f(x)存在最小值海淀期末理科已知函數(shù)f (x) dn x-a-1 .x(I )若曲線y = f (x)存在斜率為-1的切線，求實數(shù)a的取值范圍；(n)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(出)設(shè)函

3、數(shù)g(x) = x +a ,求證：當(dāng)1a0時單調(diào)遞增,所以實數(shù)a的取值范圍(-8,0).x a(n)由 f(x)=x_, x0, a = R可得x當(dāng)a0時，f(x) 0 ,所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,十叼；當(dāng) a 0 ,若 xW (0,-a) , f (x) 0 ,所以此時函數(shù) f(x)的增區(qū)間為(a,+),減區(qū)間為(0,a).+ln x _a _1)(田)由 g(x)=a 及題設(shè)得 g(x)=一(_,ln x(ln x) (ln x)由_1a0可彳#0一1,由(n)可知函數(shù)f (x)在(_a,-)上遞增,所以 f (1) = a1 1,aaf (e) =lne 1 = 0 , ee所以存

4、在x0w(1,e)滿足f(xo)=0,即存在 w(1,e)滿足 g(xo) =0,所以g (x), g (x)在區(qū)間(1,土與 上的情況如下：0極小/所以當(dāng)1caH0時，g(x)在(1,F)上存在極小值.a(本題所取的特殊值不唯一，注意到0(x 1),因此只需要ln xo21即可)x海淀一模18.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f (x) =x2 2ax+4(a1)ln( x+1),其中實數(shù) a 3.(I )判斷x =1是否為函數(shù)f(x)的極值點，并說明理由；(n)若f (x) 0在區(qū)間0,1上恒成立，求a的取值范圍.答案18.(本小題滿分13分)解：法1 ：(I)由 f (x) =x2-2ax+

5、4(a-1)ln( x+1)可得函數(shù)定義域為(-1,+至)，2(x-1)x-(a-2)x 1,由 f (x) = 0 得 x1 =1,x2 =a 2 .因為a m3,所以a-21.當(dāng)a1時，a2E1,所以f(x), f(x)的變化如下表：0極小值極小值當(dāng) 1 ：二 a :二 3 時，-J：a-2：1,f(x), f(x)的變化如下表：00極大值 _極小值綜上，x=1是函數(shù)f(x)的極值點，且為極小值點(n)易知 f(0)=0 ,由(I)可知，當(dāng)a M2時，函數(shù)f (x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，所以有f(x)M0恒成立；當(dāng)2af(0)=0,所以不等式不能恒成立；所以a 2時有f (x) 0在區(qū)間

6、0,1上恒成立.法2：(I)由 f (x) =x22ax+4(a1)ln( x +1)可得函數(shù)定義域為(-1,+受)，令 g(x) =x2+(1 -a)x + (a -2),經(jīng)驗證 g=0,因為 a 0 ,說明：寫明 =(1a)2 4(a2) =a2 6a+9=(a3)20也可以由二次函數(shù)性質(zhì)可得，1是g(x) =x2十(1a)x + (a2)的異號零點，所以1是f(x)的異號零點，所以x =1是函數(shù)f (x)的極值點.(n)易知 f(0)=0 ,因為 f (x) = 2(x1)x(a 2), x 1又因為a 3,所以a-21 ,所以當(dāng)aw2時，在區(qū)間0,1上f(x) 0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)

7、遞減，所以有f(x)M0恒成立；當(dāng)2 a 0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(a-2)f(0)=0,所以不等式不能恒成立；所以a M2時有f (x) 0在區(qū)間0,1上恒成立.海淀二模19.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=eax-x.(I)若曲線y =f(x)在(0, f(0)處的切線l與直線x+2y+3=0垂直，求a的值;(n )當(dāng)a =1時，求證：存在實數(shù) x0使f(xj 1.答案19.(本小題滿分13分)解：(I) f (x) =aeax -1，因為曲線y = f(x)在(0, f(0)處的切線與直線x+2y+3=0垂直，所以切線l的斜率為2,所以 f (0) =2 ,所以a =3

8、.(n)法1：當(dāng)aM0時，顯然有f(1)ea 1 W01 ,即存在實數(shù)x0使f(%)0,a 1 時，由 f (x) =0 可信 x = ln -，a a所以在xw (3, Ln1)時，f(x)0,所以函數(shù)f (x)在(gjlnl)上遞減； a a a axW(1ln,為時，f(x)A0,所以函數(shù) f (x)在 Pln1,)上遞增a aa a所以f Jin1)=3(1+ina)是f (x)的極小值. a a a由函數(shù) f(x)=eaxx 可得 f(0)=1,11由 a #1 可得一in - #0 , a a所以 f (1ln)f(0) =1 , a a綜上，若a #1,存在實數(shù)x0使f (x0) 1.(n)法2：當(dāng)aW0時，顯然有f(1)ea 1 E01 ,即存在實數(shù) x使f(%)0,a#1 時，由(。可得*：1， a a所以在x w (vo, 1 ln)時，f(x) (0 ,所以函數(shù) f (x)在(“o,in l)上遞減； a aa axW(1lnL*Hc)時，f(x) 0 ,所以函數(shù)f (x)在(皿1,)上遞增. a aa a所以f (1 in 1) = 1*lna是f (x)的極小