第一章偏微分方程定解問(wèn)題.

1、第一章偏微分方程定解問(wèn)題引言：在研究、探索自然科學(xué)和工程技術(shù)中，經(jīng)常遇到各種微分方程。牛頓定律m%. g 一一(1)波動(dòng)方程%2 12u , 2u:t2x2y2熱傳導(dǎo)方程百U _ 2仏2U十c2u：t a：x2:y2靜電場(chǎng)位方程a2：2U：2U 2 -2如u送丿衛(wèi)宀02u-2+ f (t, x, y, z-(2)f(t,x,y,z)一f(X, y, z)激波方程-t :x(5)其中（1）為一維常微分方程；（2）-（4）為三維偏微分方程；（5）為 一維偏微分方程。這些數(shù)學(xué)中的微分方程均來(lái)自物理問(wèn)題，有著各自的物理背景， 從數(shù)量關(guān)系上反映著相應(yīng)的物理規(guī)律，稱為數(shù)學(xué)物理方程，簡(jiǎn) 稱數(shù)理方程。數(shù)學(xué)物理

2、方程是數(shù)學(xué)與物理學(xué)的交叉分支學(xué)科。從物理上講它 是理論物理的基本工具；在數(shù)學(xué)上屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的（偏）微分方程分支。本課程主要研究和討論三類數(shù)理方程（2），（3），（4）的建立（導(dǎo)出） 以及幾種常用的典型的求解方法。為了下面研究和討論的方便，先引入有關(guān)微分方程的幾個(gè)基本概念(術(shù)語(yǔ))。1.常，偏微分方程只含一個(gè)自變量，關(guān)于該變量的未知函數(shù)，以及未知函數(shù)對(duì)該變量 的導(dǎo)數(shù)的微分方程為常微分方程，如(1)。含有多個(gè)自變量，關(guān)于這些變量的未知函數(shù)，以及未知函數(shù)對(duì)這些 變量的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程為偏微分方程，如(2)(5)。2.階 上述(1)-(5)均可改寫(xiě)成如下形式(1 'd2xdt2:2u:t2-a2

3、,.f =0專-a2 3u_ f =0 -(3' a2 3u f =0 (4 '吩=0(5 '其中 3 =，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或 u(x,y,z), f=f(t,x,y,z)或 f(x,y,z)。這些方程可歸納為如下形式u u u其中m =m2mn為導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，成為方程的階。3.線性、非線性偏微分方程只涉及未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的線性組合（一次項(xiàng)）的偏微分方程稱為 線性偏微分方程。如（2）-（4）。含有未知函數(shù)及欺騙導(dǎo)數(shù)二次或二次以上乘積項(xiàng)的偏微方程稱為非線性偏微分方程。如（5）。1.1三個(gè)典型方程的導(dǎo)出本課程中研究問(wèn)題的方式是：先將物理問(wèn)題裝化為數(shù)

4、學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型；再求解數(shù)學(xué)模型; 最后由所得解來(lái)分析，解釋，揭示實(shí)際物理問(wèn)題出現(xiàn)的結(jié)果。1.1.1:弦的（微小）橫振動(dòng)（1）相關(guān)的物理規(guī)律牛頓第二定律ma胡克定律 T= Ax（2）波動(dòng)方程的導(dǎo)出微元分析法：(x, x+dx)已知外力 Gt,x;dx二g t,x dxj，均勻線密度為 ' 弦內(nèi)部張力 T(t,x dx) = T(t,x dx)i T2(t,x dx)jT(t,xpT1(t,x)i T2(t,x)j導(dǎo)數(shù)的基和意義：ux二T2/T，ux=T2/T產(chǎn) T2(t,x dx)=ux(t,x dx)T(t,x dx)T2(t,x)二 Ux(t,x)T1(t,x)由牛頓第二定律得

5、到如下矢量關(guān)系式dm盒(t,x) =G(t,x;dx) T(t,x dx) T(t,x)i “(t,x dx) -T(t,x)二 0j ：pdx山tt(t,x)= g(t,x)dx+T2(t,x+ dx)-T2(t,x)由此可得：丄=0,ex；t2xr：x2x X即Ti（t,x）訂律）,-2 - 2當(dāng) gTi(t)#又由小振動(dòng)條件知Ux2 二 T J(t)|ux < 1= &+ ux2 止 1,ds= Jdx2 + du2 = Jl+ ux2dx 上 dx 而 TJ2 丁?2 1 故最終有一維波動(dòng)方程為暫心 f(t,x)，t2x2用同樣的方法可導(dǎo)出:二維波動(dòng)方程（如鼓膜小振動(dòng)）:

