韋達(dá)定理在解析幾何中的應(yīng)用

1、韋達(dá)定理在解析幾何中的應(yīng)用陳歷強(qiáng)一，求弦長(zhǎng) 在有關(guān)解析幾何的高考題型中不乏弦長(zhǎng)問(wèn)題以及直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題。求直線與圓錐曲線相交所截得的弦長(zhǎng)，可以聯(lián)立它們的方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出，但計(jì)算比較麻煩。能否另擗捷徑呢？能！仔細(xì)觀察弦長(zhǎng)公式：AB=x1-x2=或AB=y1-y2 = ， 立刻發(fā)現(xiàn)里面藏著韋達(dá)定理（其中x1、x2分別表示弦的兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)，y1、y2分別表示弦的兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)）。請(qǐng)看下面的例子：例1,已知直線 L 的斜率為2，且過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)，求直線 L 被拋物線截得的弦長(zhǎng)。解：易知直線的方程為y=2(x-). 聯(lián)立方程組y2=2px

2、和y=2(x-) 消去x得y2-py-p2=0.=5p2>0,直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。由韋達(dá)定理得y1+y2=p,y1y2=-p2.故弦長(zhǎng)d=例2,直線y=kx-2交橢圓x2+4y2=80交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則PQ等于_.分析：聯(lián)立方程組y=kx-2和x2+4y2=80消去y得(4k2+1)x2-16kx-64=0設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2). 由韋達(dá)定理得x1+x2= = 4得k=.x1x2= -32PQ=6 .練習(xí)1：過(guò)拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6, 那么|AB|=( ) (

3、A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同)二，判定曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)例3,曲線 y = ax2(a>0)與曲線 y2+3= x2+4y交點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是_個(gè).分析：聯(lián)立方程組y=ax2(a>0)與y2+3=x2+4y.消去x得y2-(1/a+4)y+3=0(a>0)因?yàn)樗?方程有兩個(gè)不等正實(shí)根。由y=ax2 得出，有四個(gè)不等的x解，故二曲線的交點(diǎn)有4個(gè)。三，求弦中點(diǎn)坐標(biāo)例4，已知直線 x-y=2與拋物線 y2= 4x交于A、B兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是_.分析：聯(lián)立方程組 x-y = 2和y2= 4x.消去x 得 y2-4y-8=0由韋達(dá)定理得y1 + y2

4、= 4,線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)y= , 橫坐標(biāo)x= y+2= 4. 故線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）.練習(xí)2：求直線y=和圓x2+y2=16相交所成的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)。四，求曲線的方程例5，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,被直線 y=2x+1截得的弦長(zhǎng)為.求此拋物線方程。解：設(shè)拋物線方程為 y2=2px, 聯(lián)立方程組y2=2px 和 y=2x+1消去y 得4x2+2(2-p)x+1=0.又由韋達(dá)定理得x1+x2= x1x2=.于是有解得 p= -2 或 p=6. 故拋物線方程為 y2= -4x 或 y2=12x.例6,拋物線 y= -.與過(guò)點(diǎn)M(0,-1)的直線L相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直

5、線OA和OB的斜率之和為1，求直線L的方程.解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線L的方程為y=kx-1.聯(lián)立方程組y=kx-1和y=-消去y 得 x2+2kx-2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=-2k, x1x2= -2. 又 則直線 L 的方程為 y = x-1.練習(xí)3：直線L在雙曲線2x2-3y2=6上截得的弦長(zhǎng)為4，其斜率為2，求直線L的方程.練習(xí)4:求m的值使圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足OAOB.練習(xí)5:一條直線與拋物線y2=x及y軸分別交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x3,y3).求證：_練習(xí)1提示：易知拋物線的焦點(diǎn)

6、為（1，0），設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線為y=k(x-1)(由x1+x2=6知此直線不平行于y軸，斜率k存在)聯(lián)立方程組y=k(x-1)和y2=4x，消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0 由韋達(dá)定理得x1+x2 =2(k2+2) /k2=6,解得k2=1又x1x2=1.從而可求|AB|=8.練習(xí)2提示：聯(lián)立方程組y=和x2+y2=16,消去y得方程5x2-10x-39=0,由韋達(dá)定理得x1+x2=2練習(xí)3提示：設(shè)直線L的方程為y=2x+m. 聯(lián)立方程組y=2x+m和2x2-3y2=6消去y得10x2+12mx+3(m2+2)=0.令直線L與雙曲線的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2). 由韋達(dá)定理