等比數(shù)列的前n項和王后雄學(xué)案

1、2.3.2 等比數(shù)列的前n項和教材知識檢索考點知識清單1等比數(shù)列的前n項和為當(dāng)公比時，=當(dāng)q=l時，2若數(shù)列的前n項和且則數(shù)列是3在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中共有五個量，在這五個量中4在等比數(shù)列中，若項數(shù)為與分別為偶數(shù)項與奇數(shù)項的和，則5數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項和，則仍構(gòu)成要點核心解讀1等比數(shù)列前n項和公式(1)前n項和公式的導(dǎo)出，解法一：設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是由等比數(shù)列的通項公式可將寫成式兩邊同乘以q，得一，得由此得時，所以上式可化為當(dāng)q=l時，解法二：由等比數(shù)列的定義知當(dāng)時，即故當(dāng)時，當(dāng)q=l時，解法三：當(dāng)時，當(dāng)q=l時，(2)注意問題， 上述證法中，解法一為錯位相減法，解法二

2、為合比定理法，解法三為拆項法各種解法在今后的解題中都經(jīng)常用到，要用心體會， 公比為1與公比不為1時公式不同，若公比為字母，要注意分類討論當(dāng)已知時，用公式當(dāng)已知時，用公式在解決等比數(shù)列問題時，如已知中的任意三個量，可由通項公式或前n項和公式求解其余兩個量(3)等比數(shù)列前n項和的一般形式一般地，如果是確定的，那么設(shè)則上式可寫為2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項和，則仍構(gòu)成等比數(shù)列，且有(2)若某數(shù)列前n項和公式為則為等比數(shù)列(3)在等比數(shù)列中，若項數(shù)為分別為偶數(shù)項與奇數(shù)項的和，則(4)若是公比為q的等比數(shù)列，則由此性質(zhì)，在解決有些問題時，能起到簡化解題過程的作用如：設(shè)是由正數(shù)

3、組成的等比數(shù)列，它的前n項和為試比較與的大小解：設(shè)的公比為q，由已知而且函數(shù)在上單調(diào)遞增，典例分類剖析考點1前n項和公式的應(yīng)用命題規(guī)律(1)等比數(shù)列前n項和公式在具體題目中的應(yīng)用(2)含有參數(shù)的等比數(shù)列中，如何運用等比數(shù)列的求和公式例1在等比數(shù)列中，求答案 方法一：由已知則又 即得所以可求出，因此方法二：已知等比數(shù)列中，求g，還可利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求得，即再代入求得誤區(qū)診斷解答此類題目容易漏掉對q=l這一步的討論方法技巧使用等比數(shù)列的前n項和公式要注意公比q=1和q1情況的區(qū)別，而在解方程組的過程中，一般采用兩式相除的方法例2 已知數(shù)列是等差數(shù)列，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令求數(shù)列的前n項和

4、公式答案 (1)設(shè)數(shù)列的公差為d，則又得所以(2)由得一得所以 方法技巧 本題第(1)問主要是將問題轉(zhuǎn)化為利用基本量口，和d聯(lián)立方程組求解，從而確定出通項公式；第(2)問結(jié)合bn的特點采用錯位相減法求和，變形時式子較復(fù)雜，要注意運算準確母題遷移 1若數(shù)列成等比數(shù)列，且前n項和為80，其中最大項為54，前2n項之和為6560，求2求和考點2等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用命題規(guī)律（1)利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)簡化運算，優(yōu)化解題過程(2)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)在解題中的靈活運用例3 已知數(shù)列是等比數(shù)列，(1)若求(2)若答案 (1)由性質(zhì)可得解得構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)為公比為g，啟示 等比數(shù)列前凡項和具有的

5、一些性質(zhì)：(1)連續(xù)m項的和（如仍組成等比數(shù)列（注意：這連續(xù)m項和必須非零才能成立）為等比數(shù)列（q為公比）利用性質(zhì)(1)可以快速地求某些和如等比數(shù)列中，求為等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，且首項為20，公比為但在運用此性質(zhì)時，要注意的是成等比數(shù)列，而不是成等比數(shù)列母題遷移3(1)已知：數(shù)列是等比數(shù)列，若(2)在與11之間插入10個正數(shù)，使這12個數(shù)成等比數(shù)列，則所插入的這10個正數(shù)之積為(3)一個等比數(shù)列中，則(4)等比數(shù)列中，則q=考點3等比數(shù)列前n項和的應(yīng)用問題命題規(guī)律(1)從實際問題中抽象出等比數(shù)列前n項和的數(shù)學(xué)模型(2)利用等比數(shù)列前n項和公式解決一些簡單的應(yīng)用問題 例4某市2004年底有住房