6、A2專守心,y），三維波動(dòng)方程（如聲波）：警a2t2f (t,x, yp a2 3U f (t,x, y)。（3）說(shuō)明 波動(dòng)方程反映了一類物理系統(tǒng)，如細(xì)弦、彈性桿、鼓膜、聲音，乃至 電磁系統(tǒng)中的電流、電壓、電場(chǎng)、磁場(chǎng)隨時(shí)間演化的共同規(guī)律。這些 物理系統(tǒng)的狀態(tài)(方程的解)隨時(shí)間的變化是可逆的。而在數(shù)學(xué)上該方 程屬于一類典型的偏微分方程-雙曲型方程。1.1.2:熱傳導(dǎo)問(wèn)題(1) 相關(guān)的物理規(guī)律傅立葉定律(熱傳導(dǎo))-ku kl二+ j二+ k二uI cXcXcX /其中=；dQn為沿n方向的熱流強(qiáng)度，k>0，dSdt能量轉(zhuǎn)化與守恒定律(熱平衡)Q = C V u牛頓冷卻定律(熱交換)q(S,t

7、)= hu(t,x, y,z)|S - u0，其中S為邊界面積，u0為外界溫度。(2) 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出微元分析法dV=dxdydz已知dV中dt內(nèi)產(chǎn)生的熱量為g(t,x,y,z)dVdt經(jīng)面1流入dV的熱量Q滿足： ？= qx = 一 x，dydzdtcx x經(jīng)面2流入dV的熱量Q2滿足：Q2- q _ _ k 7dydzdt %十dx列x) x+dx$x x+dxt > t+dt內(nèi)沿x軸流入dV中的凈熱量為*xix &xx+dxdydzdt=k(Uxlx dUxlx)dydzdb kuxxdxdydzdt,同理，t > t+dt內(nèi)沿y軸流入dV中的凈熱量為Q3 Q4 =

8、 kuyydxdydzdt,t > t+dt內(nèi)沿z軸流入dV中的凈熱量為Q5 Q6 = kuzzdxdydzdt故t > t+dt內(nèi)dV中增加的凈熱量為g(t,x,y,z)dVdt q Q2 Q3 Q4 Q5 Q6二 g(t,x, y, z)dVdt kuxxdVdt kuyydVdt kuzzdVdt二 g(t,x,y,z) k(Uxx Uyy Uzz) dVdt這些熱量用來(lái)使dV內(nèi)的物質(zhì)在t > t+dt內(nèi)升溫，升溫所需的熱量為cdmqdt二c dVutdt，c為物質(zhì)的比熱，由能量守恒定律知：c ' dVydt = g(t,x,y,z) k(Uxx Uyy Uzz

9、) dVdt 即 c q = g(t,x, y, z) k(uxx Uyy uZz)化簡(jiǎn)后可得三維熱傳導(dǎo)方程. 2 - 2:、 2x2； y2: z2+ f (t,x,y,z) = a2 左 3u+ f (t,x,y,z)其中-ck, f（t,x,y,z）= g（t，x，y，z）o同理可得出二維、一維熱傳導(dǎo)方程為:二維（如溫度分布、變化與高度無(wú)關(guān)的柱體）_ a2 G2U + c2u 1 亍a尹I7 If (t,x, y)；一維（如側(cè)面絕熱細(xì)桿）卄弓f（t,x） （3）說(shuō)明 熱傳導(dǎo)方程也反映了一類物理現(xiàn)象的共同特征。只要機(jī)理與熱傳導(dǎo)相 似（有源，流等），如氣體擴(kuò)散、雜質(zhì)擴(kuò)散、濃度擴(kuò)散等，均滿足該

