高中物理競(jìng)賽培訓(xùn)第二十講 磁場(chǎng)對(duì)電流的作用和電磁感應(yīng)

1、高中物理競(jìng)賽培訓(xùn)第二十講 磁場(chǎng)對(duì)電流的作用和電磁感應(yīng)知識(shí)點(diǎn)擊1安培力作用下的載流導(dǎo)線和載流線圈安培力：長(zhǎng)為L(zhǎng)電流強(qiáng)度為I的載流導(dǎo)線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，電流元的方向與 之間的夾角為，則電流元所受安培力為FIBLsin，力的方向可由左手定則確定 磁場(chǎng)對(duì)載流平面線圈的作用：勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，平面載流線圈各電流元所受力的矢量和為零，即，但線圈受一力矩作用，其力矩大小為MISBsin2帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)洛倫茲力：磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用力稱之為洛倫茲力若帶電粒子所帶電量為q，速度為，則運(yùn)動(dòng)粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的一點(diǎn)所受洛倫茲力的大小為。洛倫茲力總是與粒子運(yùn)動(dòng)速度垂直，洛倫茲力不做功，它不能改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的大小，

2、只能改變速度的方向，使其運(yùn)動(dòng)路徑發(fā)生彎曲帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)：設(shè)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，一電量為q、質(zhì)量為m的粒子，以初速度進(jìn)人磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) （a），粒子在磁場(chǎng)中作勻速直線運(yùn)動(dòng) （b），方向垂直于和，帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 周期 （c）和成一任意夾角，我們把分解為與平行的分量和垂直分量。粒子所作的運(yùn)動(dòng)是上面兩種運(yùn)動(dòng)的疊加，粒子作螺旋運(yùn)動(dòng)，螺旋半徑，運(yùn)動(dòng)的周期，其螺距 3電磁感應(yīng)的基本定律 感生和動(dòng)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)法拉第電磁感應(yīng)定律：閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 與穿過回路的磁通量的變化率 成正比。這就是法拉第電磁感應(yīng)定律，即，或楞次定律：閉合導(dǎo)體回路中感應(yīng)電流的方向，總是

3、使得感應(yīng)電流所激發(fā)的磁場(chǎng)阻止引起感應(yīng)電流的磁通量的變化，這個(gè)結(jié)論就是楞次定律動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)：法拉第電磁感應(yīng)定律告訴我們：只要閉合回路的磁通量發(fā)生變化，回路中就有電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，而不管磁通量的變化是怎樣引起的而，造成中變化的原因有下列三種情況：第一是、不變，但回路的一部分切割磁感線運(yùn)動(dòng)使得回路面積改變導(dǎo)致變；第二是、S不變，但變，即回路在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)，使回路所包圍的面與的夾角改變而導(dǎo)致變；第三是S、不變，但變導(dǎo)致必變 第一、二種情況是由于線圈回路的一部分或整體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)使得通過回路的磁通量改變而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這類感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱之為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)；動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)對(duì)應(yīng)的非靜電力是洛倫茲力，當(dāng)ab導(dǎo)體在勻

4、強(qiáng)磁場(chǎng)中向右以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由電子受到向下的洛倫茲力的作用：，而其電動(dòng)勢(shì)為單位正電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極過程中洛倫茲力所做的功：。 若導(dǎo)線的方向不與垂直，而夾角為時(shí)，則導(dǎo)線內(nèi)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為。第三種情況是磁場(chǎng)的變化使得回路的磁通量改變而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這種感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱之為感生電動(dòng)勢(shì)4自感和互感 自感：因線圈內(nèi)電流變化而在線圈自身引起感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象稱為自感現(xiàn)象所產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)稱為自感電動(dòng)勢(shì) 根據(jù)畢奧一薩伐爾定律，通過線圈的磁通量與線圈中電流成正比：根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，自感電動(dòng)勢(shì)為 互感：1，2線圈中的電流I1和I2可在線圈2，1中產(chǎn)生磁通量，而當(dāng)I1和I2變化時(shí)，可在線圈2和1中產(chǎn)生感

5、應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這種現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象，所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱為互感電動(dòng)勢(shì) 設(shè)線圈1中的電流I1在線圈2中產(chǎn)生的磁通量為12，線圈2中的電流I2在線圈1中產(chǎn)生的磁通量為21，根據(jù)畢奧薩伐爾定律：12=MI1 21=MI2 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律： 利用配速度的方法處理帶電粒子在電磁場(chǎng)中的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的問題。例1在空間有相互垂直的場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。如圖11一1所示，一電子從原點(diǎn)靜止釋放，求電子在y軸方向前進(jìn)的最大距離。分析和解：雖然電子在O點(diǎn)速度為0，但也可設(shè)想其具有沿x方向的速度和逆x軸方向的，滿足，與所對(duì)應(yīng)的洛倫茲力沿y軸反方向，與電子所受電場(chǎng)力平衡。與對(duì)應(yīng)的洛倫茲力與y軸同向