6、面積1200萬平方米，計劃從2005年起，每年拆除20萬平方米的舊住房，假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5% (1)分別求2005年底和2006年底的住房面積； (2)求2024年底的住房面積（計算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01） 答案 (1)2005年底的住房面積為1200(1+5%) -20 =1240（萬平方米）， 2006年底的住房面積為（萬平方米）2005年底的住房面積為1240萬平方米，2006年底的住房面積為1282萬平方米 (2)2024年底的住房面積為（萬平方米）2024年底的住房面積約為2522.64萬平方米母題遷移4一件家用電器現(xiàn)價2000元，實行分期

7、付款，每期付款數(shù)相同，每期一月，購買后一個月付款一次，再過一個月后又付款一次，共付12次，即購買一年后付清如果按月利率8每月復(fù)利一次計算，那么每期應(yīng)付款多少？優(yōu)化分層測訊學(xué)業(yè)水平測試1等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，若則它的前5項和是( )2等比數(shù)列的首項為1，公比為q，前n項的和為S，由原數(shù)列各項的倒數(shù)組成一個新數(shù)列則的前n項的和是( )3各項均為實數(shù)的等比數(shù)列的前n項和記作若則等于( )4設(shè)則等于( )5數(shù)列的前n項和為6已知等比數(shù)列的公比第17項的平方等于第24項，求使成立的n的取值范圍，高考能力測試（測試時間：90分鐘測試滿分：100分）一、選擇題（本題包括8小題，每小題5分，共40分每小題只

8、有一個選項符合題意）1（2009年遼寧高考題）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為若則( )2一個小球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，設(shè)它第n次著地時，共經(jīng)過了則有( )3（2010年東北八校聯(lián)考題）某人為了觀看2010年世博會，從2003年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2010年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)（元）為( )4在14與之間插入n個數(shù)組成等比數(shù)列，若各項總和為則此數(shù)列的項數(shù)為( )5等比數(shù)列的首項為1，公比為g，前n項和為S，則數(shù)列的前n項之和為( )6設(shè)數(shù)列滿足且且

9、則的值為( )7（2010年福建部分重點中學(xué)聯(lián)考題）已知等比數(shù)列的公比前n項和為則與的大小關(guān)系是( )D無法確定8已知等比數(shù)列的首項為是其前n項的和，某同學(xué)經(jīng)計算得后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個數(shù)算錯了，則該數(shù)為( )二、填空題（本題包括4小題，每小題5分，共20分）9（2009年浙江高考題）設(shè)等比數(shù)列的公比前n項和為則10.某科研單位，欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員，第一名得全部獎金的一半多一萬元，第二名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第七名恰好將獎金分完，則需拿出獎金萬元11若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”設(shè)是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列的四組量中，一

10、定能成為該數(shù)列“基本量”的是第組（寫出所有符合要求的組號）（其中n為大于1的整數(shù)，為的前n項和）12. 一個七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是三、解答題（本題包括3小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 13.（13分）（2011年山東高考題）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：求數(shù)列的前2n項和14.（13分）（2010年浙江模擬題）在一次人才招聘會上，有A

11、、B兩家公司分別開出它們的工資標準：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加230元徊公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時錄取，試問： (1)若該人分別在A、B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？ (2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標準（不計其他因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？15.（14分）（2010年山東模擬題）函數(shù)定義在（-1，1）上，且僅當(dāng)時，恒有：又數(shù)列滿足設(shè)(1)證明：在（-1，1）上為奇函數(shù)；(2)求的表達式；(3)

12、是否存在自然數(shù)m，使得對任意都有成立；若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由.單元知識整合二、本章知識整合1數(shù)列的概念(1)定義：按一定次序排列的一列數(shù)，從函數(shù)觀點看，對于一個定義域為正整數(shù)集（或它的真子集1，2，3，4，n）的函數(shù)來說，數(shù)列就是這個函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值 (2)數(shù)列的表示法有三種：列表法、解析法（通項公式和遞推公式法）、圖象法 (3)分類：按項數(shù)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的關(guān)系可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列、常數(shù)列(4)前n項和與通項的關(guān)系：3數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)(1)函數(shù)的思想 數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集1，2，n)

