八年級數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)（一）平移與旋轉(zhuǎn)、平行四邊形華東師大版知識精講

1、初二數(shù)學(xué)初二數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)（一）平移與旋轉(zhuǎn)、平行四邊形期中復(fù)習(xí)（一）平移與旋轉(zhuǎn)、平行四邊形華東師大版華東師大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 期中復(fù)習(xí)（一）平移與旋轉(zhuǎn)、平行四邊形教學(xué)目標 1. 理解平移、旋轉(zhuǎn)的基本概念，掌握平移旋轉(zhuǎn)的基本特征，并能利用軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)或它們的組合進行圖案設(shè)計，以及應(yīng)用圖形的基本變換于實際生活中。 2. 認識平行四邊形，掌握平行四邊形特征及識別方法，并能根據(jù)圖形特征及識別方法解決簡單的推理與計算等問題，學(xué)會合情推理與數(shù)學(xué)說理。二. 重點、難點： 教學(xué)重點： 1. 圖形的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、中心對稱的基本特征。 2. 平行四邊形的特征和識別方法。

2、 教學(xué)難點： 1. 能按要求作出簡單的平面圖形的平移后的圖形，旋轉(zhuǎn)后的圖形，理解中心對稱圖形。 2. 綜合利用平行四邊形的特征和識別方法來解決實際問題。知識網(wǎng)絡(luò) 圖形之間的變換關(guān)系軸對稱連結(jié)對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分平移連結(jié)對應(yīng)點的線段平行 或在同一條直線上 且相等對應(yīng)線段平行 或在同一條直線上 ，并且相等旋轉(zhuǎn)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度旋轉(zhuǎn)對稱中心對稱在軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)這些圖形變換下，線段的長度不變；角的大小不變()()【典型例題典型例題】 例 1. 如圖所示，請你先觀察，然后確定第四張圖形為（ ） 分析：分析：首先觀察圖形，從（1）到（2）再到（3）

3、是怎么變換得到的，按照規(guī)律確定（4）的圖狀。 解：解：C 例 2. 如圖，這是兩張大小、形狀完全相同的圖案，它們完全重合地疊放在一起，按住下面的圖案不動，將上面的圖案繞 O 點順時針旋轉(zhuǎn)，至少旋轉(zhuǎn)_度角后，兩張圖案構(gòu)成的圖形是中心對稱圖形。 分析：分析：提示兩點：1. 把圖形抽象成線段；2. 目前圖形是軸對稱圖形，要構(gòu)造成旋轉(zhuǎn)180與自身重合的中心對稱圖形，該圖應(yīng)作何種變換旋轉(zhuǎn)怎么轉(zhuǎn)至少多少度。 解：解：60 例 3. 如圖，ABC 與CDE 都是等邊三角形，D 為 AE 上一點。 試說明：ADBE； 如果將CDE 繞點 C 沿順時針方向旋轉(zhuǎn) ，ADBE 還成立嗎？ 分析：分析：要說明 ADB

4、E，應(yīng)首先找到 AD、BE 所在的兩個三角形，從圖中很容易看出是ADC、BEC，若這兩個三角形通過某種變換重合，則對應(yīng)邊相等。 解：解：ABC 為等邊三角形 BCAC，ACB60 DEC 為等邊三角形 DCEC，DCE60 ACBDCE ACB1DCE1 即23 由于 ACBC，23，DCEC 所以ADC 繞點 C 逆時針旋轉(zhuǎn) 60與BCE 重合。 BEAD。 分析：分析：若將CDE 繞點 C 順時針方向旋轉(zhuǎn) ，看 ADBE 是否成立實質(zhì)是看在CDE 繞點 C 順時針方向旋轉(zhuǎn) 后，ADC 還能否與BCE 重合，若可以，則ADBE 成立，否則不成立。 解：解：ADBE 仍然成立。 例 4. 在A