10、形式的方程，故熱傳導(dǎo)方程也常稱為擴(kuò)散方程。這類現(xiàn)象（方程的解）隨時(shí)間的演化是不可逆的。在數(shù)學(xué)上，該方程也屬于一類典型的偏微 分方程-拋物型方程。1.1.3:（靜電）場(chǎng)位方程（1）相關(guān)物理規(guī)律高斯定律VE(x,y, z)LdS 二?(x, y,z)dV (積分形式) o V' 定(x,y,z)二 ierrdee.j +k _鬥 口 <Exi Eyj Ezk=專 專 g 十（x，y，z）（微分形式）FExi + Eyj + Ezk)法拉弟定律 脅, y,z） dH 0 （積分形式） '冒x,y,z）=応丐k虧czex /旦£lx:x : y(2)場(chǎng)位方程的導(dǎo)出若卞(

11、x,y,z)八(x, y,z)=i j k:x :y :z則' 天(x,y,z)二xzcz exa a- s- aTyc；z ozy JBxZ /k =0反之，數(shù)學(xué)上可以證明：若' A(x,y,z)=0，則必有標(biāo)量函數(shù)(x, y, z)，使K八：:(x,y,z)由法拉弟定律可知E代入高斯定律有' (一)一八2二' (x,y,z)，£0化簡(jiǎn)后即得三維場(chǎng)位方程:2 2 2、-Ju -u -=3-f(x,y,z) x y z其中 f (x, y,z)二(x, y,z)，相應(yīng)的二維和一維方程分別是:冷馬f(x,y)和.x y；2Ux2八 f(x)。(3)說(shuō)明

12、場(chǎng)位方程也反映了一類物理現(xiàn)象， 即穩(wěn)定分布現(xiàn)象的共同特征。這些 現(xiàn)象是不隨時(shí)間變化的(方程的解中不含時(shí)間變量)，故也常成為穩(wěn)定 分布方程。例如，熱傳導(dǎo)問(wèn)題中可以出現(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)某物體內(nèi)熱源產(chǎn) 生的熱量恰好等于傳出體外的熱量，此時(shí)體內(nèi)溫度的分布便不隨時(shí)間變化，在熱傳導(dǎo)方程中有卑+卑+卑L f（t,x,y,z）=O, ct （Excy cz熱傳導(dǎo)方程自然轉(zhuǎn)化為溫度的穩(wěn)定分布方程。 在數(shù)學(xué)上，場(chǎng)位方程（有 時(shí)稱為Poisson方程）屬于又一類典型的偏微分方程-橢圓型方 程。1.2定解問(wèn)題及其適定性在完成了建立偏微分（數(shù)理）方程后，接下來(lái)的任務(wù)就是求解這些 方程。為此還要介紹幾個(gè)有關(guān)微分方程解的基本概念

13、。1.2.1:解，通解和特解如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程（取代未知函數(shù)）后，原方程變成一個(gè)恒 等式，該函數(shù)就稱為原方程的解。微分方程的解可分為兩類：通解和特解。例1.2.1求解半=0，其中u =，）。分析：若U"），則法呼心“C為與無(wú)關(guān)的任意常數(shù)。但當(dāng)U =，）時(shí)，雖然由=0形式上仍可得u二C,但此處的常數(shù)c應(yīng)該僅僅只是與無(wú)關(guān)。因,是兩個(gè)獨(dú)立的變量， 故一般說(shuō)來(lái)，C可以與 有關(guān)，即C= f（）為與.無(wú)關(guān)的任意尸2| I函數(shù)。嚴(yán)=0解：將原方程兩邊對(duì) 積分，得u = f （）。例 1.2.2 求解 = 0，其中 u = u，）。解：原方程可寫(xiě)為廠半=0 ,兩邊對(duì)積分一次得 也=h(),兩

14、邊再對(duì)積分一次得u二h()d二g() f)其中g(shù)( ), f ()均為任意可微函數(shù)。上述兩例中方程的解均含有任意函數(shù)。例 1.2.1含一個(gè)，而方程為1 階；例1.2.2中含兩個(gè)，而方程為2階。這種m階偏微分方程的含 有m個(gè)任意函數(shù)的解稱為偏微分方程的通解。與常微分方程通解相 比，它們要復(fù)雜得多。這就從數(shù)學(xué)上表明僅有偏微分方程本身，充其量只能求得其通解 ，不能確定其中任意函數(shù)的具體形式。具體問(wèn)題的解釋不能含有不確定的任意函數(shù)或任意常數(shù)的，這種解稱為方程的特解。以波動(dòng)方程為例從物理上看，在獲得這一方程時(shí)僅考慮到任一時(shí) 刻弦內(nèi)部及外力對(duì)弦內(nèi)部的作用而未考慮初始時(shí)刻弦的運(yùn)動(dòng)以及外 部環(huán)境對(duì)弦震動(dòng)的影響