13、的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，并且，數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可以看做以項數(shù)n為自變量的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題，是我們常用的方法 (2)方程的思想，在等差數(shù)列中，通項公式和前n項和公式共有5個量和這5個量中知道其中3個量的值，就可以通過列方程的方法求l出另外2個量的值，在等出數(shù)列中，也有類似的性質(zhì)方程的思想是本章最重要的思想方法 (3)分類討論的思想， 當(dāng)給出一個數(shù)列的前n項和的表達式求數(shù)列的通項時，一定要分別去求及即（當(dāng)n=l時，若兩個式子一致，要寫成的形式）；關(guān)于等比數(shù)列的前n項和公式有兩個，即與的公式不同，所以在運用等比數(shù)列求和公式時，要對q=l和q#l兩

14、種情況進行討論雀關(guān)于絕對值的數(shù)列問題中，要注意脫去絕對值符號時需分類討論，在一些判斷題中也常用到分類討論 (4)轉(zhuǎn)化與化歸的思想 將研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對象的思想稱之為轉(zhuǎn)化與化歸的思想，它一般表現(xiàn)為將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的或已經(jīng)解決了的問題或方法在數(shù)列中，將非等差、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題：是我們常采用的方法(5)整體的思想 在數(shù)列部分，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，視某一部 分為一個整體，采用整體代換、整體消元，可以大大簡化運算量，還可以溝通已知與未知的聯(lián)系，提高解題速度 (6)類比的思想 類比是指通過兩個對象類似之處的比較，而由其中一個對象已有的性質(zhì)去推出另一對象

15、也有類似的性質(zhì)，是我們認識事物發(fā)展規(guī)律的重要思想方法， 等差數(shù)列與等比數(shù)列有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，在平時的學(xué)習(xí)中，將二者類比，能夠增強對概念和性質(zhì)的記憶及理解，使知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化， 4.數(shù)列中兩類重要問題的解法 (1)求一般數(shù)列通項公式的常用方法 數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心之一 ，有了數(shù)列的通項公式，便可求出數(shù)列的任何一項，研究數(shù)列的單調(diào)性，求數(shù)列的前n項和，因此我們應(yīng)熟練掌握求數(shù)列通項公式的常用方法， 觀察歸納法：通過觀察、分析數(shù)列的各項與其項數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)歸納得到通項公式，累加法：若給出或由題設(shè)可得到與是可求和的數(shù)列），則可由求累乘法：若給出或由題設(shè)可得到與是可求積的數(shù)列），則可由求構(gòu)造法

16、：若由給出的條件直接求較難，可以通過變形、轉(zhuǎn)化，并運用整體思想，構(gòu)造出一個等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而求出通項 利用和的關(guān)系：若給出或可求出則可利用由上式算出和后，若將中的n取1算得的值正好等于則將統(tǒng)一到中，得通項為 (2)數(shù)列求和的常用方法 數(shù)列求和是數(shù)列部分的重要內(nèi)容，因此我們應(yīng)掌握數(shù)列求和的常用方法. 公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列或某些常見數(shù)列的求和公式求和， 常見數(shù)列的求和公式有：（特殊的等差數(shù)列）；分組法：根據(jù)數(shù)列或其通項的特征，將數(shù)列的前n項和分成易于求和的若干組，通過對各組分別求和得到整個數(shù)列的和倒序相加法：若數(shù)列中與首末兩項等距離的兩項的和為定值或有某種特殊關(guān)系，則可用推導(dǎo)等

17、差數(shù)列求和公式的方法（倒序相加法）求和.錯位相減法：若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，則求數(shù)列的前n項和可用推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法（錯位相減法）求和裂項法：根據(jù)通項的特征，將通項進行合理的分拆，然后再分組或消去中間若干項，轉(zhuǎn)化為易求和的數(shù)列求和問題5有關(guān)數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用問題 在日常生活中，一些商家為了促銷商品，便于顧客購買一些售價較高的商品，在付款方式上較為靈活，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款時，又可以提供幾種方案以便選擇，到底選用哪種方式更合算呢？ (1)分期付款的幾種模型， 銀行存：款計息方式有兩 種：單利和復(fù)利，它們分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列為模型， 單利：單利的計

