高數(shù)上有理函數(shù)的不定積分

1、一一、有有理理函函數(shù)數(shù) mmmmmnnnnnbxbxbxbxbaxaxaxaxaxQxPxR 122110122110)()()()(xR叫叫有有理理函函數(shù)數(shù)，它它是是兩兩個個實實系系數(shù)數(shù)多多項項式式之之商商所所表表 示示的的函函數(shù)數(shù)。 例例如如：32 xx，3) 1(13 xxx，12214 xxx都都是是有有理理函函數(shù)數(shù)。 1 1. .有有理理函函數(shù)數(shù)的的分分類類)(xR按按分分子子與與分分母母的的最最高高次次冪冪 nm 與與的的不不同同情情況況可可分分為為： （1）當當mn 時時，)(xR稱稱為為真真分分式式； （2）當當mn 時時，)(xR稱稱為為假假分分式式。 若若)(xR是是假假分

2、分式式，可可把把它它化化為為多多項項式式與與真真分分式式之之和和。 例例如如 6531659242223 xxxxxxxxx。 2 2把真分式分解為部分分式把真分式分解為部分分式設(shè)設(shè))()(xQxP為為真真分分式式。 （1）分分母母)(xQ中中若若有有因因式式kax)( ，則則分分解解后后 有有下下列列 k 個個部部分分分分式式之之和和： 特特別別地地，當當1 k時時，則則分分解解后后有有axA 。 ,)()(221kkaxAaxAaxA 其其中中 , ,21kAAA都都是是常常數(shù)數(shù)。 kkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()( 22222211特特別別地地，當當1 k時時，則則

3、分分解解后后有有qPxxNMx 2。 （2）分分母母)(xQ中中若若有有因因式式kqpxx)(2 ，其其中中 042 qp，則則分分解解后后有有下下列列 K 個個部部分分分分式式之之和和： 其中其中 , ,21kMMM； , ,21kNNN都是常數(shù)。都是常數(shù)。 例例如如真真分分式式22322)32()2)(1(13 xxxxxx的的分分母母中中 含有含有2x，)1( x，3)2( x，22)32( xx， 故故其其分分解解式式為為下下列列八八個個部部分分分分式式之之和和： 332211221)2()2(21 xCxCxCxBxAxA2222211)32(32 xxExDxxExD例例 1求求d

4、xxxx 6532 解：解：23)2)(3(3 )04( 65322 xBxAxxxqpxxx， ,)2)(3()3()2( 6532 xxxBxAxxx),3()2(3 xBxAx下下 面面 用用 兩兩 種種 方方 法法 確確 定定 系系 數(shù)數(shù) BA 和和。 （1）賦值法賦值法 令令2 x，得得B 5，5 B， 令令3 x，得，得A 6，6 A。 （2 2）比較法比較法 ,32)()3()2(3BAxBAxBxAx 563321 BABABA2536 6532 xxxxx dxxxx6532 Cxx 2ln53ln6 dxxx)2536( .)2()3(ln56Cxx 例例 2 2求求 dx

5、xx2)1(1 解：解：22)1(1)1(1 xCxBxAxx， ,)1()1(12CxxBxxA 令令1 x，1 C， 比比較較2x項項的的系系數(shù)數(shù)：0 BA，1 B。 22)1(1111)1(1 xxxxx， .111ln)1(1111)1(122Cxxxdxxxxdxxx 令令0 x，1 A， 例例 3 3求求 dxxxxx)22)(2(22 解解：22)2()22)(2(222 xxCBxxAxxxx， )2)()22(22 xCBxxxAx， 令令0 x，)(20CA ，2 C； 比比較較2x的的系系數(shù)數(shù)，1 BA，1 B。 22222)22)(2(222 xxxxxxxx， 令令2

6、 x，A24 ，2 A； dxxxxxdxxxxx)22222()22)(2(222 dxxxdxxxxx 2212222212ln222 22221)1()1(22)22(212ln2xxdxxxxdxCxxxx )1arctan(22ln212ln22.)1arctan(22)2(ln22Cxxxx 3 3有理函數(shù)的積分步驟：有理函數(shù)的積分步驟： 若若有有理理函函數(shù)數(shù))(xR是是假假分分式式，則則通通過過除除法法將將)(xR化化為為 多多項項式式與與真真分分式式之之和和，否否則則可可省省去去這這一一步步。 將真分式分解為部分分式之和。將真分式分解為部分分式之和。 求多項式和各部分分式的積分

