數(shù)學(xué)建模-微分方程的穩(wěn)定性

1、穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型1 微分方程穩(wěn)定性的理論知微分方程穩(wěn)定性的理論知識(shí)識(shí)2 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲捕魚業(yè)的持續(xù)收獲3 軍備競賽軍備競賽4 廢水的生物處理廢水的生物處理 穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型 對象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)對象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定態(tài)是否穩(wěn)定. 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性.1 微分方程穩(wěn)定性的理論知識(shí)微分方程穩(wěn)定性的理論知識(shí)1.1 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性1.2 線性

2、常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性1.1 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性) 1 ()(xFx 一階非線性自治一階非線性自治(右端不含右端不含t)方程方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)000 xxxxx設(shè)設(shè)x(t)是方程的解，若從是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，某鄰域的任一初值出發(fā)，都有都有,)(lim0 xtxt稱稱x0是方程是方程(1)的的穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn).不求不求x(t), 判斷判斷x0穩(wěn)定性的方法穩(wěn)定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxFx(1)的近似線性方程的近似線性方

3、程)1 (),2(0)(00對穩(wěn)定xxF)1 (),2(0)(00對不穩(wěn)定xxF1.2 線性常系線性常系數(shù)微分方程組數(shù)微分方程組dycxtybyaxtx)()(的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P0(x0,y0)=(0,0) 代數(shù)方程代數(shù)方程00dycxbyax的根的根若從若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有某鄰域的任一初值出發(fā)，都有,)(lim0 xtxt稱稱P0是微分方程的是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn),)(lim0ytyt記系數(shù)矩陣記系數(shù)矩陣dcbaA特征方程特征方程0)det( IAAqdapqpdet)(02特征根特征根2/ )4(22, 1qpp線性常系數(shù)線性常系數(shù)微

4、分方程組微分方程組dycxtybyaxtx)()(的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性特征根特征根2/ )4(22, 1qpp平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) P0(0,0)微分方程一般解形式微分方程一般解形式ttecec2121平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) P0(0,0)穩(wěn)定穩(wěn)定平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) P0(0,0)不穩(wěn)定不穩(wěn)定 1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部p 0 且且 q 0p 0 或或 q 0cErEpNEESETER)1 ()()()(R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度臨界強(qiáng)度) Es=2ER)1 (rENxsspc臨界強(qiáng)度下的漁場魚量臨界強(qiáng)度下的漁場魚量 cp ,ER)1(2pNcrERE*令令=0)1 (

5、pNcrEsssxE,xs由成本由成本價(jià)格比決定價(jià)格比決定捕撈過度捕撈過度捕撈捕撈過度過度T(E)0rES(E)Es2Es1S(E)pNEE*pNE/2)()()(ESETERpNcpN2/)1 ()(rEpNEET收入收入cEES)(支出支出利潤利潤臨界強(qiáng)度臨界強(qiáng)度Es=0)/2/(NcpNc 經(jīng)濟(jì)學(xué)捕撈過度經(jīng)濟(jì)學(xué)捕撈過度*1EEEss2/pNc )/2(Ncp*2EEEss 生態(tài)學(xué)捕撈過度生態(tài)學(xué)捕撈過度捕魚業(yè)的捕魚業(yè)的持續(xù)收獲持續(xù)收獲在自然增長和捕撈情況的合理假設(shè)下建模在自然增長和捕撈情況的合理假設(shè)下建模.用平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析確定漁場魚量穩(wěn)定條件用平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析確定漁場魚量穩(wěn)定條件,討論產(chǎn)

6、量、效益和捕撈過度討論產(chǎn)量、效益和捕撈過度3個(gè)模型個(gè)模型.3 軍備競賽軍備競賽 描述雙方描述雙方(國家或國家集團(tuán)國家或國家集團(tuán))軍備競賽過程軍備競賽過程. 解釋解釋(預(yù)測預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局雙方軍備競賽的結(jié)局.假設(shè)假設(shè) 1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；方軍備增加越快； 2）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對）由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大；自己軍備增長的制約越大； 3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力在增加軍備的潛力.進(jìn)一步進(jìn)一步假設(shè)假設(shè) 1）2）的作用