18、算是僅在原有本金上計算利息，對本金所產(chǎn)生的利息不再計算利息，其公式為：利息=本金利率存期，以符號P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和，則有復(fù)利：把上期末的本息和作為下一期的本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計算公式是 分期付款中，每月的利息均按復(fù)利計算，規(guī)定每期所付款額相同 各期所付款額連同到最后一次付款時所生的利息之和等于商品售價及從購買到最后一次付款時的利息之和 (2)復(fù)利的概念和計算 銀行按規(guī)定在一定時間結(jié)算利息一次，結(jié)息后即將利息并入本金，這種計算利息的方法叫復(fù)利一般地，一期期滿后，借貸者（銀行）收到的款額為其中為初始貸款額，r為每期的利率，假若在一期期滿

19、后，銀行又把貸出，利率不變，則銀行在下一期期滿時，可以收取的款額為依次類推，若把貸出t期，期利率為r，這筆款額到期后就會增到注意此處的利息是重復(fù)計算的，我們稱為復(fù)利（期復(fù)利）(3)關(guān)于分期付款方案的確定分期付款即借款后不是一次性付清，而是分幾次分別付款的一種借款方法，對于每一種分期付款方案，應(yīng)明確以下幾點：規(guī)定多長時間內(nèi)付清全部款額； 在規(guī)定的時間內(nèi)分幾期付款，并且規(guī)定每期的付款額相同； 規(guī)定多長時間結(jié)算一次利息，并且在規(guī)定的時間段內(nèi)利息按復(fù)利計算 在選擇分期付款方案時，必須計算出各種方案中每期應(yīng)付款多少，總共應(yīng)付款多少，這樣才便于顧客比較，從而選擇優(yōu)化方案， 三、重要專題選講 專題1求數(shù)列的

20、通項 數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心之一，它如同函數(shù)中解析式一樣，有解析式便可研究其性質(zhì)等，而有了數(shù)列的通項公式，便可求出任何一項及前幾項和等，現(xiàn)將求數(shù)列的通項公式幾種常見類型及方法總結(jié)如下： 1觀察歸納法 例1 根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下歹Jj數(shù)列的一個通項公式答案 (1)觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，每一項都是一個分式，分母是數(shù)列2，4，8，16，32，可用項數(shù)表示為分子是數(shù)列1，3，7，15，31， 每一項比對應(yīng)的分母少1，可用項數(shù)表示為所以，所求的數(shù)列的通項公式是(2)這個數(shù)列即：其結(jié)構(gòu)特征是：分母與項數(shù)相同；分子是2加上或減去l，即各項的符號為負、正相間，即為所以，所求的通項公式是(3)觀察數(shù)列的項

21、，這個數(shù)列可以按分母、分子由小到大重新排列為：分母、分子各自成等差數(shù)列，顯然，其通項公式為(4)每一項都是項數(shù)的平方加上1，其通項公式為(5)通項公式是(6)仔細觀察各項，不難發(fā)現(xiàn)其項與項之間有如下規(guī)律： 啟示 (1)根據(jù)所給數(shù)列的前n項求其通項時，常用觀察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分與序號n之間的關(guān)系(2)記住以下數(shù)列的前n項：(3)第(6)小題通過觀察很難總結(jié)規(guī)律，可用如下方法進行：2公式法數(shù)列符合等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，求通項時，只需求出與d或與q，再代入公式或中即可例2數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列中，對任何都有且求數(shù)列數(shù)列數(shù)列的通項公式答案 設(shè)數(shù)列的首項為公差為d，

22、數(shù)列的首項為公比為q由已知條件可得聯(lián)立，解得由此可以得到3利用與的關(guān)系如果給出條件中是與的關(guān)系式，可利用先求出若計算出的中，當(dāng)時，求出則可合并為一個通項公式，否則要分段例3(1)數(shù)列的前n項和求(2)數(shù)列的前n項和求答案 (1)當(dāng)時，當(dāng)n=l時，上式中(2)當(dāng)n2時，當(dāng)n=l時，上式中啟示 已知求即已知數(shù)列的前n項和公式，求數(shù)列的通項公式，其方法是這里常常因為忽略了條件n2而出錯，即求得時的n是從2開始的自然數(shù)，否則會出現(xiàn)當(dāng)n=l時而與前n項和的定義矛盾，可見由此求得的不一定是它的通項公式，必須驗證時是否也成立，否則通項公式只能用分段函數(shù)來表示例4數(shù)列的首項前n項和與之間滿足(1)求證：數(shù)列是

