數(shù)列問(wèn)題求解中的方程的觀念的應(yīng)用

1、數(shù)列問(wèn)題求解中的方程的觀念的應(yīng)用作者：陜西洋縣青年北路教師第二小區(qū) 劉大鳴1 通項(xiàng)公式求解中方程思想的應(yīng)用。a11,a12,a13,a1nA22,a22,a23,a2nan1,an2,an3.ann 求數(shù)列，的通項(xiàng)公式.4 n 個(gè)正數(shù)排成下表所示的n行n列，其中第一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均相等，又a42=1/4,a43=3/8,a24=2,試探求數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式aij.【學(xué)習(xí)體驗(yàn)】 數(shù)列問(wèn)題求解中注意遞推關(guān)系和一般數(shù)列切入點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，常由項(xiàng)數(shù)的任意性和題設(shè)條件構(gòu)建方程組轉(zhuǎn)化求解。1 由項(xiàng)數(shù)的任意性構(gòu)建方程組化歸等比型數(shù)列“累乘法”求解。相減整理有，2 可特殊賦

2、值構(gòu)建方程組求解；若注意等式左端為等比與等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的和，用“錯(cuò)位相減法”構(gòu)建方程組，3：本題實(shí)質(zhì)是求等差型數(shù)列的通項(xiàng)，為降低難度設(shè)計(jì)構(gòu)造了一個(gè)輔助數(shù)列為等比數(shù)列，方程的觀念再用累加法求通項(xiàng).從遞推關(guān)系和題設(shè)入手，則是等比數(shù)列，故，類加法得，簡(jiǎn)析：挖掘題設(shè)條件，將已知用第一行的數(shù)來(lái)表示，構(gòu)建方程組待定首項(xiàng)和公差及公比，從而探求通項(xiàng).由題設(shè)有，1/4=a42=a12q3=(a11+d)q3,a43=a13q2=(a11+2d)q2=3/8,a24=a14q=(a11+3d)q=2,相除再代入易求a11=d=1,q=1/2,則通項(xiàng)公式 2應(yīng)用問(wèn)題中方程思想的應(yīng)用。1(猴子分桃子問(wèn)題) 一

3、大堆桃子是5個(gè)猴子的公共財(cái)產(chǎn)，它們要平均分配。第一猴子來(lái)了，它左等右等，別的猴子都不來(lái)，變動(dòng)手把桃子均分成5堆，還剩1個(gè)，它覺(jué)得自己辛苦了，當(dāng)之無(wú)愧地把這1個(gè)無(wú)法分配的桃子吃掉，又拿走了5堆中的一堆；第二個(gè)猴子來(lái)了，它不知道剛才發(fā)生的情況，又把桃子均分成5堆，還是多1個(gè)，它吃了這1個(gè)，拿走了其中的一堆；以后，每個(gè)猴子來(lái)了，都如此。請(qǐng)問(wèn)原來(lái)至少有多少個(gè)桃子？2 一次競(jìng)賽在n(n>1)輪中共發(fā)了m枚金牌，已知在第一輪中發(fā)了1枚后，又發(fā)了余下的 m-1枚的在第二輪中發(fā)了2枚后，又發(fā)了余下的，直至第n輪正好發(fā)了n枚金牌而沒(méi)有剩下金牌，則在這個(gè)競(jìng)賽中共進(jìn)行了幾輪比賽？一共發(fā)了多少枚金牌？1 簡(jiǎn)析

4、：方程組的觀念構(gòu)建相鄰兩項(xiàng)滿足一階線性關(guān)系的模型,用等比數(shù)列求和或輔助數(shù)列為等比數(shù)列求解。設(shè)第n個(gè)猴子取走桃子后剩余桃子數(shù)為an,則第n+1個(gè)猴子來(lái)時(shí)把桃子分為5堆，還多1個(gè)，它取出應(yīng)得的1堆和多余的1個(gè)桃子，所剩的桃子數(shù)為an+1 注：這個(gè)問(wèn)題是由物理學(xué)家狄拉克提出來(lái)的。79年著名物理學(xué)家李政道在和中國(guó)科技大學(xué)少年班的同學(xué)座談時(shí)向他們提出過(guò)這個(gè)題目，當(dāng)時(shí)，誰(shuí)也沒(méi)有當(dāng)場(chǎng)做出回答.2：構(gòu)建每論所發(fā)金牌數(shù)滿足的關(guān)系，方程組的觀念構(gòu)建相鄰兩項(xiàng)滿足的一階線性遞推關(guān)系，化歸輔助數(shù)列為等比數(shù)列求解。 在第k輪比賽中共發(fā)了枚金牌，依題意有兩式相減整理由題設(shè)知 ，所以求和有 注：本題求解中方程的觀念起指導(dǎo)作用

