數(shù)學(xué)選修21 空間向量與立體幾何

1、（數(shù)學(xué)選修2-1）第三章 空間向量與立體幾何解答題精選1 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點(diǎn) （）證明：面面；（）求與所成的角；（）求面與面所成二面角的大小 1.證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 （）證明：因由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面 又在面上，故面面 （）解：因（）解：在上取一點(diǎn)，則存在使要使為所求二面角的平面角 2 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形,平面底面 （）證明：平面； （）求面與面V所成的二面角的余弦值 2.證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系 （）證明：不防設(shè)作，則， ， 由得，又，因而與平面內(nèi)

2、兩條相交直線，都垂直 平面 （）解：設(shè)為中點(diǎn)，則，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小為3 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面， 為的中點(diǎn) （）求直線與所成角的余弦值；（）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面，并求出點(diǎn)到和的距離 3.解：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為、，從而設(shè)的夾角為，則與所成角的余弦值為 （）由于點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由面可得， 即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到和的距離分別為 4 如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中 （）求的長； （）求點(diǎn)到平面的距離 4.解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè) 為平行四邊形，（II）設(shè)為平面

3、的法向量，的夾角為，則到平面的距離為5 如圖，在長方體，中，點(diǎn)在棱上移動 （1）證明：； （2）當(dāng)為的中點(diǎn)時，求點(diǎn)到面的距離； （3）等于何值時，二面角的大小為 5.解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則（1）（2）因為為的中點(diǎn)，則，從而，設(shè)平面的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為（3）設(shè)平面的法向量，由 令，依題意（不合，舍去）， 時，二面角的大小為 6 如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于的一點(diǎn)，已知，求： （）異面直線與的距離； （）二面角的平面角的正切值 6.解：（I）以為原點(diǎn)，、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系 由于，在三棱柱中有,設(shè)又側(cè)面，故 因此是異面直

4、線的公垂線，則，故異面直線的距離為 （II）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角 7 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是上一點(diǎn)， 已知求（）異面直線與的距離； （）二面角的大小 7.解：（）以為原點(diǎn)，、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系 由已知可得設(shè) 由，即 由，又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線,的距離為 （）作，可設(shè) 由得即作于，設(shè)，則由，又由在上得因故的平面角的大小為向量的夾角 故 即二面角的大小為8. 如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II

5、) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。8.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ，（III）又由題設(shè)，平面的一個法向量為9.如圖，已知兩個正方行ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn) 。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反證法證明：直線ME 與 BN 是兩條異面直線。9. （I）解:設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DC，DF，DA為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則M（1

6、,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）為平面DCEF的法向量，可得cos(,)=· 所以MN與平面DCEF所成角的正弦值為cos· 6分()假設(shè)直線ME與BN共面， 則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。面EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，這與ENEF=E矛盾，故假設(shè)不成立。所以ME與BN不共面，它們是異面直線. 10. 如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且MD=NB=1，E為

7、BC的中點(diǎn)（1） 求異面直線NE與AM所成角的余弦值（2） 在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由 10.解析：（1）在如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)依題意，得。，所以異面直線與所成角的余弦值為.（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面.,可設(shè)又.由平面，得即故，此時.經(jīng)檢驗，當(dāng)時，平面.故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時.11如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，求：（）點(diǎn)到平面的距離；（）二面角的大小11.解:（）如答（19）圖2，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點(diǎn)A在x

8、oz平面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS與平面yOx重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為.()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E為BS的中點(diǎn).BCS為直角三角形 ,知 設(shè)B(0,2, )，0，則2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .在CD上取點(diǎn)G，設(shè)G（），使GECD .由故 又點(diǎn)G在直線CD上，即，由=（），則有聯(lián)立、，解得G,故=.又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角為向量與向量所成的角，記此角為 .因為=，,所以 故所求的二面角的大小為 .12如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.（）求證：平面；（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時，求AE與平面PDB所

9、成的角的大小.12.解: 如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時， 設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.13.如圖4，在正三棱柱中，,D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。（I） 證明平面平面（II） 求直線和平面所成角的正弦值。13.解:(I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。解法2 如圖所示，設(shè)O使AC的中

10、點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）設(shè)平面ABC的法向量為n=（x，y，z）,則有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n·)=。由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。14 在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離.14.解: （1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐

11、標(biāo)系，則， ，；設(shè)平面的一個法向量，由可得：，令，則。設(shè)所求角為，則， 所以所求角的大小為。（3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等于點(diǎn)到平面距離的，設(shè)點(diǎn)到平面距離為則，所以所求距離為。15.如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；（III）求二面角的大小。15.解:()因為ABE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因為平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因為FA=FE, AEF = 45°,所以AFE= 90°.從而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因為BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. ()存在點(diǎn)M,當(dāng)M為AE中點(diǎn)時