23、等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式解析 審題知應(yīng)為構(gòu)造的等差數(shù)列，可利用公式先求出來，進一步用即可解決答案為首項，2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n2時，思考：若直接求的通項公式怎樣求呢？4累差法例5 已知求解析時答案時，時，有而也適合上式的通項公式啟示形如：已知且是可求和數(shù)列的形式均可用累差法5累商法例6 已知求解析時，故可用累商法答案時，即又而也適合上式，的通項公式啟示形如：已知且是可求積的數(shù)列的形式均可利用累商法6換元法例7 已知求答案可設(shè)由待定系數(shù)法可得解法一：由得令是等比數(shù)列，其首項公比為2即解法二：由得時，是公比為2的等比數(shù)列，其首項為則有而也適合上式，即為的通項公式啟示 形如：已知為常數(shù)）均

24、可用上述兩種方法， 特別地，若時，為等差數(shù)列；若時，為等比數(shù)列強化練習(xí)11寫數(shù)列的一個通項公式答案 觀察數(shù)列從首項起，各項的符號正、負相間，故通項公式中含有各項的冪底數(shù)為3，指數(shù)為指數(shù)依次改寫為即 故2(1)已知數(shù)列的前n項和求(2)已知數(shù)列的前n項和求答案(1)當(dāng)時，當(dāng)時，上式中即當(dāng)時，適合數(shù)列的通項公式為(2)當(dāng)時，當(dāng)時，上式中即不適合上式通項公式啟示 已知求即已知數(shù)列的前n項和公式，求數(shù)列的通項公式，其方法是這里常常因忽略了條件n2而出錯，即由求得的n是從2開始的自然數(shù)，否則會出現(xiàn)當(dāng)時，而與前n項和的定義相矛盾由此可見，此法求得的不一定是它的通項公式，必須驗證n=l是否也成立，若不成立，

25、通項公式只能用分段函數(shù)表示3已知數(shù)列求數(shù)列的通項公式.答案當(dāng)時，也適合上式4(1)已知數(shù)列中，求通項公式(2)數(shù)列中，求通項公式答案兩邊同除以得數(shù)列為等差數(shù)列，首項為公差為兩式相減得，令則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列即，結(jié)合已知條件，一，得啟示 若數(shù)列滿足的條件，求通項公式時，通常轉(zhuǎn)化為為等比數(shù)列，利用待定系數(shù)法確定A的值，先求出的表達式，再求 專題2數(shù)列求和 數(shù)列的求和是數(shù)列的一個重要內(nèi)容，是數(shù)列知識的綜合體現(xiàn)，求和問題在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，它考查我們分析問題和解決問題的能力，可以利用數(shù)列的前n項和求數(shù)列的某些元素，如等應(yīng)當(dāng)注意任何一個數(shù)列的前n項和都是從第一項一直加到第n項，求數(shù)列前n項

26、和的常用方法有： (1)公式法，即對于等差數(shù)列或等比數(shù)列，直接應(yīng)用其前n項和公式； (2)對于非等差數(shù)列或等比數(shù)列，常利用錯位相減、倒序求和、裂項求和等方法，將數(shù)列變得有規(guī)律，再加以求和 1公式法例1 設(shè)數(shù)列的通項為則解析 由得取則答案】 153 啟示 要求幾個含有絕對值的式子的和，關(guān)鍵是要去掉絕對值符號去絕對值符號的方法一般是用分類討論的思想方法，所以此題的關(guān)鍵就是要看的符號，又因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以只需確定或時n的值，然后再分開求和例2 已知等比數(shù)列中，求此數(shù)列的偶數(shù)項組成的新數(shù)列的前n項和答案數(shù)列的偶數(shù)項也是等比數(shù)列，設(shè)為則數(shù)列的首項為公比為所以數(shù)列的前n項和為2倒序相加法例3設(shè)求和

27、解析：本題是求函數(shù)值的和，通過對其解析式的研究，尋找它們的規(guī)律然后進行解決 答案 因為所以所以所以+得所以例4 求在區(qū)間上分母是3的不可約的分數(shù)之和 解析本題主要考查如何確定區(qū)間a，b上的數(shù)哪些是符合條件的，然后尋找各數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)列 問題求解答案 解法一：（倒序相加法） 因為所以而又有兩式相加得其個數(shù)是以3為分母的所有分數(shù)個數(shù)減去可約分數(shù)個數(shù)即所以所以解法二：區(qū)間a，b上分母為3的所有分數(shù)是它是以為首項以為公差的等差數(shù)列，項數(shù)為其和其中，可約分數(shù)是其和故不可約分數(shù)之和為啟示 當(dāng)數(shù)列滿足常數(shù)時，可用倒序相加法求數(shù)列的前n項和3錯項相減法若在數(shù)列中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則可采用錯項相減

