全等三角形..全等三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題.教師版

1、第四講全等三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中考要求板塊考試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求全等三角形的性質(zhì)及判定會(huì)識(shí)別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題會(huì)運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)睛基本知識(shí)把圖形繞平面上的一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得到圖形，這樣的由圖形到變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，叫做旋轉(zhuǎn)角，叫做的象；叫做的原象，無(wú)論是什么圖形，在旋轉(zhuǎn)變換下，象與原象是全等形很明顯，旋轉(zhuǎn)變換具有以下基本性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件盯對(duì)集中，

2、以便于諸條件的綜合與推演重、難點(diǎn)重點(diǎn)：本節(jié)的重點(diǎn)是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。同時(shí)全等三角形的判定也是本章的重點(diǎn)，特別是幾種判定方法，尤其是當(dāng)在直角三角形中時(shí)，HL的判定是整個(gè)直角三角形的重點(diǎn)難點(diǎn)：本節(jié)的難點(diǎn)是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個(gè)是條件，決定哪個(gè)結(jié)論，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，即書寫格式，都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化例題精講【例1】 如圖，有四個(gè)圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來(lái)的圖案相互重合，其中有一個(gè)圖案與其余三個(gè)圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，

3、它是( )【解析】 A【例2】 如圖，同學(xué)們?cè)孢^(guò)萬(wàn)花筒，它是由三塊等寬等長(zhǎng)的玻璃片圍成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為中心( )A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到 B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到 D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到【解析】 D【例3】 已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：【解析】 、是等邊三角形，【點(diǎn)評(píng)】此題放在例題之前回憶，此題是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形【例4】 如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊ABC和等邊CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，則圖中可通過(guò)旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有(

4、)A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)【解析】 C【補(bǔ)充】已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：平分 【解析】 過(guò)點(diǎn)作于，于，由，利用進(jìn)而再證，可得到，故平分【補(bǔ)充】如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形請(qǐng)你證明：；平分【解析】 此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形其中蘊(yùn)含了許多等量關(guān)系與三角形各內(nèi)角相等，及平行線所形成的內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等；全等三角形推導(dǎo)出來(lái)的對(duì)應(yīng)角相等推到而得的：；，；，；，；為等邊三角形、是等邊三角形，由易推得，所以，又，進(jìn)而可得為等邊三角形易得過(guò)點(diǎn)作于，于，由，利用進(jìn)而再證，可得，故平分【例5】 如圖，三點(diǎn)共線，且與是等邊三角形，連結(jié)，分別交，于，點(diǎn)求證：【解析】 與都是等邊三角形

5、，及，三點(diǎn)共線，在與中 ，在與中 ，【例6】 (2008年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷)如圖，四邊形、都是正方形，連接、求證：【解析】 在和中 【補(bǔ)充】(年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南區(qū)初賽)如下圖，在線段同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形和()，點(diǎn)與點(diǎn)分別是線段和的中點(diǎn)，則是( )A鈍角三角形 B直角三角形C等邊三角形 D非等腰三角形【解析】 易得所以可以看成是繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到的又為線段中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，故就是繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得所以且，故是等邊三角形，選C【例7】 如圖，等邊三角形與等邊共頂點(diǎn)于點(diǎn)求證：【解析】 是等邊三角形，同理，在與中， ，【例8】 如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

6、求證：是等邊三角形【解析】 ，又、分別是、的中點(diǎn)，是等邊三角形【例9】 如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，問(wèn)的度數(shù)是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說(shuō)明理由 【解析】 連接，將條件，這兩個(gè)條件，易得()，得，由，(公共邊)，知()，故的度數(shù)是定值【例10】 (2005年四川省中考題)如圖，等腰直角三角形中，為中點(diǎn)，求證：為定值 【解析】 連結(jié)由上可知，而，【補(bǔ)充】如圖，正方形繞正方形中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為、，求證：【解析】 正方形中，而，【例11】 (2004河北)如圖，已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 求證：【解析】 證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)?，所以，所?，故，故 【補(bǔ)

