高等數(shù)學(xué)下復(fù)旦大學(xué)出版習(xí)題四

1、習(xí)題四1. 利用定義計(jì)算下列定積分：（1） 解：將區(qū)間a, bn等分，分點(diǎn)為記每個(gè)小區(qū)間長度為取則得和式由定積分定義得(2) 解：將區(qū)間0, 1 n等分，分點(diǎn)為記每個(gè)小區(qū)間長度取則和式2. 用定積分的幾何意義求下列積分值:；解:由幾何意義可知,該定積分的值等于由x軸、直線x=1、y=2x所圍成的三角形的面積，故原式=1.解：由幾何意義可知，該定積分的值等于以原點(diǎn)為圓心，半徑為R的圓在第一象限內(nèi)的面積，故原式=.3. 證明下列不等式：；證明：當(dāng)時(shí)，即由積分的保序性知：即 (2) 證明：當(dāng)時(shí)，由積分的保序性知：即4. 證明：（1） 證明：當(dāng)時(shí)，于是而由夾逼準(zhǔn)則知：(2) 證明：由中值定理得其中故5

2、.計(jì)算下列定積分：解：原式.;解：原式,其中解：原式解：原式解：原式6. 計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)：解：原式.解：原式7. 求由參數(shù)式所確定的函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù).解：8. 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有又 故 .9. 利用定積分概念求下列極限：解：原式解：原式10. 求下列極限：解：原式解：原式11. a, b, c取何實(shí)數(shù)值才能使 成立.解：因?yàn)闀r(shí)，而該極限又存在，故b=0.用洛必達(dá)法則，有所以 或 .12. 利用基本積分公式及性質(zhì)求下列積分：;解：原式.；解：原式=解：原式=3解：原式=;解：原式=解：原式=解：原式=.解：原式=.解：原式=.解：原式=解：原式=;解：原式=解：

3、原式=解：原式=.；解：原式=.;解：原式=.;解：原式=.解：原式=13. 一平面曲線過點(diǎn)（1，0），且曲線上任一點(diǎn)（x, y）處的切線斜率為2x2，求該曲線方程.解：依題意知：兩邊積分，有又x=1時(shí)，y=0代入上式得c=1，故所求曲線方程為.14. （略）.15. 利用換元法求下列積分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=；解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;

4、解：原式又故上式;解：原式(28) 解：原式,又故上式=.;解：原式,又, 所以,故上式.解：原式 + = t + c1 = ln |sin t+cos t| + c2故16. 用分部積分法求下列不定積分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.解：原式又 所以 故 17. 求下列不定積分：;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=;解：原式=又 故原式=.18. 求下列不定積分，并用求導(dǎo)方法驗(yàn)證其結(jié)果正確否：;解：原式=驗(yàn)證：所以，結(jié)論成立.;解：原式=驗(yàn)證：所以，結(jié)論成立.

5、;解：原式=.驗(yàn)證：所以，結(jié)論正確.;解：原式=驗(yàn)證： 所以，結(jié)論正確.;解： 所以，原式=驗(yàn)證： 故結(jié)論成立.;解：原式=驗(yàn)證：.故結(jié)論成立.;解：原式=驗(yàn)證： 所以，結(jié)論成立.;解：原式=驗(yàn)證：所以，原式成立.;解：原式=驗(yàn)證：故結(jié)論成立. (n >1，且為正整數(shù)).解：故 驗(yàn)證： 故結(jié)論成立.19. 求不定積分.解： 故原式=又由函數(shù)的連續(xù)性，可知：所以 20. 計(jì)算下列積分：;解：原式;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解： 所以，原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=.解：原式=21. 計(jì)算下列積分（

6、n為正整數(shù)）：（1） 解：令,當(dāng)x=0時(shí)t=0，當(dāng)x=1時(shí)t=,由第四章第五節(jié)例8知(2) 解：由遞推公式 可得 22. 證明下列等式： (a為正常數(shù))；證明：左右所以，等式成立.(2)若，則.證明：左.所以，等式成立.23. 利用被積函數(shù)奇偶性計(jì)算下列積分值（其中a為正常數(shù)）(1) 解：因?yàn)閍, a上的奇函數(shù)，故 ;解：因?yàn)榧幢环e函數(shù)為奇函數(shù)，所以原式=0.;解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故 原式=.解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故原式=24. 利用習(xí)題22(2)證明：,并由此計(jì)算 (a為正常數(shù))證明：由習(xí)題22(2)可知又 故等式成立.25. 已知, 求.解：原式=26. 用定義判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，則求其值：;解：原式=解：原式= (n為正整數(shù))解：原式=;解：原式=;解：原式=.解：原式=27. 討論下列廣義積分的斂散性：;解：原式=故該廣義積分當(dāng)時(shí)收斂；時(shí)發(fā)散.解：原式=綜上所述，當(dāng)k<1時(shí)，該廣義積分收斂，否則發(fā)散.28. 已知，求：解：(1)原式=解：29. 已知,其中 求c.解：所以.30. 證明：無窮積分?jǐn)可⑿缘谋容^判別法的極限形式，即節(jié)第六節(jié)定理2.證明：如果，那么對(duì)于(使),存在x0，當(dāng)時(shí)即