15、，因此，不管是初始時(shí)不動(dòng)的弦還是初始時(shí)運(yùn) 動(dòng)的弦；不管是無(wú)限長(zhǎng)的弦還是有限長(zhǎng)的弦， 它們的運(yùn)動(dòng)均滿足同一 個(gè)波動(dòng)方程。換句話說(shuō)，這些不同情況的弦的運(yùn)動(dòng)都是波動(dòng)方程的解。 因此，僅有一個(gè)波動(dòng)方程最多就能解出反映各種弦運(yùn)動(dòng)共同特征的通 解，而不能得出反映不同的具有各自特色的弦運(yùn)動(dòng)的特解。前述分析表明實(shí)際上單靠一些數(shù)理方程是不能完全決定一個(gè)具體 問(wèn)題的解的，因此，數(shù)理方程本身被稱為泛定方程。122:定解條件前面已說(shuō)明，要解決一個(gè)具體的數(shù)理問(wèn)題，單給泛定方程是不夠 的。更為嚴(yán)重的是，實(shí)際上只有極少數(shù)極其簡(jiǎn)單的泛定方程能求出其 通解，求解一般的偏微分方程的通解是極其困難的，也不實(shí)用。通常 情況是根據(jù)方程

16、的物理背景或數(shù)學(xué)特點(diǎn)求出某些特定形式的特解，這除了需要泛定方程外，還要有具體問(wèn)題找出相應(yīng)的定解條件。泛定方程+定解條件=定解問(wèn)題。常見(jiàn)的定解條件如下1.初始條件系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的變化是個(gè)歷史過(guò)程。某時(shí)刻（t= 0或t= t0）的狀 態(tài)對(duì)今后時(shí)刻（t> 0或t> t0）的狀態(tài)是會(huì)有影響的，該時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的 數(shù)學(xué)表式即為初始條件。到底怎樣才算給出了初始條件，以自由弦的 波動(dòng)方程為例來(lái)說(shuō)明。自由弦的波動(dòng)方程為utt = a2uxx，關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)為2。 若僅給出u|g：（x），則僅能由方程得出任意x處utt山的值，并不 能得出x處ut|t=o的值，故下一時(shí)刻（匚0）的u|t=tl

17、不知，推求進(jìn)程無(wú) 法繼續(xù)。若同時(shí)給出u|g（x）, Utlg J（X），則下一時(shí)刻（t 0）x處的u" 值可知，同時(shí)由方程可知 utt 弍的值，因此下一時(shí)刻（勺0）x處的 utly的值也可知，再由已知的u、同理可推出更下一時(shí)刻 t2迖的ulfMlf的值，等等。這樣，任一時(shí)刻t>0之u值可 求出。由此推廣可知，偏微分方程中關(guān)于t的最高騙到的最高階數(shù)為 m,則 出數(shù)條件應(yīng)為：給出uljUtltqlll,需之值。Ct lt=0給定初始條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題。注意：初始條件需給出t=0時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)而非某一處的狀態(tài)值。2.邊界條件系統(tǒng)的狀態(tài)變化除了本身的內(nèi)在因素，還要受

18、到周圍環(huán)境的影響。這種影響在數(shù)理方程的求解問(wèn)題中就表現(xiàn)為邊界條件。邊界條件有多種，常見(jiàn)的有以下三類：二 J1(t)；第I類邊界條件：直接給出系統(tǒng)在邊界處的狀態(tài)值，第II類邊界條件：給出系統(tǒng)在邊界處的偏導(dǎo)數(shù)值， 第III類邊界條件：給出系統(tǒng)在邊界處的偏導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)值的線性組合潪。如（u ：ux）lx=x廣 F（t）。到底采用何種邊界條件要由具體問(wèn)題決定。給出邊界條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題。注意：邊界條件需要給出系統(tǒng)邊界處所有時(shí)刻之值而不是某時(shí)刻之同時(shí)給出初始條件和邊界條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱為混合問(wèn)題。3:銜接條件 系統(tǒng)由若干個(gè)性質(zhì)或參數(shù)不同部分組成時(shí)， 各部分交界處的物理量要 滿足一