7、為線性；）的作用為線性；3）的作用為常數(shù)）的作用為常數(shù).目的目的gkyxtx)( 建模建模軍備競賽的結(jié)局軍備競賽的結(jié)局微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性x(t)甲方軍備數(shù)量，甲方軍備數(shù)量， y(t)乙方軍備數(shù)量乙方軍備數(shù)量hylxty)( , 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l 對方對方軍備數(shù)量的刺激；軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方本方軍備競賽的潛力軍備競賽的潛力.t 時(shí)的時(shí)的x(t)，y(t)klAqpdet0)(klhglyklgkhx00,平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷l(xiāng)kA系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(x0, y0)穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件0, 0qpk

8、lhylxtygkyxtx)()(模型模型軍備競賽軍備競賽模型的定性解釋模型的定性解釋kl雙方軍備穩(wěn)定雙方軍備穩(wěn)定(時(shí)間充分時(shí)間充分長后趨向有限值長后趨向有限值)的條件的條件1) 雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時(shí)，軍備競賽雙方經(jīng)濟(jì)制約大于雙方軍備刺激時(shí)，軍備競賽 才會(huì)穩(wěn)定，否則軍備將無限擴(kuò)張才會(huì)穩(wěn)定，否則軍備將無限擴(kuò)張.平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)klhglyklgkhx00,2) 若若g=h=0, 則則 x0=y0=0, 在在 kl 下下 x(t), y(t)0, 即友好鄰國通過裁軍可達(dá)到永久和平即友好鄰國通過裁軍可達(dá)到永久和平.hylxtygkyxtx)()(模型模型 , 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約；本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的

9、制約； k, l 對方對方軍備數(shù)量的刺激；軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方本方軍備競賽的潛力軍備競賽的潛力.3）若）若 g,h 不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí)不為零，即便雙方一時(shí)和解，使某時(shí)x(t), y(t)很小，但因很小，但因 ，也會(huì)重整軍備，也會(huì)重整軍備.0, 0yx4）即使某時(shí)一方）即使某時(shí)一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減軍備大減, 如如 x(t)=0， 也會(huì)因也會(huì)因 使該方重整軍備，使該方重整軍備，gkyx 即存在互不信任即存在互不信任( ) 或固有爭端或固有爭端( ) 的單方面的單方面裁軍不會(huì)持久裁軍不會(huì)持久.0k0g模型的定性解釋模型的定性解釋 , 本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約

10、；本方經(jīng)濟(jì)實(shí)力的制約； k, l 對方對方軍備數(shù)量的刺激；軍備數(shù)量的刺激；g, h 本方本方軍備競賽的潛力軍備競賽的潛力.hylxtygkyxtx)()(模型模型4 廢水的生物處理廢水的生物處理 廢水處理廢水處理 (去掉有害的有機(jī)物去掉有害的有機(jī)物) 通常通常有生物化學(xué)與物理化學(xué)兩種方法有生物化學(xué)與物理化學(xué)兩種方法.背景與問題背景與問題 生物處理生物處理 利用微生物利用微生物(主要是細(xì)菌主要是細(xì)菌)的生命活動(dòng)過的生命活動(dòng)過程程, 把廢水中的有機(jī)物轉(zhuǎn)化為簡單的無機(jī)物把廢水中的有機(jī)物轉(zhuǎn)化為簡單的無機(jī)物. 已知廢水中有害物質(zhì)濃度為已知廢水中有害物質(zhì)濃度為10-310-2g/m3, 要將濃度降要將濃度

11、降至至510-4g/m3以下以下, 需建立廢水與微生物混合的處理池需建立廢水與微生物混合的處理池. 設(shè)廢水將以設(shè)廢水將以10m3/h的流量進(jìn)入處理池的流量進(jìn)入處理池, 確定處理池的確定處理池的容積容積, 使排出廢水中使排出廢水中有害物質(zhì)的濃度達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)有害物質(zhì)的濃度達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn).模型假設(shè)模型假設(shè) 生物化學(xué)提供了有機(jī)物分解、轉(zhuǎn)化和生物化學(xué)提供了有機(jī)物分解、轉(zhuǎn)化和微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)參數(shù)微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)參數(shù)2. 微生物依于有害物質(zhì)分解、轉(zhuǎn)化的能量而增殖的速微生物依于有害物質(zhì)分解、轉(zhuǎn)化的能量而增殖的速率與有害物質(zhì)濃度成正比，比例系數(shù)率與有害物質(zhì)濃度成正比，比例系數(shù)r2=1.

