傅里葉級數(shù)的展開

1、 5.2.1 周期延拓 5.2.2 周期為2l的周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 5.2.3 幾個常見脈沖信號的傅里葉級數(shù)5.2 周期不為 的周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)25.2.1 周期延拓 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習 一、案例一、案例 單脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開單脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開 已知一脈沖矩形波信號為將它展開成傅里葉級數(shù)。xxxf0, 10, 1)( 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 周期延拓周期延拓 設函數(shù)f (x)在上有定義，并且在,上滿足收斂定理的條件，那么，我們可以在函數(shù),定義區(qū)間外補充f (x)的定義，使它拓展成以2為周期的函數(shù)F (x) ，按這種方

2、式拓展函數(shù)定義域的過程稱為周期延拓。 三、三、進一步的練習進一步的練習 練習練習1 單脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式如下圖所示，將它展開成傅里葉級數(shù)。有一定義在2)(xxf，,的單脈沖信號函數(shù)解解 將f (x)作周期延拓，延拓后為偶函數(shù)，則), 3 , 2 , 1(0nbn002( )daf xxxnxxFandcos)(20)dsin2sin(2dcos200202xnxxnxxnxnxx220044( cos)cosdxnxnx xnn), 3 , 2 , 1(n24( 1)nn223202dxx3023x延拓后，處處連續(xù)，所以)33cos22cos(cos43222

3、2xxxx)(x其中5.2.2 周期為2l的周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習 一、案例一、案例 周期為周期為4 4的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 設脈沖信號函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)，它在一個周期的表達式為20,02, 0)(xkxxf如何將f (x)展開成傅里葉級數(shù)？ 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開與其10),sincos(2)(knnlxnblxnaaxfllnllnnxlxnxflbnxlxnxfla), 2 , 1(dsin)(1), 2 , 1 , 0(dcos)(1其中系數(shù)

4、的計算公式如下： 三、三、進一步的練習進一步的練習 練習練習 矩形脈沖信號設脈沖信號函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)，它在)0(20,02, 0)(kxkxxf2 , 2一個周期上的表達式為如右圖所示，把它展開成傅里葉級數(shù)。解解 按周期為2l的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)的計算公式，這時l=2，有2021( )d2af xxxxnkxxnxfand2cos21d2cos)(2120220)2sin(20 xnnk), 3 , 2 , 1(nk02201(0dd )2xk x2012kx于是，函數(shù)f (x)的傅里葉級數(shù)展開式為221( )sind22nn xbf xx20(cos)2kn xn , 6

5、 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,2) 1(1 nnnknkn)25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf221sind22n xkx(1 cos)knn5.2.3 幾個常見脈沖信號的傅立葉級數(shù) 一、周期矩形脈沖信號 二、周期鋸齒脈沖信號 三、周期三角脈沖信號 一、一、周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為,脈沖幅度為E ，2,2,)(tktEtf周期為T 它在一個周期內(nèi)的函數(shù)表達式為:它的傅立葉級數(shù)展開式為 mntnnnTETEf(t)1cos2sin14 ),2, 1 ,0,2(kkTtT2 二、二、 周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號 這種信號在一個周期), 0T內(nèi)的函數(shù)為: tTEtf)(它的傅立葉級數(shù)展開式為 mntnnEEtf1) 12sin(1212)(T2)2,1,0,= ,(kkTt 三、三、 周期三角脈沖信號周期三角脈沖信