19、定的數(shù)值關(guān)系，此即銜接條件。如：固、液體界面處的壓強(qiáng)，不同材料連成的彈性桿，不同金屬連成的電阻，不同介電常數(shù)組成的系統(tǒng)，等等 123:定解問(wèn)題的適定性如果一個(gè)定解問(wèn)題的解存在，唯一且穩(wěn)定(初始條件有微小變化 時(shí)，相應(yīng)的解也只有微小的變化)，就稱該定解問(wèn)題是適定的。今后我們只討論適定的定解問(wèn)題，直接承認(rèn)其適定性而不作證 明。1.3三類數(shù)理方程常見(jiàn)的定解問(wèn)題1.3.1 :波動(dòng)方程的定解問(wèn)題F面以一維方程為例來(lái)說(shuō)明 因方程比=a2Ux f (t,x)中對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)最高階數(shù)為2,故需要兩個(gè)初 始條件：Uy"©)，utt=o=®(x)。三類邊界條件如下：I直接給出邊界處X =

20、 x0的振動(dòng)情況U XW = 4 (t)II給出邊界處x =冷的外力，相當(dāng)于給出邊界處的偏微商取微元(x0,x0 ' dx),I已給出x二x0處的負(fù)荷外力為=(t)二F(t) j，則dxunX6 = F(t) + g(t,x°)dx + T2(t,Xo + dx)=F(t) g(t,Xo)dx T2(t,Xo dx)込(1和 丁2(1心 又：yxqt= g(t,X0)dx+T2(t,X0 + dx)-T2(t,x0)X 0二 g(t,Xo)dx Ti(t)Uxx故 F(t) 丁2(1冷)訐億)Ti(t)ux=xo '=0,X=Xo即Uxx需冊(cè)(t)其偏微商的線性組合值

21、 tu-T冬I W= F(t)。X%III邊界x = x0處除外力，還有彈力，相當(dāng)于給出邊界處的函數(shù)值與dxunX6 = F(t) + g(t,x°)dx + T2(t,Xo + dx)dxunX6 = F(t) + g(t,x°)dx + T2(t,Xo + dx)取微元(x0,x0 dx),I已給出x = x0處的負(fù)荷外力=(t)二F(t)j和彈力-kuxo，則用與上述II相同的方法，可得F(t)-ku+Ti(t)Uxx_打0x0xx)移項(xiàng)后即有怦訂瓦= F(t)。x%注意：無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題不需要邊界條件；半無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題需要一個(gè)(端)邊界條件;有限長(zhǎng)弦問(wèn)題需要兩個(gè)(端)邊界

22、條件。132:熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題下面以三為方程ut = a2u3u f (t,x, y, z)為例來(lái)說(shuō)明因方程中對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)最高階數(shù)為1，故需要一個(gè)初始條件: u|t = 9(x, y, z)。三類邊界條件如下：I直接給出邊界面上的溫度值u(t,x,y,z)|=4(t,x,y,z)，I eVeV其中:V為體積V的邊界。II給出邊界面:V上的沿n方向的熱流。相當(dāng)于給出邊界面上的偏微= v(t,x,y,z)。III給出邊界面:V內(nèi)外熱交換,商詈.V在邊界面運(yùn)用法拉第熱傳導(dǎo)定律q(t,x, y,z)即有詈.V=q(t,x, y,z)n;:V-£q(t,x, y,z)引。面外溫度為 二，面內(nèi)

23、溫度為u，相當(dāng)于給出邊界面上的函數(shù)值與其偏微商的線性組合值hu呂在邊界面上運(yùn)用牛頓熱交換定律和傅立葉熱傳導(dǎo)定律，沿n方向在dt內(nèi)流經(jīng)dS的凈熱量為心0嚴(yán)_宜，而熱量在界面上是不能積累的,故有：h(嚴(yán)也唏'hu + Ju|= h日1 。v即:133:場(chǎng)位方程的定解問(wèn)題 因方程中不含對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，故問(wèn)題無(wú)初始條件。 三類邊界條件如下I直接給出邊界上的電勢(shì)值u刃=®(x,y,z)回。II由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系式- u (比較電容器中勻強(qiáng)電場(chǎng)情況)可知En衛(wèi)。若給出邊界面的場(chǎng)強(qiáng)分量值，貝肪目當(dāng)于給出=En(x, y,z).:VIII在時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，熱傳導(dǎo)體系處于溫度穩(wěn)定分布,有q =a