7、，再相加即得所求之有求多項式和各部分分式的積分，再相加即得所求之有 理函數(shù)的積分。理函數(shù)的積分。 有理函數(shù)的積分是積分學中解決得最完善、最徹底的部分。有理函數(shù)的積分是積分學中解決得最完善、最徹底的部分。 真分式的積分可以變換成部分分式的積分，而部分分式的真分式的積分可以變換成部分分式的積分，而部分分式的 積分可以歸結(jié)為以下四種類型的積分：積分可以歸結(jié)為以下四種類型的積分： ( (1 1) )dxaxA ； ( (2 2) )1( )( ndxaxAn； ( (3 3) )04( 22 qpdxqpxxNMx； ( (4 4) )041( )(22 q, pndxqpxxNMxn。 前面三種積分

8、都比較容易，已在上面例題中介紹了它們前面三種積分都比較容易，已在上面例題中介紹了它們 的的解解法法，最最后后一一種種積積分分方方法法較較繁繁，可可查查閱閱積積分分表表中中的的公公式式，這里不再討論它的解法。這里不再討論它的解法。 上面介紹的是有理函數(shù)積分的常規(guī)方法，在具體解題時，上面介紹的是有理函數(shù)積分的常規(guī)方法，在具體解題時， 應(yīng)優(yōu)先考慮其他簡便方法。應(yīng)優(yōu)先考慮其他簡便方法。 dxxx 202)1( Ctttdtttt 17181918192017191191)121(.)1(171)1(91)1(191171819Cxxx dttttdtttdtdxtx20220221)1( ,1令令例例

9、4. 求下列積分：求下列積分：.8ln318)8(31333Cxxxd dxxx 832 二二、三三角角函函數(shù)數(shù)有有理理式式的的積積分分 由常數(shù)和三角函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所得到的函數(shù)稱由常數(shù)和三角函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所得到的函數(shù)稱 2 2半角代換法半角代換法 令令tx 2tan，則，則txarctan2 ，dttdx212 ， 212sinttx ， 2211costtx ， 為為三三角角函函數(shù)數(shù)有有理理式式，可可用用)cos ,(sinxxR表表示示。 dttttttRdxxxR222212)11 ,12()cos ,(sin。 1 1三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式 dxxxR)cos ,

10、(sin可可用用半半角角代代換換法法化化為為有有理理函函數(shù)數(shù)的的積積分分。 例例 5 5求求dxxxx 1cossincot 解解：令令tx 2tan，則則dttdx212 ，212sinttx ， dxxxx 1cossincotdtttttttt22222121111221 t121 dtdtdttt 21.2tan 2tan ln21 ln21CxxCtt ,21cot ,11cos222ttxttx （2 2）dxxx sin1sin xdxdxxxdxxxx 222tancossincos)sin1(sinCxxxdxxdxxx tansec)1(sectansec2 Cxxdx )

11、2tanarctan(21)(tan)22(tan1 盡管半角代換在理論上很重要盡管半角代換在理論上很重要, ,但是計算量較大但是計算量較大, ,并不簡便。并不簡便。 例例6求下列不定積分求下列不定積分dxxx )1(seccos122對對初初等等函函數(shù)數(shù)來來說說，在在其其定定義義區(qū)區(qū)間間上上它它的的原原函函數(shù)數(shù)一一定定存存在在， 但但有有些些原原函函數(shù)數(shù)不不一一定定是是初初等等函函數(shù)數(shù)，例例如如： dxex2， dxxxsin， xdxln， dxx 31， dxx )sin(2 ， )10(sin12kdxxk，dxx 411等。等。 我們稱這些積分是“我們稱這些積分是“積不出來的積不出來的” ?！?。 有理函數(shù)的不定積分是可以積出來的，即有理函數(shù)的有理函數(shù)的不定積分是可以積出來的，即有理函數(shù)的 原函數(shù)都是初等函數(shù)，其原函數(shù)是有理函