二次根式知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題

1、二次根式知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念 形如而（儀之0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以 aaQ是或?yàn)槎胃降那疤釛l件，如 下，+1 ,&-1（x21） 等是二次根式，而7-2 ,7等都不是二次根式。知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1 .二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng) a皂0時(shí)，石有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2 .二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a<0時(shí)，石沒有意義。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式 石（儀之0）的非負(fù)性亞（儀之0）表

2、示a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，3之。）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即 無(wú)20 （儀之0）。注：因?yàn)槎胃?石（。20）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（儀之。）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即 幾之0（aQ）,這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù) 平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若 石=Q ,則a=0,b=0 ;若 & +W - ° ,則 a=0,b=0；若石 +3' =。，則 a=0,b=0。知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（J】）】的性質(zhì)（忑）'=J （。之。） 文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。

3、注：二次根式的性質(zhì)公式 （而）'=以（。之0）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過(guò)來(lái)應(yīng)用：若 理0,則”（折，如:2二（也，2一.知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。1、化簡(jiǎn)時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或 0,則等于a本身，即4-n二狐之°）；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值,一 JE有息義;3、化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成的異同點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)六：1,再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)。1、不同點(diǎn)：示一個(gè)實(shí)數(shù)表示的意義是不同的， 卜表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方

4、根的平方,a的平方的算術(shù)平方根； 在中儀之0,而 中a可以是正實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)數(shù)。7都是非負(fù)數(shù)，即因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的,(4a)2 = a(a>0)值(鼻)0)-40)2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即。之。時(shí)，(&)'=以；。<0時(shí)，()無(wú)意義，而而二-日 知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的性質(zhì)和最簡(jiǎn)二次根式如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有， 2、，3、Va (a>0)、，x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有， 4、V9> VaA2> V ( x+y) A2 > VxA2+2xy+yA2等(3)最終結(jié)果分母不含根號(hào)。知

5、識(shí)點(diǎn)八：二次根式的乘法和除法1 .積的算數(shù)平方根的性質(zhì)Vabu，a - Vb (a>0, b>0)2 .乘法法則Va - VbuVab (a>0, b>0)二次根式的乘法運(yùn)算法則，用語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。3 .除法法則Va +/=，2+b (a>0,b>0)二次根式的除法運(yùn)算法則，用語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)商的算數(shù)平方根。4 .有理化根式。如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做有理化根式，也稱有理化因式。知識(shí)點(diǎn)九：二次根式的加法和減法1同類二次根式一般地，把幾個(gè)二次

6、根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。2合并同類二次根式把幾個(gè)同類二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類二次根式。3二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并。知識(shí)點(diǎn)十：二次根式的混合運(yùn)算1確定運(yùn)算順序2靈活運(yùn)用運(yùn)算定律3正確使用乘法公式4大多數(shù)分母有理化要及時(shí)5在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化知識(shí)點(diǎn)十一：分母有理化分母有理化有兩種方法I.分母是單項(xiàng)式如：Ja/，b=VaxVb/VbxVb=Vab/b_ 4 ax J b二，ab bii.分母是多項(xiàng)式要利用平方差公式如 1/A/a+A/bZaA/b/(

7、 A/a+，功(,a ，功="a4b/a b如圖/a- V51 G+ G) (Z5- G)/h na-bI注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式?！岸胃健苯?jīng)典練習(xí)題【典型例題】.利用二次根式的雙重非負(fù)性來(lái)解題(4a之0 (a>0),即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)。)1 .下列各式中一定是二次根式的是()。A、J-3 ; B、11x ； C、Jx? +1 ; D、dx-12 .x取何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。1 5 x(1) Jx2；(2) (3) Ux+1+%2 x (4)1 (5)2x 1x 4.3 -x (7)若因3=衛(wèi)13 ,則x的取值范圍x

8、 1 x 12x -1(6)若Jx(x _1) = vx<x -1，則x的取值范圍是(7)注：(書寫格式(4)由5+x>0且x+4w 0得x>5且xw 4,當(dāng)x> 5且x豐4時(shí)代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義)3 .若J3m 1有意義，則m能取的最小整數(shù)值是 4 .若%/20m是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是 5.當(dāng)x為何整數(shù)時(shí)， J10x -1 +1有最小整數(shù)值，這個(gè)最小整數(shù)值為 6 .若 2004a 7a -2005 = a,則 a -20042=7 .若 y = Jx -3 +v3 -x +4 ,貝U x + y =8.設(shè)m、n滿足nm2 -9. 9 - m2 2,則

9、Jmn =m -39 .若 m 適合關(guān)系式，3x+5y -2-m + J2x +3y m = Jx-199+ y 199-x - y ,求 m 的值.10 .若三角形的三邊 a、b、c滿足a2 4a+4+m=3=0,則第三邊c的取值范圍是 11 .方程|4x-8| 十寸x ym =0 ,當(dāng)y>0時(shí)，m的取值范圍是（）A、0cm<1B、m 之2C、m <2D、m < 2J.a（ a b）二.利用二次根式的性質(zhì) Ja2 =|a|=<0（a =0）（即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值）來(lái)-a（a : 0）解題1 .已知 xx +3x2 = x Jx +3 ,則