24、i3u * f (t,x,y,z) =0。仿照前述，若體系外界溫度為，則有hu喀丨=h日i-VO_:V可化為1.4波動(dòng)方程的行波解141:維無(wú)界齊次波動(dòng)方程的通解及其處置問(wèn)題的達(dá)朗貝爾公式一維無(wú)界齊次波動(dòng)方程為qt = a2uxx,(iii)令目a ：v(t,x)-(i)，則二V a» = 0-(ii) :t x譏 x設(shè)想作變量變換t=t，),x = x，)以化簡(jiǎn)原方程。此時(shí)，有 u(x, yu(t( , ),x(,),.u:t:u:x:u:u:t :u:x : u=+ =+淀爪ut：rx廠廠一 tr ；x若能將(ii)化為2 = 0，貝yv易由積分求出，若再能將(i)化為v二丿，則

25、u也可由積分求出先看(ii):比較(iii)，若取二二匕且三=匕-(iv)則(ii)再看(i):則(i)k =0-(a)，比較(iii)，若取=k2 且孑二- k2a -(v)k2(b),由(i)、(ii) 、(a)、(b)知原方程化為 按照例1.2.2，對(duì)其積分兩次可得:廠 h( )d =g( ) f( )-(c)f( )、g()均為可微函數(shù)。接著再確定t = t( , ),x = x(,)的具體形式，由(iv)得t = k/ r( ), x = k,as()把(vi)代入(v)得 勢(shì)二k2,粧 k2ad 22解得：r(k2 , S -k2a代入(vi)有 t =匕k2 ,k1a - k2a

26、 ,反解出：x at 二 2k1a , x - at - - 2k2a不妨取k2表明f(x，at)為左行波;即得： x at ,二 x _ at(d)式(d)代入式(c)，得到原方程最終解為:u(t,x) = f (x at) g(x-at)，其中f，g均為任意可微函數(shù)。顯然，這是原波動(dòng)方程的通解。現(xiàn)討論其物理意義:如圖，以a=1為例f (5 1 0) = f (4 11)= f (3 1 2)訂II ,g(5 1 0) = g(6 _ 11) = g(7 _ 1 2)訂 I 丨，表明 g(x - at)為右行波。故無(wú)限長(zhǎng)弦自由橫振動(dòng)的通解為左、右行波解。要具體確定f，g的形式需用初值條件。例

27、1.4.1無(wú)限長(zhǎng)弦自由橫振動(dòng)的初值問(wèn)題=2 = a2斗2，t > 0, _°° < x<+°° 從2ex2UtKQ 芽(x)、一L t=0解:由上面的討論知Utt = a2Uxx的通解是u(t,x)= f (x + at)+ g(x-at)，u _ df ： dg ：丁一曠7? mf '(x at) a g'(x- at) (-a)a f '(x at) _ a g'(x _ at)。將初始值代入得5孑 f(x) + g(x)r(x)f(x)px)=(x，即/iX. -£-U=af'(x

28、)-ag'(x)"(x) 舗)處)=£譏)超，+嚴(yán)心a1i x|f(x2(xaC)+c，2a 0|g(x)二護(hù)(x) 1 訃 e)dcL 2 a 0二 u(t, x) = f (x at) g(x_ at)11 x at1 x -at1 (x at) (x-at)丄 x at,2a x-at()d=2 (x at) 1 o '( )d (x at) 一£ o ' C )d 此即達(dá)朗貝爾公式。達(dá)朗貝爾解的物理意義：反映出初始擾動(dòng)在體系中的傳播過(guò)程(i)初始位移珥x)的擾動(dòng)12【(x at) (x-at).僅由x+at , x-at兩處的值決定

29、(ii)初始速度'(x)的擾動(dòng)2aX知屮 C)dr，由 2x+at，x-at區(qū)間x_at內(nèi)所有初速值共同決定，是一種積累效應(yīng)。令？(x)=2ax'()，則-oO1 (x at)二石x at1( )d (x-at)= 1x-at2a J(呻分別為左、右傳播的位移行波，1 X七t而1' ( ) ? (x at) - ？(X - at)即為兩者的反相疊加2a x-at依賴區(qū)間，確定區(qū)域及影響區(qū)域142 :半直線上的問(wèn)題一一延拓法 例143 端固定半無(wú)界弦的自由振動(dòng)為混合問(wèn)題。因?yàn)橛羞吔?端點(diǎn))，故除了初始條件外，還有邊界條件,2u2 2u . n cp = a2 , t>