5、CD 中，已知ACD120，把ACD 繞頂點 C 逆時針旋轉(zhuǎn) 60得到BCE。 （1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。 （2）連結(jié) AB、DE，試判定ABC 和CDE 的形狀。 （3）若 AD 交 EC 于 N，BE 交 AC 于 M，試判斷ACN 與BCM，線段 MN 與 BD有何關(guān)系。 分析：分析：（1）畫旋轉(zhuǎn)后的圖形，只須畫出其關(guān)鍵點旋轉(zhuǎn)后的圖形，可先畫出旋轉(zhuǎn)角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后圖形的對應(yīng)線段相等確定旋轉(zhuǎn)后的圖形的對應(yīng)點。 （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得ACBDCE60，ACBC，CECD，從而可以判定ABC、CDE 的形狀。 （3）將ACN 繞頂點 C 逆時針旋轉(zhuǎn) 60，你會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？此時MCN 是

6、什么形狀的三角形？由此定會得出 MN 與 BD 的位置關(guān)系。 解：解：（1）如圖，作ACB60，DCE60 在 CB、CE 上取點 B 和 E，使 CBCA，CECD，連 BE，則BCE 是旋轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示。 （2）ABC 和CDE 都是等邊三角形且 B、C、D 三點在一條直線上。 BCE 是ACD 繞頂點 C 逆時針旋轉(zhuǎn) 60得到的，且ACD120 ACBACEECD60，ACBC，CECD（旋轉(zhuǎn)三角形的旋轉(zhuǎn)角相等，對應(yīng)線段相等） ABC 和CDE 都是等邊三角形。 （3）在前面的旋轉(zhuǎn)中，N 與 M 是對應(yīng)點，BCM 是由ACN 繞頂點 C 逆時針旋轉(zhuǎn)60而得到的，則ACNBCM 所以

7、 CMCN，又MCN1206060 MCN 是等邊三角形 MNC60DCE 所以，MNBD。 例 5. 我們知道：由于圓是中心對稱圖形，所以過圓心的任何一條直線都可以將圓分割成面積相等的兩部分（如圖 1） 探索下列問題： （1）在圖 2 給出的四個正方形中，各畫一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成 45角的直線和任意的直線），將每個正方形都分割成面積相等的兩部分；圖 2 （2）一條豎直方向的直線 m 以及任意的直線 n，在由左向右平移的過程中，將正六邊形分成左右兩部分，其面積分別記為。SS12和 請在圖 3 中相應(yīng)圖形下方的橫線上分別填寫 S1與 S2的數(shù)量關(guān)系式（用

8、“”，“”，“”連接）；圖 3 請在圖 4 中分別畫出反映三種大小關(guān)系的直線 n，并在相應(yīng)圖形下方的橫線SS12與上分別填寫的數(shù)量關(guān)系式（用“”，“”，“”連接）。SS12與圖 4 是否存在一條直線，將一個任意的平面圖形（如圖 5）分割成面積相等的兩部分？請簡略說出理由。（圖 5）圖 5 分析：分析：（1）由圖 1 得到經(jīng)過圓心任一條直線均可將圓面積兩等分；由圖 2 正方形及探索問題（1）提示在水平方向、豎直方向，與水平方向成 45角的方向，可探索出經(jīng)過正方形中心的任一條直線均可將正方形面積分成兩部分。 （2）通過圖 3、圖 4 可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在直線 m 或 n 平移過程中 S1與 S2呈現(xiàn)，S

9、S12的變化趨勢，所以在圖 5 中一定有一時刻一條直線可將圖形分成兩個面SSSS1212，積相等的部分。 答：答：（2）；SSSSSS121212， SSSSSS121212， （3）存在一條直線，將平面圖形分成面積相等的兩部分，因為由的規(guī)律可以看出，一條直線分割平面圖形的面積從左至右的變化趨勢是小于、等于、大于，所以圖 5 中一定有一個時刻是面積相等的。 例 6. 如圖（1），六邊形 ABCDEF 中，ABDE，AFCD，BCEF，ABDE，BCFE，對角線FDBD，F(xiàn)D24cm，BD18cm，你能求出六邊形 ABCDEF 的面積嗎？圖（1） 分析：分析：本題初看似乎無法求解，但仔細觀察，題