5、，相鄰兩式相減探求遞推關(guān)系，構(gòu)建輔助數(shù)列求通項(xiàng)再解出所求通項(xiàng)都用方程的觀念溝通。3 用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部專塊的一半多一塊，第二層用去剩下的一半多一塊，依次類推，每層都用去了上層剩下的磚塊的一半多一塊，如果到第九層恰好磚塊用完，那么一共用了多少塊磚？3：研究遞推關(guān)系中，目標(biāo)意識(shí)、方程的觀念解出和的表達(dá)式探究發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。設(shè)共有S筷磚，每次用磚數(shù)依次為：4 一列火車(chē)自A城駛往B城，沿途有n個(gè)車(chē)站（含起點(diǎn)A和終點(diǎn)B），車(chē)上有一解郵政車(chē)廂，每停靠一站變要卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋一個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)，試求第幾站的郵袋數(shù)最多？最多是多少？簡(jiǎn)析：理解實(shí)際意義，每?？恳?/p>

6、站變要卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋一個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)探究其規(guī)律，化歸二次函數(shù)最值，分奇數(shù)和偶數(shù)解決。設(shè)列車(chē)從第K站出發(fā)時(shí)，郵車(chē)內(nèi)共有個(gè)郵袋。第一站不應(yīng)帶走本地發(fā)往下n-1站的郵袋，第二個(gè)車(chē)站除將上站帶來(lái)的n-1個(gè)郵袋留下1個(gè)外，還應(yīng)帶走發(fā)往以后各站的n-2個(gè)郵袋，第三個(gè)車(chē)站除將上兩站帶來(lái)的個(gè)郵袋留下兩個(gè)外（第一、二站來(lái)的郵袋各1個(gè)），還應(yīng)帶走發(fā)往以后各站的n-3個(gè)郵袋，如此類推，第k個(gè)車(chē)站除將前面站帶來(lái)的個(gè)郵袋留下k-1個(gè)外,還應(yīng)帶走發(fā)往以后各站的n-k個(gè)郵袋，【實(shí)戰(zhàn)演練】 2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是N，且f(1)=1滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，求f(

7、n).(n)3學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有兩樣菜A，B可供選擇（每人選一樣菜）調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A菜的下星期一會(huì)有20%改選B，而選B的，下星期一會(huì)有30%的改選A，若用An,Bn分別表示在第n個(gè)星期分別選A，B的人數(shù)，若A1=a,B1=b,(a,b為自然數(shù))，求An,Bn. 1 由一般數(shù)列的切入點(diǎn)構(gòu)建方程組，化歸等比型數(shù)列求通項(xiàng)，方程組的觀念累乘法求得2以抽象函數(shù)背景出現(xiàn)，創(chuàng)造使用對(duì)應(yīng)法則，由一般數(shù)列的切入點(diǎn)構(gòu)建方程組，化歸為“等差型數(shù)列”用“累加法求通項(xiàng)”.賦值探求相鄰項(xiàng)關(guān)系。令x=n,y=1,則f(n+1)=f(n)+f(1)+n,變形有，f(n+1)-f(n)=n+1.故f(n)=an為“等差型數(shù)列”，取n-1個(gè)等式累加有，an=(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)+a1=2+3+4+n+1=3簡(jiǎn)析：閱讀理解基礎(chǔ)上，方程組的觀念構(gòu)建相鄰項(xiàng)之間的線性遞推關(guān)系。易得，An+1=0.8An+0.3Bn,Bn+1=0.2An+0.7Bn,而已知有，An+Bn=1000,所以有，An+1+Bn+1 =An+Bn=1000代入上式可得相鄰項(xiàng)間的遞推關(guān)系式為，An+1=0.5An+300,Bn+