28、法求和例5 求和答案記則兩式相減，得若則若則例6 求和解析 本題是由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的，故可以使用乘公比錯位相減求和答案 因為所以一得所以4裂項相消法， 所謂裂項相消，就是將數(shù)列的每一項“一拆為二”，即每一項折成兩項之差，以達到隔項相消之目的常用的裂項變形有 例7 (1)求數(shù)列的前n項和(2)求和解析 首先弄清的特征在第(1)題中，在第(2)題中，答案啟示 (I)分母有理化是一種常用的數(shù)學(xué)方法(2)使用拆項法時，不妨多寫出幾項以便于找出變化規(guī)律5分解求和法與并項求和法例8 (1)求和：(2)求和：(3)求和： 解析通項公式是解決數(shù)列求和問題的關(guān)鍵，先求出通項公式，分析通項公式

29、的特點，判斷采用哪種求和方法答案 (1)因為所以(2)當(dāng)時，當(dāng)時，綜上：(3)因為所以啟示 (1)和(3)不能直接求和，但可以分解為特殊數(shù)列再求和；(2)注意正負相間可以將兩項并在一起再求和 強化練習(xí)21(1)求和(2)求數(shù)列的前n項和解析 (1)此數(shù)列的通項為既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但卻是一個等比數(shù)列，因此可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題答案2(1)求數(shù)列的前n項和(2)求數(shù)列：的前n項和答案3求和：答案 當(dāng)時，當(dāng)時，一得4已知數(shù)列的前n項和為又求數(shù)列的前n項和答案 當(dāng)時，又也適合，易知且數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，因此中前5項為正數(shù)，從第6項開始為負數(shù)，于是當(dāng)時，當(dāng)時，綜上可得新典考題分析類型一

30、等差等比數(shù)列的判定例1 已知數(shù)列滿足：為常數(shù)），且其中(1)若是等比數(shù)列，試求數(shù)列的前n項和的公式；(2)當(dāng)是等比數(shù)列時，甲同學(xué)說：一定是等比數(shù)列；乙同學(xué)說：一定不是等比數(shù)列你認為他們的說法是否正確？為什么？答案(1)因為是等比數(shù)列，又則即是以a為首項，為公比的等比數(shù)列(2)甲、乙兩個同學(xué)說法都不正確，理由如下：解法一：設(shè)的公比為q，則且又是以l為首項，q為公比的等比數(shù)列；是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列即為：當(dāng)時，是等比數(shù)列； 當(dāng)時，不是等比數(shù)列，解法二：可能是等比數(shù)列，也可能不是等比數(shù)列，舉例說明如下：設(shè)的公比為q(1)取a=q=l時，此時都是等比數(shù)列(2)取時，所以是等比數(shù)列，而不是等比

31、數(shù)列，類型二數(shù)列的通項與求和例2 （2009年遼寧高考題）等比數(shù)列的前n項和為已知成等差數(shù)列(1)求的公比q；(2)若求答案(1)依題意有由于故又從而(2)由已知可得故從而例3 （2009年全國高考題）在數(shù)列中，(1)設(shè)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和答案 (1)由已知得且即從而于是又故所求的通項公式(2)由(1)知故設(shè) 一得，類型三數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題例4 （2010年南京市調(diào)考題）已知函數(shù)(1)求(2)設(shè)求(3)設(shè)是否存在最小的正整數(shù)m，使得對有成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由答案即兩邊平方得兩邊同除以得可得把上面n-l個式子相加，得又數(shù)列為遞減數(shù)列，則則要使都成立，只需成立存在最小正整數(shù)使對有成立 啟示 (1)解出x，有正負兩個值，取正還是取負，要結(jié)合原題中的茗的范圍進行選擇；(2)構(gòu)造出新數(shù)列后用疊加法求出通項；(3)由成立，聯(lián)想到若成立，則中定有最大項，數(shù)列可能為單調(diào)遞增數(shù)列，然后想法探究數(shù)列的單調(diào)性再求解.類型四 數(shù)列應(yīng)用題 例5某縣位于沙漠邊緣，當(dāng)?shù)鼐用衽c風(fēng)沙進行著艱苦的斗爭到2008年年底全縣的綠地已告全縣總面積的30%，從2009年起，市政府決定加大植