30、;0, x>0, dt2dx2u(t,0) =0,Fuu(O,x)(x), ul(x)故不能直接'(x)延拓至解：因(x)， (x)僅在x 0時(shí)有定義，X ： 0時(shí)無(wú)意義。應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式?？赏ㄟ^(guò)補(bǔ)充定義x：0范圍中的初始條件而將 (x)，£ X£ +曲，再利用達(dá)朗貝爾公式。自然延拓后的初始條件在x 0時(shí)有門(mén)(x)=(X), ? (x) J (x) 延拓后按達(dá)朗貝爾公式有u(t,0)=1(at) +(-at)11 at(at) (at)右。(廠(- )d =0因門(mén)(x), ?(x)獨(dú)立，故：(at) ：(at), ?()=八()。又由at任意，故門(mén)(x)(-x

31、),t-(x)-(-x)，均為奇函數(shù)。即()(X)， X"甲()(X), X"即"(X)二；：(X)二。L®(-X), X£0-屮(-X)X£0此時(shí)邊界條件與初始條件均能滿足，有11 x+at血 uu(t, X)二 2門(mén)(x at) “ (x - at)石 x_at ?( )d11 xatx=2®(x + at)z(x-at) +知xC)dJ t詣11 x atx2吩詢)-詐1)+召心怦)卅，匕£下面討論此解的物理意義(為方便起見(jiàn)令)= 0)當(dāng) t - x 時(shí)，u(t, x)二? (x at) (x - at),

32、x 0 ,a2t時(shí)刻x處的位移由初位移的左行波 (x at)與右行波(x- at)決由圖可知:(x)的左行波總能影響x點(diǎn)， (x)的左行波在2 -時(shí)對(duì) ax點(diǎn)影響。當(dāng) t a時(shí)，u(t, x)二 £ (x at) -(at - x), x 0, a2(x at)仍是(x)形成的左行波，而-:(at - x)八(x- at)是由-(-X)形成的右行波，t時(shí)刻x處的位移由該兩波決定。下圖示意上述結(jié)論：-:(at - x)到底是何右行波?因-(-x)是(x)先經(jīng)y軸反射為：:(-x)，再經(jīng)x軸反射而成, 故- :(at-x)是門(mén)(x at) (x at)的反相反射右行波，如下圖：由此有結(jié)論

33、：該問(wèn)題中弦的波動(dòng)在仁*時(shí)由初始擾動(dòng)形成的左、a右行波決定；在t -時(shí)由初始擾動(dòng)形成的左行波及其經(jīng)端點(diǎn)反射形 a成的反相反射右行波決定?？梢?jiàn)該問(wèn)題中端點(diǎn)的作用：形成于入射波反相的反射波。假想一無(wú)限長(zhǎng)弦，x二0處并不固定，但初始位移為-(x)而非(x)，如下圖由圖可知任一時(shí)刻t在x = 0處門(mén)(x)形成的左、右行波"(x，at)、 "(x-at)互相抵消，x = 0處u(t,O) = O ;而假想系統(tǒng)中x 0部分是完 全等同于實(shí)際研究的半無(wú)界系統(tǒng)，故假想系統(tǒng)解的x 0部分即為所求解。同時(shí)也可見(jiàn)(x-at)為和(x at)的反相反射波。143:中心對(duì)稱球面波三維自由(齊次)波動(dòng)方程2 2=a3u = a2關(guān)于x、y、z三變量是對(duì)稱的。若初始條件t=0:u:t僅與距離t=0. x2 y2 z2有關(guān)，則可以猜想到其初值問(wèn)題fu兀0r = x2y2z2-(r)必有球?qū)ΨQ解u(t,r)。求解這樣的問(wèn)題可將三維問(wèn)題化為一維問(wèn)題求解。解：令 u = u(t,x, y,z) = u(t, r), r = x2 y2 z2。先將泛定方程由直角坐標(biāo)形式化為求坐標(biāo)形式:也二遼辿二 2x：u _ x u:x :x :r 2 x2 y2 z2 ： r r :rx21 xx :u x2 ：2u r丿占r r2占r2r r2同理:<r1 x二1£T