階微分方程的解的存在定理

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理教學目的討論一階微分方程的解的存在與唯一性定理，解的延拓定理，解對初值的連續(xù)性與可微性定理，解對參數(shù)的連續(xù)性定理教學要求掌握存在與唯一性定理及其證明，會用皮卡逼近法求近似解，理解解對初值的連續(xù)性與可微性定理，解對參數(shù)的連續(xù)性定理，了解奇解及其求法。教學重點幾個主要定理的條件及其證明教學難點逐次逼近法的應用及其思想；應用存在與唯一性定理及解的延拓定理來研究方程的解；奇解及其求法教學方法講練結(jié)合教學法、提問式與啟發(fā)式相結(jié)合教學法。教學手段傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學相結(jié)合。課題導入在上一章我們討論了一階方程的解的初等積分法。解決了幾個特殊的方程。但是，對許多微分方

2、程，為，不可能通過初等積分法求解，這就產(chǎn)生了一個問題，一個不能用初等積分法求解的微分方程是否意味著沒有解呢？或者說，一個微分方程的初值問題在何種條件下一定有解呢？當有解時，農(nóng)的解是否是唯一的呢？毫無疑問，這是一個很基本的問題，不解決這個問題對微分方程的進一步研究，就無從談起，本章將重點討論一階微分方程的解存在問題的唯一定理， 3.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法教學目的討論Picard逼近法及一階微分方程的解的存在與唯一性定理，解的延拓定理，解對初值的連續(xù)性與可微性定理。教學要求熟練掌握Picard逼近法，并用它證明一階微分方程初值問題解的存在與唯一性定理及其證明，會用Picard逼近法求近似

3、解，教學重點Picard存在唯一性定理及其證明1 / 12教學難點逐次逼近分析法的應用及其思想.教學方法講練結(jié)合教學法、提問式與啟發(fā)式相結(jié)合教學法。教學手段傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學相結(jié)合。一 存在唯一性定理1 定理1，考慮初值問題 （3.1）其中f(x,y)在矩形區(qū)域 R： （3.2）上連續(xù)，并且對y滿足Lipsthits條件：即存在常數(shù)L0，使對所有常存成立，則初值問題（cauchy問題）（3.1）在區(qū)間上解存在唯一，這里 證明思路：1.初值問題（3.1）的解存在等價一動積分方程（3.5）的連續(xù)解。2.構(gòu)造（3.5）所得解函數(shù)序列任取一連續(xù)函數(shù)，代入（3.5）左端的y，得3.函數(shù)序列在上

4、一致收斂到。這里為3 =即則需由則需由于從而在上的一收斂性等價于函數(shù)項級數(shù) 在一收斂性。4為（3.5）的連續(xù)解且唯一。首先在區(qū)間是討論，在上類似。命題3.1 初值問題（3.1）等價于積分方程 （3，5）Proof:若為（3.1）的解，則： 對第一式從到x取定積分可得即反之，若為（3.5）的連續(xù)解。，則有由于對f(x,y)在R上連續(xù)，從而連續(xù)故對上兩式兩邊求導得且即為（3.1）的連續(xù)解。下面取，構(gòu)造picard逐步逼近函數(shù)如下： （3.7）命題2，對于所有；連續(xù)且滿足 Proof(用數(shù)學歸納法證明) N=1時，雖然在上連續(xù)且設(shè)命題2為時成立即在上連續(xù)，且當時由在R上連續(xù)可知，在上連續(xù)從而在上連續(xù)

5、且而命題2，在時成立，故由數(shù)學歸納法得知，命題跋對所有n成立命題3。函數(shù)序列在上一致收斂Proof:考慮函數(shù)級數(shù)： （3.9）它前幾項和為 于是一致收斂性等于（級數(shù)3.9）的一致收斂性等價，我們對級數(shù)（3.9）的通項進行詁計其中第二個方程不等式是由Lipsthits條件得到的，高對正整數(shù)n有不等式則當時，由Lipsthits條件有于是，由數(shù)學歸納法得知，對所有的正整數(shù)n有 （3.11）從而當時由于正級數(shù)收斂，由weierstrass判別法知，級數(shù)（3.9）在一致收斂，因而在上一致收斂?，F(xiàn)設(shè)，則由連續(xù)性和一致收斂性得在上連續(xù)且命題4.是積分方程(3.5)的定義于上的連續(xù)解.Proof:由Lips

6、chits條件 以及在上的一致收斂,解出函數(shù)列,在上的一致收斂于函數(shù).因而對(3.7)兩邊取極限.得到 即這表明.是積分方程(3.5)在的連續(xù)解.命題目四得證.命題5. 設(shè), 是積分方程(3.5)的定義于上的一個連續(xù)解.則,Prof: 令則是定義在的的非負連續(xù)函數(shù).由和所滿足的積分方程式和的Lipschits條件得 令則是定義在上的連續(xù)中微函且于是對最后一個不等式從 到x積分得 故,即綜合命題1-5得到存在任一性定理的證明,2存在任一性定理的證明(1) 定理中的Lipschits條件比較困難,我們經(jīng)常用R上連續(xù)偏導數(shù)這一較但容易驗證的條件來代替,如果在R上連續(xù),則在R上有界,令|在R上成立,則

7、由微分中值定理可以得出 但反過來,滿足Lipschits條件的函數(shù)f（x,y）不一定有偏導數(shù)存在,例如函數(shù)在任何區(qū)域滿足Lipschits條件,但它在y=0處偏導數(shù)不存在.(2) 定理中的幾何意義，在矩形R中有故初值問題（3.1）的解曲線的斜率定于-M與M之間，過點分別作斜率為M到M的直線，當時如圖（a）所示，解在中有定義，而當時勸圖（b）所示。不能保證解在中有定義。它有可能在區(qū)間內(nèi)跑到矩形R外去，使得無定義，只有時才能保證解在R內(nèi)，故需求解在存在范圍為圖（a） 圖（b）則當上連續(xù)時，定理1的條件才能滿足且任一初值所確定的解在存在定義，連續(xù)定理2 考慮一階微分方程 （3.5）如果在點的某一個域

8、中滿足1對所以變化（）連續(xù)。且存在連續(xù)偏導數(shù)2）=03則方程（3.5） 存在唯一解滿足條件分析：由1，2，3及驗證函數(shù)存在定理，=0能確定一階函數(shù)且在內(nèi)連續(xù)。且滿足因從而連續(xù)，解唯一。二定似計算和誤差估計存在唯一性定理不公肯定了解的存在唯恐天下不亂一性，并且給出了求方程近似解的一種方法Picrcl逐步逼近法，對方程的第n次近似解它和正真解內(nèi)的誤差估計為 （3.19）上式可用數(shù)學歸納法證明這樣，我們在進行近似計算的時候，可以根根據(jù)誤差的要求，先取適當?shù)闹鸩奖平瘮?shù)。例1 討論初值問題解存在唯一區(qū)間。并求在此區(qū)間上與真正解的誤工費差不超過0.05的近似解的表達式，其中R：解：這里 在R上,由于由(3.19) =0.05因而可取 n=3,因此我們可以作出如下的近似表達式就是所求的近似解,在區(qū)間上與真正解的誤差不超過0.05.例2 討論初值問題解存在且唯一區(qū)間.解: 對任意給定的正數(shù)a,b,函數(shù)均在矩形區(qū)域R=內(nèi)連續(xù)且對y有連續(xù)的偏導數(shù),計算 由于a和b都可以任意取,我們先取b,使最大,雖然b=1時為的最大值,故可取