球的表面積和體積

1、球的表面積與體積-集中訓(xùn)練球:球的半徑是R，則其體積,其表面積；球的半徑（R），截面圓半徑（），球心到截面的距離為（）構(gòu)成直角三角形，因而有關(guān)系：，它們是計(jì)算球的關(guān)鍵所在。球的組合體: (1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng). (2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).請(qǐng)各位同學(xué)推導(dǎo)： 球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.1、在三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為 ()2、(2015·山西四校聯(lián)考，15)已知一

2、個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為_(kāi)【解析】設(shè)該三棱錐的外接球的半徑是R.依題意得，該三棱錐的形狀如圖所示，其中AB平面BCD，AB2，CD2，BCBD2，BCBD，因此可將其補(bǔ)形成一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，則有2R2，R，所以該三棱錐的外接球體積為×()34.3、(2015·課標(biāo)，10，中)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐O­ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為() A36 B64 C144 D256【答案】C設(shè)球O的半徑為R，由題知當(dāng)OC平面OAB時(shí)，三棱錐O

3、3;ABC的體積最大，VOABCR336，所以R6，所以S球4R2144.4、(2012·課標(biāo)全國(guó)，8，中)平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A. B4 C4 D6【答案】B如圖，設(shè)平面截球O所得圓的圓心為O1，則|OO1|，|O1A|1，球的半徑R|OA|. 球的體積VR34.故選B.5、(2014·大綱全國(guó)，10，中)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A. B16 C9 D.【答案】A由題意易知，球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為R，則(4R)2()2R2，解得R，所以球的表面積為4&

4、#215;，故選A.6、(2013·天津，10，中)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的外接球半徑Ra.因?yàn)榍虻捏w積為，所以·R3，即Ra，所以a.7、(2013·課標(biāo)，15，難)已知正四棱錐O­ABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)【解析】設(shè)底面中心為E，則|AE|·|AC|，體積V|AB|2·|OE|OE|，|OA|2|AE|2|OE|26.從而以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積S4·|OA|224.8、(2013

5、83;課標(biāo)，15)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為 解析：平面截球O所得截面為圓面，圓心為H，設(shè)球O的半徑為R，則由AHHB12得OHR，由圓H的面積為，得圓H的半徑為1，所以12R2，得R2，所以球O的表面積S4R24·.9、(2013·課標(biāo)，6)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm3 解析：設(shè)球的半徑為R，則球的截面圓的半徑

6、是4，且球心到該截面的距離是R(86)R2，故R2(R2)242R5.VR3(cm3)10、(2015·四川綿陽(yáng)一模，7)如圖所示，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為4的雞蛋(視為球體)放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.【答案】D蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1，雞蛋的表面積為4，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為d.而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為.11、(2015·遼寧沈陽(yáng)一模，6)已知四面體P

7、73;ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PB平面ABC，ABAC，且AC1，PBAB2，則球O的表面積為()A7 B8 C9 D10【答案】CPB平面ABC，ABAC，在四面體的基礎(chǔ)上構(gòu)造長(zhǎng)方體如圖，可知長(zhǎng)方體的外接球與四面體的外接球相同，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的直徑，即2R3，R，球O的表面積S4R24×912、(2015·河南駐馬店調(diào)研，13)在三棱柱ABC­ABC中，已知AA平面ABC，AA2，BC2，BAC，且此三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為_(kāi)【解】依題意可知，球心到平面ABC的距離為AA1，平面ABC所在圓的半徑為BC，則球的半徑為2，

8、則球的體積為××23.13、(2014·寧夏銀川質(zhì)檢，10)已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)，沿對(duì)角線AC把ACD折起，則三棱錐D­ABC的外接球表面積等于_【解析】設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)度分別為a，b，則ab8，此時(shí)2a2b48，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號(hào)成立此時(shí)四邊形ABCD為正方形，其中心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均為2，無(wú)論怎樣折疊，其四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2的球面上，這個(gè)球的表面積是4×2216.14、若兩個(gè)球的表面積之比為,則這兩個(gè)球的體積之比為（）ABCD15、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此

9、幾何體的外接球的體積為 。16、已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面積和體積分別為12和24,且AB=AD,求該長(zhǎng)方體外接球的表面積 .解析:設(shè)AB=a,AA1=b,則a2b=12,4ab=24,解得a=2,b=3,設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為r,則4r2=22+22+32=17,所以長(zhǎng)方體外接球的表面積S表=4r2=17.17、高和底面直徑相等的圓柱的表面積和球O的表面積相等,則該圓柱與球O的體積之比為A.23 B.21 C.13 D.32解析:設(shè)圓柱底面半徑為r1,球O的半徑為r2,由題意得6r12=4r22,故r1r2=23, 則V柱V球=2r1343r23=23.18、若一個(gè)底面是正三

10、角形的三棱柱的正視圖如圖所示,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為A.163 B.1912 C.193 D.43解析:由正視圖可得該三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,高為1,易得底面外接圓的半徑等于233,設(shè)該球的半徑為r,則r2=(12)2+(233)2=14+43=1912,該球的表面積為4×1912=193. 答案:C19、已知A、B、C、D是表面積為6的球O上的四點(diǎn),且DA平面ABC,三角形ABC是B=90°的等腰直角三角形,且AC=2,則VD-ABC的體積為. 解析:由條件可求得球O的半徑R=62,BC=AB=2,可證得球心O為DC的中點(diǎn),則DC為球O的直徑,則DC=6,在直角三角形DAC中,DA=DC2-AC2=2,所以VD-ABC=13×2×12×2×2=23. 答案:2320、直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，則球的表面積為（ ）A B C D 21、三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直且長(zhǎng)度分別為2cm，2cm，1cm，則其外接球的表面積是 cm222、邊長(zhǎng)是的正內(nèi)接于體積是的球，則球面上的點(diǎn)到平面的最大距離為 .第10題圖23、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為AA BC D24、某幾何體的三視圖如圖，其頂點(diǎn)都在球O的球面