6、。電子的運(yùn)動(dòng)可視為一個(gè)速率為的沿x軸正向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)速率為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成，對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)有，而利用微元法處理長(zhǎng)直電流與圓形電流的相互作用的問題。例3如圖11一3所示，有一無限長(zhǎng)直線電流I0，另有一半徑為R的圓形電流I，其直徑AB與此直線電流近似重合試求 （1）半圓弧AaB所受作用 力的大小和方向； （2）整個(gè)圓形電流所受的作用力的大小和方向。分析和解：（1）半圓電流所受磁力見圖11一3 ( b) ，在AaB弧上的C點(diǎn)取一電流元，其所在處的磁感強(qiáng)度方向垂直紙面向里，大小為則電流元上所受到的安培力為，方向沿徑向?，F(xiàn)將分解到x軸和y軸，考慮到對(duì)稱性，方向沿x軸正方向。 （2）由于左半圓

7、AbB的電流與右半圓AaB的電流等值反向且與I0對(duì)稱，所處空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度也是對(duì)稱反向的，故兩半圓所受安培力等值同向，都沿x軸正向，那么利用圓電流近似處理為無限長(zhǎng)載流直線的方法處理對(duì)稱圓形電流間的相互作用的問題。例4（1）圖11一4所示是兩根相同的導(dǎo)線環(huán)A與B。中心都在z軸上，兩導(dǎo)線環(huán)分別位于平面。為了使兩環(huán)互相排斥，它們通的電流方向應(yīng)是相同還是相反？（2）一個(gè)通以電流的導(dǎo)線圓環(huán)能在不用任何器械的情況下漂浮在水平的超導(dǎo)平面之上。假設(shè)A就是這樣一個(gè)均勻圓環(huán)，它的質(zhì)量為M，且它的半徑r遠(yuǎn)大于它和超導(dǎo)平面的距離h，平面z=0就是超導(dǎo)平面證明達(dá)到平衡時(shí)的高度，即導(dǎo)線環(huán)A離超導(dǎo)平面的距離。（3）如果飄浮

8、的環(huán)在垂直方向上振動(dòng)，求振動(dòng)的周期。分析和解：（1）因?yàn)閞>>h，所以可將兩導(dǎo)線環(huán)看作兩根長(zhǎng)的平行導(dǎo)線，要它們相互排斥，電流方向必須相反。 （2）因超導(dǎo)體內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，為抵消A產(chǎn)生的磁力線穿過超導(dǎo)面，即在超導(dǎo)面下，與A對(duì)稱處有線圈B，其中電流大小與A中相同，而方向相反。A與超導(dǎo)面的作用相同于A、B兩線圈的作用，把兩環(huán)看作兩根長(zhǎng)的平行導(dǎo)線，因而A所受的磁場(chǎng)力為當(dāng)平衡時(shí)磁場(chǎng)力應(yīng)等于重力Mg，所以，即。 （3）在平衡位置附近，可令，為一相對(duì)平衡位置的小位移，而合力等于重力和磁場(chǎng)力的合成，即 振動(dòng)的角頻率為：振動(dòng)周期為：帶電粒子在感生電場(chǎng)作用和變化的磁場(chǎng)作用下做加速圓周運(yùn)動(dòng)的問題。例5

9、一個(gè)長(zhǎng)的螺線管包含了另一個(gè)同軸的螺線管（它的半徑R是外面螺線管的一半）。它們的線圈單位長(zhǎng)度具有相同的圈數(shù)，且初始時(shí)都沒有電流。在同一瞬間，電流開始在兩個(gè)螺線管中線性增長(zhǎng)。在任意時(shí)刻，里邊的螺線管中的電流為外邊螺線管中的兩倍，它們的方向相同。由于增長(zhǎng)的電流，一個(gè)初始靜止的處于兩個(gè)螺線管中間的帶電粒子，開始沿著一根圓形的軌道運(yùn)動(dòng)（見圖11一5）。問圓的半徑r為多少？分析和解：在t時(shí)刻外邊螺線管中的電流為，在里邊的螺線管中的電流為，其中是一個(gè)常數(shù)。由這些電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)在外邊螺線管中為，而在里邊螺線管中為3B，其中n為單位長(zhǎng)度上螺線管的圈數(shù)。由半徑為r的粒子軌道所包圍的磁通量為感生電場(chǎng)的大小可以從磁場(chǎng)

10、隨時(shí)間的變化率計(jì)算得出：，因此帶電粒子由磁場(chǎng)限制在它的圓形軌道上，因此，從作用在它上面的力的總的徑向分量為零，我們可以得到 根據(jù)公式，粒子由合力的切向分量沿著它的圓形軌道加速，其中m是質(zhì)量，q是粒子的電荷。當(dāng)電場(chǎng)力的大小恒定時(shí)，粒子的速度隨時(shí)間均勻地增加，把上式和B的值代入方程，我們得到滿足上式的條件為，即運(yùn)用微元法和節(jié)點(diǎn)定律解電路中的自感電動(dòng)勢(shì)的問題。例7如圖11一7(a)所示的電路中，已知，R，r，L，電源內(nèi)阻不計(jì)，電感內(nèi)阻為r。問閉合電鍵K后，有多少電量通過無電阻導(dǎo)線ab？分析和解：當(dāng)閉合電鍵K后，由于電感L的存在，支路ad段上的電流從零逐漸增大，直至電流達(dá)到穩(wěn)定。當(dāng)電流穩(wěn)定時(shí)，電感中無