10、中有彼此平行且相等的三組線段：ABDE、AFCD、BCFE，又知ABDE，BCFE，F(xiàn)DBD，于是可以大膽設(shè)想：如圖（2），將六邊形 ABCDEF 剪成BCD、DEF 和四邊形 AFDB，并將DEF平移到BAG 的位置；將BCD 平移到GAF 的位置，則拼成的圖形是一個長方形 BDFG。因此六邊形 ABCDEF 的面積等于長方形 BDFG 的面積。圖（2） 解：解：我們可運用平移的知識進行如下操作： 如圖 2，將DEF 平移到BAG 的位置； 將BCD 平移到GAF 的位置。 于是六邊形 ABCDEF 的面積就轉(zhuǎn)化為求矩形 BDFG 的面積。 六邊形 ABCDEF 的面積為 2418432cm

11、2。 例 7. 如圖（1），在ABC 中，D 是 AB 的中點，E 是 AC 的中點，判斷 DE 與 BC 的關(guān)系？圖（1） 分析：分析：要判斷 DE 與 BC 在長度和位置上的關(guān)系，由于條件分散，必須將這些分散的條件集中起來，注意到 E 是 AC 的中點，若將ADE 繞 E 點旋轉(zhuǎn) 180，看發(fā)生了什么變化，能得到什么圖形。再利用這種圖形的性質(zhì)解決問題。 解：解：如圖（2），將ADE 繞 E 點旋轉(zhuǎn) 180圖（2） E 是 AC 的中點 A 旋轉(zhuǎn)到了 C 點 旋轉(zhuǎn)角是 180 D 點的對應(yīng)點 F 在 DE 的延長線上， CEF 是旋轉(zhuǎn)后的三角形 CFAD，CFAD， EFDE（中心對稱圖形的

12、性質(zhì)） ADBD CFBD 四邊形 BCFD 是平行四邊形 DFBC，DFBC DEBC，DEBC12 例 8. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，DE 平分ADC，交 CB 的延長線于 E，BF 平分ABC，交 AD 延長線于 F，求證：四邊形 BFDE 為平行四邊形。 分析：分析：若證四邊形 BFDE 為平行四邊形，發(fā)現(xiàn) DF 與 AD 共線，BE 與 BC 共線，所以DFBE，只須再證 DFBE 或 DEBF 即可。 由于已知 DE、BF 分別為ADC、ABC 的平分線，可證出 DEBF。 于是推出四邊形 BFDE 為平行四邊形，理由是兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形。 證明：證明：

13、平行四邊形 ABCD， ADBC，ADCABC，DCAB DE 平分ADC，BF 平分ABC ，112212ADCABC 12 DCAB 23 13 BFDE DFBE 四邊形 FDEB 為平行四邊形。 例 9. 如圖，ABC 中，D 是 AB 中點，E 是 AC 上一點，EFAB，DFBE。 （1）猜想：DF 與 AE 間的關(guān)系是_ （2）證明你的猜想。 分析：分析：兩線段關(guān)系，通常指位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系兩種。 證明：證明：連結(jié) AF、DE， EFAB，DFBE 四邊形 DBEF 為平行四邊形 EFBD D 是 AB 中點 ADBD ADEF EFAD 四邊形 ADEF 為平行四邊形 AE、D

14、F 互相平分 例 10. 在等邊ABC 中任取一點 P，過 P 做 PEBC，PGAC，PMAB，請同學(xué)們探索 PEPGPM 與等邊三角形邊長之間的關(guān)系？ 分析：分析：（1）準確畫出圖形。 （2）由已知給出的三個平行關(guān)系，聯(lián)想到構(gòu)造平行四邊形。 （3）利用平行四邊形的邊之間關(guān)系，借用等邊ABC 中每個角 60，即可構(gòu)造出三個小等邊三角形。 結(jié)論很容易得出。 證明：證明：延長 EP、GP、MP 分別交 AC、AB、BC 于 F、H、N PMAB，PGAC 四邊形 AHPM 為平行四邊形， PMAH，PHAM， 同理：PNBE，PEBN，PGFC，PFGC ABC 為等邊三角形，A60 PMAB，

