教學(xué)內(nèi)容齊次方程

1、教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：齊次方程，一階線性微分方程教學(xué)目的：教學(xué)目的： 了解齊次方程的概念，會(huì)解齊次方程;了解一階線性微分方程的概念，熟練掌握一階線性方程的解法；會(huì)解伯努利方程并從中領(lǐng)會(huì)用變量代換求解方程的思想。教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)：齊次方程的求解;一階非齊次線性微分方程的求解。 第十章 常微分方程一、齊次方程形如 d( )dyyxx的方程，稱為齊次方程。 例如 222d()d0 xyyxyx(1) (2)2233()d()0 x yxyxxy在齊次方程 d( )dyyxx中，令 yux，化簡并整理有 dd( )uxuux求出積分后，再以 yx代替 u，即可求得齊次 方程的通解。 例1

2、求微分方程 222d(2)d0 xyyxyx的通解。 解：原方程可化為 dd2yyxxyx令 yux，有 d1d2uuxuxu可得 d2 dxu ux解得 2lnuxC 通解為： 22(ln)yxC x例2 求下列微分方程得通解： dtandyyyxxxdlndyyxyxx332()d3d0 xyxxyy（1） （2）（3）例3 求微分方程 2yxyxy 滿足初始條件 16xy的特解。 例4 求微分方程 22d()d0 xyxxyy 的通解。 二、一階線性微分方程定義 形如 d( )( )dyP x yQ xx的方程稱為一階線性微分方程。 如果 ( )0Q x ，則稱為一階線性齊次微分方程；如

3、果 ( )Q x不恒等于零，則 稱為 一階線性非齊次微分方程。 首先，研究一階線性非齊次微分方程 d( )( )dyP x yQ xx相應(yīng)的 一階線性齊次微分方程： d( )0dyP x yx有： d( )dyP xxy 解得： ( )dP xxyCe用常數(shù)變易法，令： ( )dP xxyue，其中 ( )uu x為待定函數(shù)， 代入原非齊次微分方程 d( )( )dyP x yQ xx，可解得： ( )d( )dP xxuQ x exC因此，非齊次微分方程 d( )( )dyP x yQ xx的通解為： ( )d( )d( )d)P xxP xxyeQ x exC通解也可以寫成： ( )d( )d( )d( )dP xxP xxP xxyCeeQ x ex例1 求微分方程 2d2dxyxyex的通解。 解 令： d20dyxyx解得： 2xyCe用常數(shù)變易法，令： 2xyue帶入 2d2dxyxyex，化簡，有： 1u，即 uxC通解為： 2()xyxC e例2 求下列微分方程的通解：（1）d26dyxyxx （2）tansin2yyxx解（1） 令 d20dyxyx解得： 2xyCe用常數(shù)變易法，令： 2xyue代入 d26dyxyxx，化簡后解得： 23xueC通解為： 23xyCe（2）令 tan0yyx解得： cosyCx用常