三角形三心共線的證明_第1頁
三角形三心共線的證明_第2頁
三角形三心共線的證明_第3頁
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1、三角形三心共線的證明題 求證：任意三角形的垂心H，重心G和外心O三點共線這道題乍一看較為棘手，一般的學(xué)生不知如何下手，若把命題改為“ABC內(nèi)接于圓O，H為垂心求證H到該三角形任意頂點的距離等于O到這個頂點所對的邊距離的兩倍”證起來就輕松多了下面先簡單證明這個命題證明：如圖1(僅以銳角三角形為例)，O是ABC的外心，H是垂心，OMBC于M，即證AH=2OM，連BO且延長交圓O于D，則DC=2OM BD是直徑即 AH=2OM這就為我們證明前者奠定了基礎(chǔ)，于是就有三角形三心共線的第一種證法證法1 在圖2中，H、O分別為ABC的垂心和外心，中線AM交HO于G， AHOM，且AH=2OM AG=2GM，

2、即G就是重心G，故H、G、O三心共線證法2 如圖3，作OMBC，OFAB，垂足分別為M、F，則M是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點， FMAC，且AC=2FM OF、CE均垂直于AB，且FMAC 1=2，同理3=4，從而有OMFHAC AC2FM， AH=2MO AM與OH的交點必為重心G，故H、G、O三心共線證法3 在圖4中，ABC的兩條高AD、BE相交于H(垂心)，邊AC和邊CB上的中垂線ON、OM相交于O(外心)，M、N分別在CB、AC上，則AM與ON于X，AD交ON于Q，連OG和HG，可證XOGYHG NXGBYGOXG=HYG(兩線平行，內(nèi)錯角相等)由、知XOGYHG得OGX=HGY，可得H、G、O三點在一條直線即任意三角形的垂心、重心、外心共線在上述三種證法中，證法1和證法2的

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