12、26m3/g . h4. 處理池內(nèi)有害物質(zhì)和微生物任何時(shí)候都均勻混合處理池內(nèi)有害物質(zhì)和微生物任何時(shí)候都均勻混合,排出廢水中有害物質(zhì)和微生物的濃度與池內(nèi)相同排出廢水中有害物質(zhì)和微生物的濃度與池內(nèi)相同.3. 微生物的自然死亡率為常數(shù)微生物的自然死亡率為常數(shù) d=10-5/h1. 有害物質(zhì)被微生物分解、轉(zhuǎn)化而消失的速率與微生有害物質(zhì)被微生物分解、轉(zhuǎn)化而消失的速率與微生物濃度成正比，比例系數(shù)物濃度成正比，比例系數(shù)r1=0.1m3/g . hc(t) 時(shí)刻時(shí)刻 t 有害物質(zhì)的濃度有害物質(zhì)的濃度 b(t) 時(shí)刻時(shí)刻 t 微生物的濃度微生物的濃度模型假設(shè)模型假設(shè) 生物化學(xué)提供了有機(jī)物分解、轉(zhuǎn)化和生物化學(xué)提供

13、了有機(jī)物分解、轉(zhuǎn)化和微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)參數(shù)微生物增殖、衰亡的規(guī)律及相關(guān)參數(shù)6. 進(jìn)入處理池的廢水中有害物質(zhì)濃度為進(jìn)入處理池的廢水中有害物質(zhì)濃度為c0, c01 c0 c02, c01= 10-3g/m3, c02= 10-2g/m3, c0可以改變可以改變, 最壞情況是最壞情況是c0由由c01突然增加到突然增加到c027. 環(huán)境保護(hù)法規(guī)定的廢水中有害物質(zhì)濃度為環(huán)境保護(hù)法規(guī)定的廢水中有害物質(zhì)濃度為c*=510-4 g/m3, 它是長期穩(wěn)定排放的標(biāo)準(zhǔn)它是長期穩(wěn)定排放的標(biāo)準(zhǔn), 如果是短期排放并超如果是短期排放并超標(biāo)不大標(biāo)不大, 可以用處罰等方法解決可以用處罰等方法解決.5. 忽略蒸發(fā)等因素

14、忽略蒸發(fā)等因素, 廢水進(jìn)入處理池和排出處理池的廢水進(jìn)入處理池和排出處理池的流量均為常數(shù)流量均為常數(shù)Q=10m3/h; 廢水滿池廢水滿池, 池的容積為池的容積為V單池模型單池模型建立一個(gè)處理池建立一個(gè)處理池 (t, t+ t) 內(nèi)內(nèi)池內(nèi)有害物質(zhì)的平衡池內(nèi)有害物質(zhì)的平衡改變量改變量 = 進(jìn)入量進(jìn)入量 排出量排出量 分解轉(zhuǎn)化量分解轉(zhuǎn)化量)()(tcttcVttQctQc)(0ttctbVr)()(1c(t) 有害物質(zhì)濃度有害物質(zhì)濃度b(t) 微生物的濃度微生物的濃度V池的容積池的容積bcrccVQdtdc10)(t, t+ t) 內(nèi)內(nèi)池內(nèi)微生物的平衡池內(nèi)微生物的平衡)()(tbttbVttQbttV