7、充】如圖所示，在四邊形中，于，若四邊形 的面積是16，求的長(zhǎng)【解析】 如圖，過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，容易證得(實(shí)際上就是把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形)正方形的面積等于四邊形面積為，【例12】 (1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)在等腰的斜邊上取兩點(diǎn)、，使，記，則以、為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是( ) A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D隨、的變化而變化 【解析】 如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連結(jié)，則，又易得，在中，有，故應(yīng)選(B)【鞏固】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平分交邊于點(diǎn)求證：設(shè)()，與的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)的值及若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 證明： 如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使

8、得，連結(jié)因?yàn)槭钦叫?，所以在和中，?是的平分線，即，即，得證 ，由知，所以在中，由上式可知，當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，最大而，所以，當(dāng)時(shí)，最大值為【例13】 、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證： 【解析】 延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，易證，再證，全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等(利用三角形全等可證得)，則有【例14】 (通州區(qū)2009一模第25題)請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖1在中，點(diǎn)、分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，使問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題： 猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)

9、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，其它條件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明 【解析】 證明：根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中即又即 關(guān)系式仍然成立證明：將沿直線對(duì)折，得，連，又，又， 在中即【補(bǔ)充】(1)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BD，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD求證：EFBEFD;(2) 如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，B+D，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 【解析】 證明：延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，聯(lián)結(jié)AG ABGABC=D， ABAD，AGAF， GAE=EAF又AEAE，EG

10、EF EG=BE+BGEF= BEFD (2) (1)中的結(jié)論仍然成立 【例15】 (北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng) 【解析】 如圖所示，延長(zhǎng)到使在與中，因?yàn)?，所以，故因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?在與中，所以，則，所以的周長(zhǎng)為【例16】 在等邊的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M，N，D為外一點(diǎn)，且，探究：當(dāng)點(diǎn)M，N分別愛直線AB，AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)

11、=_如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且時(shí)，猜想(1)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=x，則Q=_(用x，L表示)【解析】 BM+NC=MN;(2)猜想：仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng)AC至E，使CE=BM，連接DE 由是等邊三角形，在與中的周長(zhǎng)=而等邊的周長(zhǎng)(3)【例17】 平面上三個(gè)正三角形，兩兩共只有一個(gè)頂點(diǎn)，求證：與平分【解析】 連接與，在與中在與中為平行四邊形，互相平分【例18】 已知：如圖，、都是等邊三角形，且、共線，求證：也是等邊三角形【解析】 連結(jié)，所以，并且與的夾角為，延長(zhǎng)交于，則又因?yàn)?，所以所以，【?9】 (

12、1997年安徽省競(jìng)賽題)如圖，在外面作正方形與，為的高，其反向延長(zhǎng)線交于，求證：(1);(2)【解析】 證明;(2)作，先證，再證【補(bǔ)充】以ABC的兩邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE、ACFG，求證：CE=BG，且CEBG 【解析】 易證，故，又，故【例20】 (北京市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 如圖所示，在五邊形中，求此五邊形的面積 【解析】 我們馬上就會(huì)想到連接、，因?yàn)槠渲杏袃蓚€(gè)直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角形的面積并不容易，至此思路中斷我們回到已知條件中去，注意到，這一條件應(yīng)當(dāng)如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等時(shí)我們常用的“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如圖所示)？據(jù)此，連接，則

13、發(fā)現(xiàn)，且，是底、高各為的三角形，其面積為，而與全等，從而可知此五邊形的面積為【例21】 (希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題) 在五邊形中，已知，連接求證：平分 【解析】 連接由于，我們以為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置因，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，而，所以、在一條直線上，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在點(diǎn)的位置，且，所以在與中，因?yàn)?，故，因此，即平分家庭作業(yè)【習(xí)題1】 如圖，已知和都是等邊三角形，、在一條直線上，試說(shuō)明與相等的理由【解析】 ，又【習(xí)題2】 (湖北省黃岡市2008年初中畢業(yè)生升學(xué)考試)已知：如圖，點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：【解析】 在和中【習(xí)題3】 (2008山東)在梯形中，是中點(diǎn)，試判斷與的位置關(guān)系，并寫出推理過(guò)程 【解析】 延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)是中點(diǎn)，在和中，又，在和中，【習(xí)題4】 已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形、分別是、 的高求證：【解析】 由，利用進(jìn)而再證，可得到月測(cè)備選【備選1】 在等腰直角中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)， 交于點(diǎn)，試說(shuō)明的形狀和面積將如何變化 【解析】 連接因?yàn)榍?，所以因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，