chapt協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一一. .協(xié)方差協(xié)方差二二. .相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)三三. .規(guī)范化隨機變量規(guī)范化隨機變量)(YXD)()(2)()(YEYXEXEYDXD 上節(jié)課方差性質(zhì)上節(jié)課方差性質(zhì)3證明中證明中),cov(2)()(YXYDXD2.計算公式計算公式)()()(),cov(YEXEXYEYX )()(),cov(YEYXEXEYX )()()()(YEXEXYEYXEXYE )()()()()()()(YEXEXEYEYEXEXYE )()()(YEXEXYE 由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可知：由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可知：假設(shè)假設(shè)X X和和Y Y相互獨立，那么相互獨立，那么 cov(X

2、,Y)=0cov(X,Y)=0所以所以)()()(),cov(YEXEXYEYX 3.性質(zhì)性質(zhì) P117 cov(X,Y)= cov(Y,X).cov( aX ,bY)= a b cov(X,Y ),其中其中a,b是常數(shù)是常數(shù).cov(X1+X2,Y)= cov(X1 ,Y) +cov(X2,Y)cov(X,X)= D(X)由方差性質(zhì)由方差性質(zhì)3 3的推導(dǎo)過程和協(xié)方差性質(zhì)可知：的推導(dǎo)過程和協(xié)方差性質(zhì)可知：)Y,Xcov()Y(D)X(D)YX(D2 ),cov(2)()()(22YXabYDbXDabYaXD 假設(shè)假設(shè)X X和和Y Y相互獨立，那么相互獨立，那么 cov(X,Y)=0cov(X

3、,Y)=01.1.規(guī)范化隨機變量規(guī)范化隨機變量 設(shè)設(shè)X X是隨機變量，稱是隨機變量，稱為規(guī)范化隨機變量為規(guī)范化隨機變量. .)(*XDXEXX）（ 顯然：顯然： 1. E(X*)=0，D(X*)=12. 記記，）（)(*XDXEXX ，）（)(*YDYEYY 那么那么*cov(,)cov(,)()( )X YXYD XD Y (定義為相關(guān)系數(shù)定義為相關(guān)系數(shù))設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)是二維隨機變量，當是二維隨機變量，當D(X)0, D(Y)0D(X)0, D(Y)0時，時，稱量稱量為隨機變量為隨機變量X X和和Y Y的相關(guān)系數(shù)或規(guī)范協(xié)方差，記的相關(guān)系數(shù)或規(guī)范協(xié)方差，記作作XYXY，即，即)()(

4、),cov(YDXDYX)()(),cov(YDXDYXXY .定義定義 P1173.3.性質(zhì)性質(zhì)| XY|1| XY|1|XY|=1|XY|=1的充要條件為存在常數(shù)的充要條件為存在常數(shù)a a，b b，使得，使得PY=aX+b=1成立，即成立，即X與與Y以概率以概率1線性相關(guān)線性相關(guān).可以用來表征可以用來表征X與與Y之間線性關(guān)系嚴密程度之間線性關(guān)系嚴密程度XY注：注：的量的量.，若若0 XY稱稱X X和和Y Y不相關(guān)不相關(guān)性質(zhì)性質(zhì)3 3 假設(shè)假設(shè)X X和和Y Y相互獨立，那么相互獨立，那么X X和和Y Y不相關(guān)不相關(guān). .由由X X和和Y Y相互獨立得：相互獨立得：cov(X,Y)=0從而得從

5、而得，0 XY即即X和和Y不相關(guān)不相關(guān).X和和Y不相關(guān)不相關(guān),不一定不一定X和和Y相互獨立相互獨立.Z00.3 0.4 0.322kp且設(shè)且設(shè)X=sinZ, Y=cosZ, 實驗證實驗證X和和Y是不相關(guān)的，是不相關(guān)的，但但X和和Y不是相互獨立的不是相互獨立的.X-1 0 10.3 0.4 0.3kp解：解：Y0 10.6 0.4kpXY 0 1kp那么那么 E(X)=0, E(Y)=0.4, E(XY)=0所以所以 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=00)()(),(YDXDYXCovXYX和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的XY0 1-1010.3 00 0.40.3 0顯然顯然 010