15、1A60 同理260，PMF 為等邊三角形。 PFPMMF AHPMPFFMGC 同理可證：AMPHPEEHBN，BEPNPGNGFC， PEPGPM 與ABC 邊長相等。 例 11. 已知三條線段的長分別為 22cm，16cm，18cm，以哪兩條線段為對角線，其余一條為一邊，可以畫出平行四邊形。 分析：分析：四邊形作圖問題，通常轉(zhuǎn)化為三角形作圖問題來解決。 本題可先利用平行四邊形對角線互相平分的特征和三角形三邊關(guān)系確定平行四邊形對角線與邊的關(guān)系，從而進行判斷。 解：解：如圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形，在AOB 中 OBOAABOAOB 即BDACABACBD22 22162182216

16、2 以 22cm，16cm 長的線段為對角線，18cm 長的線段為邊可以畫出平行四邊形。 同理可驗證出以 22cm、18cm 長的線段為對角線，以 16cm 長的線段為邊也可畫出平行四邊形。 例 12. 如圖，是 101 中學(xué)內(nèi)一個不規(guī)則湖的平面圖，在 A、B、C、D 四角上各有一盞路燈，現(xiàn)決定將此湖修整，使修整后的湖的面積為現(xiàn)在面積的 2 倍，且成平行四邊形狀，其中四盞路燈要保留，請你幫助學(xué)校設(shè)想方案？ 分析：分析：想一想：（1）要保留的四盞燈在什么位置，才能保留下來？（2）如何將面積擴大一倍；（3）做什么變換出平行四邊形。 解：解：（1）要想保留四盞燈 A、B、C、D 應(yīng)在平行四邊形的邊上

17、。 （2）平行四邊形的一邊的兩端點和對邊上任意一點構(gòu)成的三角形的面積均是平行四邊形面積的。12 過 A 作 EHBD，過 C 做 FGBD，過 B 做 EFAC，過 D 做 GHAC。 （3）四邊形 EFGH 即為所求作的平面圖。【模擬試題模擬試題】一、選擇題 1. 觀察圖 1 中的四個平面圖形，是中心對稱圖形的有（ ）圖 1 A. 2 個B. 1 個C. 4 個D. 3 個 2. 下列旋轉(zhuǎn)對稱圖形中，旋轉(zhuǎn) 10，20，30，180后都能與自身重合的圖形是（ ） A. 正方形B. 正十邊形 C. 正二十邊形D. 正三十六邊形 3. 下列圖形中，ABC 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后不能得到ABC的是（ ） 4.

18、 如圖 2，若ABC 可以看作是由DEF 經(jīng)平移得到的，已知 AB3，BE2，則BD（ ）圖 2 A. 1B. 2C. 3D. 5 5. 在平行四邊形、矩形、菱形、等腰三角形四個圖形中，既是中心對稱又是軸對稱圖形的有（ ） A. 1 個B. 2 個C. 3 個D. 4 個 6. 在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點O，AC20cm，BD30cm，BC24cm，則OBC 的周長是（ ） A. 37cmB. 49cmC. 39cmD. 45cm 7. 在平行四邊形 ABCD 中，BA30，則A，B，C，D 的度數(shù)分別是（ ） A. 95，85，95，85 B. 85，95，8

19、5，95 C. 105，75，105，75 D. 75，105，75，105二、填空題 1. 在平行四邊形 ABCD 中，AC270，則B_，C_。 2. 如圖 3 所示，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中點，F(xiàn) 是 BA 延長線上的一點，?；卮鹣铝袉栴}：AFAB12圖 3 （1）可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪種方法使ABE 變到ADF 的位置？要具體敘述。 答：_。 （2）指出線段 BE 與 DF 之間的關(guān)系。 答：_。 3. 如圖 4，平行四邊形 ABCD 中，AEDC 于 E，AFBC 于 F，B60，則FAE_度。圖 4三、作圖題： 畫出圖 5 中ABO 繞 O 順時針旋轉(zhuǎn) 60后的圖形。圖 5四、說明題：（第 19、20 小題每小題 5 分，第 21 小題 10 分，共 20 分） 1. 如圖 6，在平行四邊形 ABCD 中，AECF，說明四邊形 EBFD 是平行四邊形。圖 6 2. 如圖 7，在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點 O，已知 AECF，試說明四邊形 BFDE 是平行四邊形。圖 7 3. 在ABC 中，ABAC，P 是 B