11、感生電動(dòng)勢(shì)，所以節(jié)點(diǎn)a和b的電勢(shì)相同，無電流流動(dòng)。在電流達(dá)到穩(wěn)定之前，支路ad和bc中電流不等，而由兩個(gè)R并聯(lián)的兩支路中電流相等，所以將有電荷通過導(dǎo)線ab。設(shè)自閉合K到電流穩(wěn)定的過程中任一時(shí)刻，各支路中的電流如圖11一7 (b)所示。由無阻導(dǎo)線ab相連的兩點(diǎn)a和b電勢(shì)始終相等。因此，流經(jīng)R的電流應(yīng)相等，即 寫出a點(diǎn)節(jié)點(diǎn)方程： 將每一時(shí)刻看成穩(wěn)恒電流，得 K閉合后L上電流漸增，回路abcda有方程即 利用式、，得 聯(lián)立式、得到 從閉合K直至電流穩(wěn)定，易知從零增加到 所以可以對(duì)式兩邊整個(gè)過程求和，得到通過ab的電量：變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)帶電小球的切向作用力形成力矩的剛體的角動(dòng)量問題。例8如圖11

12、8所示，在一個(gè)半徑為r，質(zhì)量為m，可以無摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)的勻質(zhì)絕緣圓盤中部有一細(xì)長(zhǎng)螺線管，其半徑為a，沿軸線方向單位長(zhǎng)度上繞有n匝線圈，線圈中通以穩(wěn)恒電流I。在圓盤的邊緣上均勻地嵌著N個(gè)帶等量正電荷q的小球。設(shè)開始時(shí)，螺線管中的電流為I，圓盤靜止，然后將電流切斷，試求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。分析和解：設(shè)螺線管電流切斷后，在t時(shí)間內(nèi)電流從I減為零，在此過程中任意時(shí)刻t的電流表示為i(t)，則在t時(shí)刻由i(t)產(chǎn)生的磁場(chǎng)B(t)為 B(t)0 ni（t）B的方向沿軸向，B(t)將隨i(t)減小為零，變化的B(t)產(chǎn)生環(huán)狀渦旋電場(chǎng)，在r處的渦旋電場(chǎng)E(t)應(yīng)滿足即因i（t）隨時(shí)間減小，。E(t)0。即渦旋電

13、場(chǎng)的方向與電流的方向一致。在半徑為r的圓周上嵌著的N個(gè)帶電小球所受的總切向力為它相對(duì)轉(zhuǎn)軸形成的力矩為 由剛體的角動(dòng)量定理，在電流從I減小為零的t時(shí)間內(nèi)，剛體所獲得的全部沖量矩等于它的角動(dòng)量的增量。因開始時(shí)剛體（圓盤）靜止，角動(dòng)量為零，故有圓盤繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為代入上式，得出電流降為零后，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為。類型八、超導(dǎo)框在非均勻磁場(chǎng)中振動(dòng)的問題。例9有一邊長(zhǎng)為a的正方形小框，由不會(huì)發(fā)生形變的、電阻為零的超導(dǎo)體材料制成，置于非均勻磁場(chǎng)中，的三個(gè)分量為，式中、為常量，線框的自感系數(shù)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，水平放置，如圖11一9所示。試確定小線框的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即在t時(shí)刻小線框所處的位置。設(shè)在t=0時(shí)，小線框的

14、中心O在坐標(biāo)原點(diǎn)。分析和解：（1）與一般導(dǎo)體在非均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí) 情況不同，無論磁場(chǎng)均勻與否，超導(dǎo)體框內(nèi)的磁通量恒保持不變。為了確定其值，我們可利用t=0時(shí)的值即。 （2）線框中電流強(qiáng)度的計(jì)算，小線框中電動(dòng)勢(shì)為零，但電流不為零，這是超導(dǎo)體一個(gè)特殊的電磁性質(zhì)。怎樣確定這個(gè)電流I的大小？這里的關(guān)鍵在于正確理解超導(dǎo)線框內(nèi)的為什么不變。當(dāng)線框從t=0受重力作用開始下滑，其外磁場(chǎng)通過線框的通量因z<0實(shí)際上是減小了，因而產(chǎn)生了感應(yīng)電流，這個(gè)感應(yīng)電流I的磁場(chǎng)是補(bǔ)償線框回路中磁通量減小，所以線框內(nèi)的總磁通量保持不變。線框位置為z處時(shí)感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁通量為。利用電流與磁通量成正比的關(guān)系有，從而得到，式中L為線圈的自感。（3）線框受力分析，線框受到沿z軸負(fù)方向的力，線框中的電流受到外磁場(chǎng)作用的安培力。Bz對(duì)線框產(chǎn)生的力，AB與CD邊上受力大小相等，