任意角的三角函數(shù)教學案例

1、12、任意角的三角函數(shù)（1）一、教學內容分析：高一年普通高中課程標準教科書·數(shù)學（必修4）（人教版A版）第12頁1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時。本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在課程標準中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領域中具有重要的作用。課程標準還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。在本模塊中，學生將通過實例學習三角函數(shù)及其基本性質，體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用。二、學生學

2、習情況分析我們的課堂教學常用“高起點、大容量、快推進”的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時間對學生加以反復的訓練，無形增加了學生的負擔，泯滅了學生學習的興趣。我們雖然刻意地去改變教學的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進行普通高中數(shù)學課程標準(實驗)(以下簡稱課程標準)的教學設計就很值得思考探索。如何讓學生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學習任意角的三角函數(shù)的定義中？普通高中數(shù)學課程標準(實驗)解讀中在三角函數(shù)的教學中，教師應該關注以下兩點：第一、根據(jù)學生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設豐富的情境，例如單調彈

3、簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義。第二、注重三角函數(shù)模型的運用即運用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實際問題，這也是課程標準在三角函內容處理上的一個突出特點。根據(jù)課程標準的指導思想，任意角的三角函數(shù)的教學應該幫助學生解決好兩個問題：其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認識其定義域、函數(shù)值的符號。三、設計理念：本節(jié)課通過多媒體信息技術展示摩天輪旋轉及生成的圖像，讓學生感受到

4、數(shù)學來源于生活，數(shù)學應用于生活，激發(fā)同學們學習的樂趣。并通過問題的探究，體驗“數(shù)學是過程的思想”，改變課程實施過程于強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學生學生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。四、教學目標：1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義；2.從任意角的三角函數(shù)的定義認識其定義域、函數(shù)值的符號；3.能初步應用定義分析和

5、解決與三角函數(shù)值有關的一些簡單問題。五、教學重點和難點：1.教學重點：任意角三角函數(shù)的定義.2.教學難點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.具體設計如下：六、教學過程第一部分情景引入問題1:如圖是一個摩天輪，假設它的中心離地面的高度為，它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度為多少？過了45秒呢？過了秒呢？【設計意圖】：高中學生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關的素材，此情景設計應該有助于學生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解。這個數(shù)學模型很好融合初中對三角函數(shù)的定交

6、，也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質。第二部分復習回顧銳角三角函數(shù)讓學生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運動30秒后到達P點位置，由題意知，作PH垂直地面交OA于M，又知MH，所以本問題轉變成求PH再次轉變?yōu)榍驪M。要求PM就是回到初中所學的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)。問題2：銳角的正弦函數(shù)如何定義？【學生自主探究】：學生很容易得到所以學生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度為多少？”【教師總結】：在銳角的范圍中，第三部分引入新課問題3：請問的范

7、圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度為多少？能不能猜想？【分析】：若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學習任意角的三函數(shù)角函數(shù)。問題4：如圖建立直角坐標系，設點，能你用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？【學生自主探究】：，問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？【分析】：先由學生回答問題，教師再引導學生選幾個點，計算比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質證明?！驹O計意圖】：讓學生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系。通過摩天輪的演示，讓學生感受到第

8、一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？【學生自主探究】：學生通過上面已知知識得到學生定義好第二象限角后，讓學生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度？通過摩天輪知道：由此得到：【設計意圖】：通過這個，讓學生檢驗在第二象限角是否正確？問題7：在第三象限角或第四象限能成立嗎？【設計意圖】：讓學生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學生自己發(fā)現(xiàn)正、負符號的偏差。（可以讓學生取，從而得到，發(fā)現(xiàn)這與不相符，實際上是）【教師總結】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內如何計算自已此時離地面的高度，用數(shù)學模型來表示，當摩天輪轉動

9、，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應該用點P的橫坐標來代替或，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。第三部分給出任意角三角函數(shù)的定義如圖3,已知點為角終邊上的點，點到頂點的距離為R，則 （） （） （）【分析】：讓學生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離。問題8：當摩天輪的半徑R1時，三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化?！緦W生自主探究】：，。教師引導學生進行對比，學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化。教師進一步給出單位圓的定義給出下列表格，讓學生

10、自己補充完整。三角函數(shù)定義一：定義二：定義域及時歸納總結有利學生對所學知識的鞏固和掌握。第三部分例題講解例1.（課本P14例2）已知角終邊經(jīng)過點，求角的正弦、余弦和正切值?！痉治觥浚鹤寣W生現(xiàn)學現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。例2.（課本P14例1）求的正弦、余弦和正切值?！緦W生自主探究】：讓學生自己思考并獨立完成。然后與課本的解答相對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點。【教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點，關鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點有沒有領會清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點P，如圖4可以知道，又點P在第

11、四象限，得到，這樣就可以很容易得到本題答案。不妨讓學生取，能否也得到點P的坐標，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學生更深刻體驗三角函數(shù)的定義。第四部分鞏固練習練習1.例2變式求的正弦、余弦和正切值。練習2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內的三角函數(shù)值的符號?獨立完成課本P15的“探究”。【設計意圖】：練習1、練習2的設計與例2、例3銜接，主要目的是幫助學生鞏固三角函數(shù)的本質特征，引導學生從定義出發(fā)利用坐標平面內的點的坐標特征自主探究三角函數(shù)的有關問題的思想方法。并在特殊情形中體會數(shù)形結合的思想方法。第五部分小結與作業(yè)學生自我

12、總結作業(yè)：P23習題1.2A組 1,2,3七、教學反思上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：1. 教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設是學生熟悉的摩天輪，認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律具體到抽象，現(xiàn)象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。2. 情景設計的數(shù)學模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質。3. 通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內在聯(lián)系，在體驗

13、中領悟數(shù)學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數(shù)學的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。這和課程標準的理念是一致的。4. 標準把發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識作為其目標之一, 在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創(chuàng)設應用實踐的空間, 促進學生在學習和實踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學應用意識,提高學生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識,使其上升為一種數(shù)學意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數(shù)學模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗到從數(shù)學的角度運用學過的數(shù)學思想、數(shù)學思維、數(shù)學方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實際問題的策略, 使學生認識到數(shù)學原來就來自身邊的現(xiàn)實世界, 是認識和解決我們生活和工作中問題的有力武器, 同時也獲得了進行數(shù)學探究的切身體驗和能力。增進了他們對數(shù)學的理解和應用數(shù)學的信心。點評本節(jié)課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引導學生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數(shù)的定義，以問題形式鞏固深化任