15、dbttctbVr)()()()(2bVQdcrdtdb)(2Q流量流量非線性方程組無解析解非線性方程組無解析解單池模型的穩(wěn)態(tài)狀況單池模型的穩(wěn)態(tài)狀況平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)用微分方程穩(wěn)定性理論可以驗(yàn)證用微分方程穩(wěn)定性理論可以驗(yàn)證:bcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2cVrccQbVrVdQcP1021)(,:0,:02bccPVQdcr/02微生物的增殖率大于死亡和排除率微生物的增殖率大于死亡和排除率dcrQVcc020當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)P1穩(wěn)定穩(wěn)定, P2不穩(wěn)定不穩(wěn)定單池模型的穩(wěn)態(tài)狀況單池模型的穩(wěn)態(tài)狀況c01 c0 c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g . hd=10-5/hc0=c

16、01= 10-3g/m3V8103 m3V1.6104 m3c0=c*= 510-4 g/m3Vc0dcrQV02平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P1穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件為使穩(wěn)定狀況下有害物質(zhì)濃度達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)為使穩(wěn)定狀況下有害物質(zhì)濃度達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)c*, 處理池的容積至少需要達(dá)到處理池的容積至少需要達(dá)到1.6104 m3.一個(gè)長寬各一個(gè)長寬各100 m, 深深1.6m的的池子池子!考察最壞情況考察最壞情況取穩(wěn)定平衡點(diǎn)取穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1為初值為初值, 即即單池模型的動(dòng)態(tài)過程單池模型的動(dòng)態(tài)過程當(dāng)當(dāng)c0=c01時(shí)池內(nèi)濃度已處于穩(wěn)態(tài)時(shí)池內(nèi)濃度已處于穩(wěn)態(tài), c0突然增加到突然增加到c02)0()0()0(,)0(102cVrccQ

17、bVrVdQcbcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2設(shè)設(shè)V=1.6104 m3 和和 3104 m3, 用數(shù)值方法解微分方程組用數(shù)值方法解微分方程組:有害物質(zhì)濃度將有有害物質(zhì)濃度將有約約1300小時(shí)超過小時(shí)超過2c*, 最高達(dá)到最高達(dá)到5c*單池模型的動(dòng)態(tài)過程單池模型的動(dòng)態(tài)過程01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=1.6104m3c(10-3g/m3)t(h)01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3g/m3)t(h)有害物質(zhì)濃度將有有害物質(zhì)濃度將有約約9

18、00小時(shí)超過小時(shí)超過2c*, 最高達(dá)到最高達(dá)到3c*13002c*要達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)需要太大的池子要達(dá)到規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)需要太大的池子!長寬各長寬各100 m, 深深3m的的池子池子兩個(gè)串接的池子兩個(gè)串接的池子雙池模型雙池模型V1, c1, b1Q, c0V2, c2, b2Q, c1, b1池池池池1111011)(cbrccVQdtdc1222222)(bVQbVQdcrdtdb2212122)(cbrccVQdtdc11121)(bVQdcrdtdb與單池模型相同與單池模型相同(只是加上下標(biāo)只是加上下標(biāo)1)增加從池增加從池的流入量的流入量池池方程方程的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)雙池模型的穩(wěn)態(tài)狀況雙池模型的穩(wěn)

19、態(tài)狀況11110121111)(,:crVccQbrVdVQcPdcrQVcc02101當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)P1穩(wěn)定穩(wěn)定c0=c01, V18103 m3池池方程方程的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn))(4)(21,)(:21222111221112222122122VQdcrVQdbrcrVQdbrcrrccrVccQbP*11*2*1*12*2)()(cbrdcrccccQVcc要求穩(wěn)態(tài)下要求穩(wěn)態(tài)下雙池模型的穩(wěn)態(tài)狀況雙池模型的穩(wěn)態(tài)狀況*11*2*1*12)()(cbrdcrccccQV在在c0=c01, V18103 m3下取值計(jì)算下取值計(jì)算c1, b1, V2V1(103m3)c1(10-3g/m3)b1(10-3g/m3)V2(103m3)81.000.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.10,)(,1111012111crVccQbrVdVQc應(yīng)選擇較大的應(yīng)選擇較大的V1和較小的和較小的V2相配合的方案相配