10、（）A.x< 0B.xw 3 C . x>- 3 D. - 3< x<02.1. 知a<b,化簡(jiǎn)二次根式 V-a3b的正確結(jié)果是（）A. aJab B . ajabC . ajab D. ay ab3 .若化簡(jiǎn)| 1-x | - Jx2 8x+16的結(jié)果為2x-5則x的取值范圍是（）A x 為任意實(shí)數(shù) B、1<x< 4 C、x>1 D、x<44 .已知 a, b, c為三角形的三邊，則 %；（a+bc）2 +9（bc a）2 +Y（b+c a）2 =5 .當(dāng)-3<x<5 時(shí)，化簡(jiǎn) .：x2+6x+9 + Vx210x + 25=

11、6、化簡(jiǎn) | x y| -Tx2（x < y < 0）的結(jié)果是（）A. y -2x B . y C.2xy D . - y7、已知：a +/ -2a +a2 =1,則a的取值范圍是（）。A、a=0； B、a=1； C、a = 0或 1 ； D、a 18、把（x -2） J二根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，化簡(jiǎn)結(jié)果是（）。x -2A、V2 x ; B、Jx -2 ; C、-v x -2 D、 v2 -x.二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算（ 二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式運(yùn)算中的基本要求，其主要依據(jù)是二次根式的積商算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)：（J3） 2=a （a>0）,即Ya2=|a|。）1 .把

12、下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式: v1412-402(3)25m52422(4) x x y2 .下列各式中哪些是同類二次根式:3.計(jì)算：（1）6 727（73）2.18(4,24,a/3, 50(1) g12 , <2,27,卜)1 10(2) v12ab J9a-；4554 5 , a3b3c,a3b2c3(3)(6)ab4a 6b4.計(jì)算（1）21 1 , - 12. 50(1T9x3+-12 vy3)-(4xJ-1 +4y廬)x 3y4x y5.已知丫 x+ 2 + V18 x =10，則x等于（A. 4 B . ± 2 C . 26.已知 x = 72 -1, y = J2

13、 +1,的值。四.二次根式的分母有理化1已知：x2一已知：x二2 十二T一，求.3-1. 3 a 2+ 1的值。,求代數(shù)式3x25xy+3y2的值。*1 十 V2 + 72 十 73 + V4 + + <99 + <f100 4.已知 J15 +x 49 +x = -2，試求 v19 +x + J15 +x 的值。五.關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問(wèn)題1.估算的一2的值（A.在1和2之間 B2.若J3的整數(shù)部分是,在2和3之間 C .在3和4之間 D .在4和5之間a,小數(shù)部分是b,則J3a -b =3 .已知9+ J13與9 J13的小數(shù)部分分別是 a和b,求ab 3a+4

14、b+8的值4 .若a, b為有理數(shù)，且 而+而+ J1=a+bV2 ,則ba =8六.二次根式的比較大小(2) 5城6和6，5(3) 177 -71515 -V13 (倒數(shù)法)(1) 1J200和 2/35二次根式提高測(cè)試題一、選擇題1,使 J3-x +有意義的x的取值范圍是(),x -12 . 一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a(a >0),則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為(A) a -1,a +1 (B) Ja -1, Ja +1 (C) Ja2 -1, Ja2 +1 (D) a21,a2+13 .若 x <0,則 |7x2-x 等于()(A) 0(B) -2x(C) 2x

15、 (D) 0 或 2x4 .若 a <0,b >0 ,則 J-a3b化簡(jiǎn)得()(A) -a/-ab(B) -aTab(C) aJ-ab(D) a -、ab11 ， y25 .若Vy -=m，則的結(jié)果為()' yy(A) m2+2(B) m2 -2(C) 7mL+2(D) Vm -26 .已知a,b是實(shí)數(shù)，且 Ja2 -2ab+b2 =b-a,則a與b的大小關(guān)系是()(A) a <b (B) a>b(C) ab(D) ab7 .已知下列命題：,(2局=25 7(3-2 -3-1 =6 ； a2 +(3)2 =(a+3Xa 3)； Ja2 +b2 =a + b .其

16、中正確的有()(A) 0 個(gè) (B) 1 個(gè) (C) 2 個(gè)(D) 3 個(gè)89.：10.二、11.12.13.14.15.16.17.18.三、1 9.20 .21 .4m的值為（/人、20511315(A)（B）Z7（C）T（D）326882m二3化成最簡(jiǎn)二次根式后的被開方數(shù)相同, 4當(dāng) a M1 時(shí)，化簡(jiǎn) J14a+4a2 + 2a 1 等于()2(A) 2(B) 2 -4a(C) a (D) 0化簡(jiǎn) J4x2 _4x +1 _(j2x _3 2 得()(A) 2 (B) -4x +4(C) -2(D) 4x-4填空題若2x +1的平方根是=5,則j4x+1 =時(shí)，式子已知：最簡(jiǎn)二次根式 "a +b與a23的被開方數(shù)相同，則a + b =若x是V8的整數(shù)部分，y是78的小數(shù)部分，則x =, y =已知J2009 = Jx + Jy,且0<x<y,則滿足上式的整數(shù)對(duì)（x,y X若一1 <x <1 ,則，(x1 f +|x+1 =.若xy #0 ,