6、, 1YPXPYXP所以所以X和和Y不是相互獨立的不是相互獨立的. 其它其它010 ,|1),(xxyyxf試判別試判別X和和Y能否不相關(guān)，能否相互獨立能否不相關(guān)，能否相互獨立. dxdyyxxfXE),()( 10 xxxdydx32 dxdyyxyfYE),()( 10 xxydydx0 dxdyyxxyfXYE),()( 10 xxxydydx0 )Y(E)X(E)XY(E)Y,Xcov( 0 )(xfX dyyxf),( 其其它它0101xdyxx 其它其它0102xx所以所以)()(),cov(YDXDYXXY 0 所以，所以，X X和和Y Y不相關(guān)不相關(guān))(yfY dxyxf),(

7、 其它其它010101111ydxydxyy 其它其它（010)1(01)1yyyy由于由于)()(),(yfxfyxfYX 所以所以X X和和Y Y不相互獨立不相互獨立即即X X和和Y Y不相關(guān)，但不相關(guān)，但X X和和Y Y不相互獨立不相互獨立，）01 XY0),cov(2 YX）)()()(3YEXEXYE ）)()()(4YDXDYXD ）)()()(5YDXDYXD ），9)( XD，36)( YD，121 XY)(YXD 例例2.2.設(shè)設(shè)求求 ),cov(2)()()(YXYDXDYXD XYYDXDYDXD）()(2)()( 1213692369 42 求求 cov (X ,Y )

8、, cov (X ,Y ), XY XY XY0 1010 pq 00 p 1p + q = 1, 0)( XYE1 )()()(),cov(YEXEXYEYX ,pq )()(),cov(YDXDYXXY 0 1 p qX P 0 1 q pY P ,)(,)(pqXDqXE ,)(,)(pqYDpYE 120012xdxxy dy,X Y（），其其它它21201()0yyxf xy XY 的概率密度為的概率密度為求求45 1404x dx 120012xdxyy dy1403x dx 35 dxdyyxxfXE),()( dxdyyxyfYE),()(1503x dx ()()()(cov

9、 XYE XYE X E Y ）120012xdxxyy dy 12 150 dxdyyxxyfXYE),()(43551 1= =2 212304xx dx 又又 122200()12xE Xdxxy dy 23 22()()()D XE XEX 224( )35275 25 122200()12xE Ydxyy dy150125x dx 22( )()( )D YE YE Y125 223( )55 ()()( )XYcov XYD XD Y 150217525 64 假設(shè)假設(shè) ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ), 那么那么XY 例例5P121例例2假設(shè)假設(shè) ( X

10、,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ),那么那么X ,Y X ,Y 相互獨相互獨立立前知：前知：0假設(shè)假設(shè) ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ),那么那么X ,Y X ,Y 相互獨立相互獨立X ,Y不相關(guān)不相關(guān)由此可知：由此可知：例例6.6.設(shè)設(shè) ( X ,Y ) N ( 1 , 1, 4 , 4 , 0.5 ), Z = ( X ,Y ) N ( 1 , 1, 4 , 4 , 0.5 ), Z = X + Y ,X + Y ,求求 XZ XZ, 4)()(, 1)()( YDXDYEXE1/2,XY ),cov(),cov(YXXZX )()(YXDZD 3/2

11、 ),cov()(YXXD ),cov(),cov(YXXX XYYDXDYDXD)()(2)()( cov(,)() ( )XZX ZD X D Z 64 12 6 12 ()() ( )XYD XD X D Y 第四章第四章 小小 結(jié)結(jié)1. 論述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，要掌握它們論述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，要掌握它們的性質(zhì)與計算，會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)與計算，會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差2 .要熟記兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分要熟記兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差3. 給出了契比雪夫不等式，要會用契比雪夫不等式給出了契比雪夫不等式，要會用契比雪夫不等式作簡單的概率估計。作簡單的概率估計。4. 引進了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它們的引進了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它們的性質(zhì)與計算。性質(zhì)與計算。5 .要掌握二維正態(tài)隨機變量的不相關(guān)與獨立的等要掌握二維正態(tài)隨機變量的不相關(guān)與獨立的等 價性。價性。練習(xí)練習(xí)2(2)181( ),3 2xf xex ()E X 2()D X 91.1.設(shè)設(shè)X X的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)那么那么(, ) (0,0,4,